натурального числа, нуля и отношения «меньше»

Как было установлено ранее, количественное натуральное число а получается в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А). Это же число а может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В. Но если а = п(В), то множества А и В равномощны, поскольку содержат поровну элементов.

Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом - двухэлементные и т. д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число - это общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Так как каждый класс равномощных конечных множеств однознач­но определяется выбором какого-нибудь его представителя, то о нату­ральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника, а о натуральном числе «четыре», что это общее свойство класса мно­жеств, равномощных, например, множеству вершин квадрата.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 = п(0).

Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:

1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е.
а = п(А), причем А ~ Nа;

2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Установленная связь между конечными множествами и натураль­ными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкова­ние отношения «меньше».

В аксиоматической теории это отношение определено следующим образом:

а <  b Û ($c Î N) а + с = b.

Если а < b, то это означает, что отрезок натурального ряда Nа является собственным подмножеством отрезка Nв, т.е. Nа Ì Nв и Nа ¹ Nв. Справедливо и обратное утверждение: если Nа - собственное подмно­жество Nв, то а < b. Тем самым отношение «меньше» получает теоре­тико-множественное истолкование: а < b в том и только в том случае, когда отрезок натурального ряда Nа является собственным подмноже­ством отрезка Nв,:

а < b <=> Nа Ì Nв и Nа ¹ Nв.

Так, справедливость неравенства 3 < 7 вытекает из того, что {1, 2, 3}Ì {1,2, 3,4, 5,6, 7).

Если воспользоваться терминологией, принятой в школьном курсе математики, то последнее определение отношения «меньше» можно сформулировать так: «Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b».

Данная трактовка отношения «меньше» позволяет сравнивать числа,

□ □ □

О  О О О О О О

Рис. 111

опираясь на знание их места в натуральном ряду. Однако срав­нение чисел (особенно неболь­ших) часто выполняют иначе, ис­пользуя связь чисел с конечными множествами. Например, если 3 - это число квадратов на рисунке, а 7 -  число кружков на этом рисунке, то 3 < 7, потому что во втором множестве можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству квадратов. Этот способ установления отношения между числами 3 и 7 вытекает из трактовки отношения «меньше», данной выше: множество квадратов равномощно отрезку N3,  а множество кружков – отрезку N7 и N3 Ì N7.

В общем виде рассмотренный подход к определению отношения «меньше» можно обосновать следующим образом: пусть а = n(А), b = n(В), и а < b. Тогда А ~ Nа,  В ~ Nв и Nа Ì Nв. Последнее отношение означает, что в множестве В можно выделить собственное подмножество В1, равномощное множеству А:

а = n(А),  b =  n(В) и  а <  b  <=> А ~ В₁,  где В₁  Ì  В, В₁ ¹ В, В₁ ¹ Æ.

Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел также получают теоретико-множественное истолкование: транзитивность и симметричность этого отношения связаны с тем. что транзитивпо и асимметрично отношение «быть подмножестром».

Теоретико-множествснный смысл неравенства 0 < а, истинного для любого натурального числа а, связан с тем,  что пустое множество является подмножеством отрезка Nа (или любого такого множества  А, для которого  а = n(А)).

Заметим, что приведенные трактовки отношения «меньше» основываются на понятии подмножества конечного множества. Так как в реальной жизни мы, как правило, имеем дело с конечными множествами, то наш опыт говорит о том, что и любое подмножество конечного множества - конечно. Однако с математической точки зрения этот факт нуждается в доказательстве.

Теорема 1. Любое непустое подмножество конечного множества конечно.

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

В связи с тем, что при определении числа, соответствующему мно­жеству А, приходится прибегать к счету, а для этого нужен некоторый отрезок натурального ряда, то изучение математики в начальных классах начинается, как правило, с усвоения чисел первого десятка. Параллельно раскрывается смысл каждого из этих чисел, причем количественное натуральное число часто рассматривается как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Например, когда учащиеся изучают число «три», они рассматривают множества, содержащие три элемента: три кубика, три карандаша и др Так происходит при изучении всех чисел первого десятка, но число элементов в множестве каждый раз определяется путем пересчета, т.е. количественный и порядковый смысл числа, а также его запись выступают в тесной  взаимосвязи.

Сравнение чисел в начальном курсе математики осуществляется различными способами - оно основано на всех рассмотренных нами подходах к трактовке отношения «меньше».

Упражнения

1. Почему на уроке, где изучается число «четыре», можно использовать картинку с изображением четырех яблок, четырех тетрадей, а
можно воспользоваться и другими примерами четырехэлементных
множеств?

2. Какой подход к определению отношения «меньше» используется
при ознакомлении младших школьников с неравенством 3 < 4, если
выполняются следующие действия: возьмем три розовых кружка и
четыре синих и каждый розовый кружок наложим на синий; видим, что
синий кружок остался незакрытым, значит, розовых кружков меньше,
чем синих, поэтому можно записать: 3 < 4.

3. Исходя из различных определений отношения «меньше», объясните, почему 2 < 5.

4. Как, используя теоретико-множественный подход к числу, объяснить, что 4 = 4?

Лекция 36. Теоретико-множественный подход в построении множества целых неотрицательных чисел.

Определение суммы, ее существование и единственность. Законы сложения.

Определение разности, ее существование и единственность. Теоретико-множественный смысл правил вычитания числа из суммы и суммы из числа.