Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматике раскрывается порядковый смысл натурального числа. Но натуральные числа имеют и количественный смысл. Чтобы выяснить, как связаны между собой эти два смысла натурального числа, рассмотрим такие понятия, как отрезок натурального ряда, конечное множество, счет, и другие.

Определение. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а.

Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое свойство, можно записать, что Nа = {х\ х Î N и х £ а}.

Например, отрезок N7 - это множество натуральных чисел, не превосходящих числа 7, т.е. N7 = {1,2,3,4, 5, 6, 7}.

Отметим два важных свойства отрезков натурального ряда.

1) Любой отрезок Nа содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка  Nа.

2) Если число х содержится в отрезке  Nа и х  ¹ а, то и непосредственно следующее  за ним число х+1 также содержится в Nа.

Действительно, если х Î Nа, и х ¹ а, то х < а. Это означает, что существует такое натуральное число с, что а = х + с. Если с= 1, то а= х + с. Если с = 1, то  а = х + 1, а значит, х + 1 содержится в Nа. Если же с > 1, то с - 1 – натуральное число и,  следовательно, а = х + с = (х + 1) + (с - 1). Но тогда х + 1 < а, т.е. х + 1 - натуральное число, принадлежащее отрезку Nа.

Определение. Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку Nа натурального ряда.

Например, множество А вершин треугольника - конечное множество так как оно равномощно отрезку N3 = {1, 2, 3}, т, е. А ~ N3.

Теорема 31. Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только  одному отрезку натурального ряда,

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Определение. Если непустое конечное множество А равномощно  отрезку Nа, то натуральное число а называют числом элементов  множества А и пишут п(А) = а.

Например, если А - множество вершин треугольника, то п(А) = 3. Из данного определения и теоремы 31 получаем, что для любого непустого конечного множества А число а = п(А) единственное.

Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества Л.

Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться эле­менты множества. Поэтому можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассмат­ривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить чис­ло 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, по­следнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а.

В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, пер­вый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д.

Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

Упражнения

1.      Можно ли назвать отрезком натурального ряда множество:

а) {1, 2, 3, 4}; в) {2, 3, 4, 5};

б) {1, 3, 5, 7}; г) {1, 2, 4, 5}?

2. Докажите, что множество В конечное, если:

а) В - множество букв в слове «параллелограмм»;

б) В - множество учащихся в классе;

в) В — множество букв в учебнике математики.

3. Прочитайте записи n(А) = 5; n(А) = 7. Приведите примеры множеств, содержащих указанное число элементов.

4. Что значит сосчитать элементы конечного множества? Сформу­лируйте правила, которые должны соблюдать учащиеся при счете предметов и которые вытекают из определения счета элементов ко­нечного множества.

69. Основные выводы § 14

В этом параграфе мы рассмотрели подход к построению системы на­туральных чисел, основанный на аксиоматике Пеано. При этом подходе натуральное число определяется как элемент множества, на котором задано отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам Пеано. Несмотря на определенную абстрактность, при дан­ном подходе хорошо раскрывается суть натурального числа, он соот­ветствует историческому процессу развития понятия числа в практике.

Кроме понятия числа, мы определили понятия четырех арифметических действий, отношения «меньше», отрезка натурального ряда, конечного множества, числа элементов множества, счета.

Нами доказаны основные свойства сложения, умножения, вычитания и деления.

Мы установили, что всякое натуральное число, рассматриваемое в аксиоматической теории как порядковое, может иметь и количественный смысл, если является характеристикой численности некоторого конечного множества.

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ