Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следо­вать за» и сложении. В школьном курсе математики используется дру­гое определение умножения, оно связано со сложением одинаковых слагаемых. Покажем, что оно вытекает из первого.

Теорема 4. Если о > 1, то произведение чисел а и b равно сумме b слагаемых, каждое из которых равно а.

Доказательство. Обозначим сумму b слагаемых, каждое из которых равно а, через а ▫ b. И, кроме того, положим, что а ▫ 1 = а. Тогда выражение а°( b + 1) будет означать, что рассматривается сумма b + 1 слагаемого, каждое из которых равно а, т.е. а ▫( b + 1) = а + а + ... + а + а. Сумму а + а + ... + а + а можно представить в виде

                b + 1 слаг.

выражения (а + а + ... + а + а) + а , которое равно а ▫ b  + а. Значит, операция  а ▫ b   обладает теми же свойствами, что и умножение, определен­ное в аксиоматической теории, а именно, а ▫ 1 = а и а ▫( b+1) = а ▫ b + а. В силу единственности умножения получаем, что

а ▫ b  = а × b

Итак, если а и b - натуральные числа и b > 1, то произведение а × b можно рассматривать как сумму b  слагаемых, каждое из которых равно а.

Умножение на I определяется так: а ×1 = а.

Если умножение рассматривается на множестве целых неотрица­тельных чисел, то к этим двум случаем надо добавить третий - опре­деление умножения на нуль: а ×0 = 0.

Таким образом, получаем следующее определение умножения це­лых неотрицательных чисел.

Определение. Если а, b  - целые неотрицательные числа, то произве­ дением а × b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1) а × b = а + а + ... + а + а, если b > 1;

                          b слаг.

2)  а × b  = а, если b = 1;

3)  а × b = 0, если b = 0.

Случаю 1) этого определения можно дать теоретико-множествен­ную трактовку. Если множества А ₁, А₂, ..., А b имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объеди­нение А ₁ È А₂ È ... ÈА b  содержит а × b  элементов.

Таким образом, с теоретико-множественных позиций а × b  ( b > 1) представляет собой число элементов в объединении b множеств, каждое из которых содержит  по а элементов и никакие два из них не пересекаются .

а × b  = n(А ₁ È А₂ È ... ÈА b), если   n(А ₁) = n(А ₂)=…= n(А b )= а и множества  попарно не пересекаются.

Взаимосвязь умножения натуральных чисел с объединением равночисленных попарно непересекающихся подмножеств позволяет обосновывать выбор действия умножения при решении текстовых задач.

Рассмотрим, например, такую задачу: «На одно пальто пришивают 4 пуговицы. Сколько пуговиц надо пришить на 3 таких пальто?» Выясним, почему она решается при помощи умножения.

В  задаче речь идет о трех множествах, и каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов в объединении этих трех множеств.

Если   n(А ₁) = n(А ₂)= n(А ₃)= 4 и множества  попарно не пересекаются, то n(А ₁ È А₂ È А ₃ ) = n(А ₁) + n(А ₂) + n(А ₃)= 4+4+4 = 4×3. Произведение 4×3 является математической моделью данной задачи. Так как 4×3 = 12. то получаем ответ на вопрос: на 3 пальто надо пришить 12 пуговиц.

Можно дать другое теоретико-множественное истолкование произведения целых неотрицательных чисел. Оно связано с понятием декартова произведения множеств.  

Теорема 5. Пусть А и В - конечные множества. Тогда их декартово произведение также является конечным множеством, причем  выполняется равенство:

n(АхВ )=  п(А) × п(В).

Доказательство. Пусть даны множества А = {а ₁, а ₂, ...,а n }, В = { b ₁, b ₂, ...,b k },  причем k > 1. Тогда множество А х В состоит из пар вида (а i, bj), где 1 £ i £ п, 1 £ j £ к. Разобьем множество АхВ на такие подмножества А ₁, А₂,  ... , А k ,  что подмножество А j  состоит из пар вида (а ₁, bj), (а ₂. bj), ..., (а n , bj). Число таких подмножеств равно к, т.е. числу  элементов в множестве В. Каждое множество А_] состоит из n пар, и никакие два из этих множеств не содержат одну и ту же пару. Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении  АхВ  равно сумме к слагаемых, каждое из которых равно n, т.е. произведению чисел n и к. Таким образом, равенство

п(АхВ) = п(А) × п(В)  доказано при к > I. При к = 1 оно тоже верно, так как в этом случае В содержит один элемент, например, В = { b}, а тогда  АхВ  состоит из пар вида (а ₁, b), (а ₂. b), ..., (а n , b), число которых равно n/ Поскольку п(А) = п, п(В)= 1, то и в этом случае имеем: n(АхВ )=  п(А) × п(В) = п ×1.

При  к = 0 данное равенство также верно, поскольку В = Æ и п(АхÆ) = п(А) × п(Æ) = п ××0 = 0.

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественной точки зрения произведение а × b  целых неотрицательных чисел есть число элементов в декартовом произведении  множеств А и В, таких, что п (А) = а, и п (В) = b.

а × b  = п(А) × п(В)  = п(АхВ).

Этот подход к определению умножения позволяет раскрыть теоре­тико-множественный смысл свойств умножения. Например, смысл равенства а × b = b × а  состоит в том, что хотя множества АхВ и ВхА различны, они являются равномощными: каждой паре (а, b) из множе­ства АхВ можно поставить в соответствие единственную пару (b, а) из множества ВхА, и каждая пара из множества ВхА сопоставляема только одной паре из множества АхВ.  Значит, п(АхВ) = п (ВхЛ) и потому а × b = b × .

Аналогично можно раскрыть теоретико-множественный смысл ас­социативного свойства умножения. Множества Ах(ВхС) и (АхВ)хС различны, но они являются равномощными: каждой паре (а, ( b, с)) из множества Ах(ВхС) можно поставить в соответствие единственную пару ((а, b), с) из множества (АхВ)хС, и каждая пара из множества (АхВ)хС сопоставляется единственной паре из множества Ах(ВхС). Поэтому п(Ах(ВхС)) = п((АхВ)хС) и следовательно, а ( b с) = (а b)с.

Дистрибутивность умножения относительно сложения выводится из равенства А х (В È С)= (А х В) È (А х С), а дистрибутивность умножения относительно вычитания - из равенства Ах(В\С) = (АхВ) \ (А х С).

В начальных курсах математики произведение целых неотрицатель­ных чисел чаще всего определяют через сумму. Скучай а ×1 = а и а × 0 = 0 принимаются по определению.

Упражнения

1. Используя определение произведения чисел через сумму, объясните, каков теоретико-множественный смысл произведения 2× 4.

2. Раскройте теоретико-множественный смысл произведения 2× 4, используя определение произведения чисел через декартово произве­дение множеств.

3. Докажите, что дистрибутивность умножения относительно
сложения вытекает из равенства А х (В Ç С) = (А х В) Ç (А х С), а относительно вычитания - из равенства (А \В) х С) = (А х В)\(А х С).

4. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи умножения.

а)      На каждую из трех тарелок положили по 2 яблока. Сколько все­го яблок положили?

б)      Школьники посадили в парке 4 ряда деревьев, по 5 штук в ряду. Сколько деревьев они посадили?

5. Используя теоретико-множественный смысл действий над числами, обоснуйте выбор действий при решении задач.

А) Первоклассники заняли в кинотеатре 3 ряда, второклассники – 4 ряда, а третьеклассники - 5 рядов. Сколько учеников начальных классов было в кинотеатре, если в каждом ряду они занимали по 9 мест?

Б) В саду 8 рядов деревьев, по 9 в каждом. Из них 39 яблонь, 18 груш, остальные  сливы. Сколько сливовых деревьев в саду?

6. Какие рассуждения учащихся вы будете считать правильными при выполнении ими следующих заданий.

А) Вера и Надя сажали тюльпаны. Вера посадила 8 рядов тюльпанов, по 9 в каждом, а Надя 9 рядов по 8 тюльпанов. Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что Вера посадила столько же тюльпанов, сколько Надя?

Пользуясь данным условием, объясните, что означают выражения: 72+72; 72×2; 8×9 – 8.

Б)  В гараже в 6 рядов стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Сколько машин осталось в гараже?

Объясните, что означают выражения, составленные по условию каждой задачи:

9 × 6; 8 × 2; 8 × 6; 9 - 8; (9 - 8) × 2; (9 - 8) × 6.