Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»:

1) Многие окружающие нас предметы имеют длину.

2) Стол имеет длину.

В первом предложении утверждается, что длиной облада­ют объекты некоторого класса. Во втором речь идет о том, что  длиной обладает конкретный объект из этого класса. Обобщая, можно сказать, что термин «длина» употребляется для обозначения свойства, либо класса объектов (предметы имеют длину), либо конкретного  объекта из этого класса (стол имеет длину).

Но чем это свойство отличается от других свойств объек­тов этого класса? Так, например, стол может иметь не только длину; но и быть изготовленным из дерева или металла; столы могут иметь разную форму. О длине можно сказать, что раз­ные столы обладают этим свойством в разной степени (один стол может быть длиннее или короче другого), чего не скажешь о форме - один стол не может быть «прямоугольнее» другого.

Таким образом, свойство «иметь длину» - особое свойство объектов, оно проявляется тогда, когда объекты сравнивают по их протяженности (по длине). В процессе сравнения устанавливают, что либо два объекта имеют одну и ту же длину, либо длина одного меньше (больше) длины другого.

Аналогично можно рассматривать и другие известные величины: площадь, массу, время и т.д. Они представляют собой особые свойства окружающих нас предметов и явлений и проявляются при сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения.

Величины, которые выражают одно и то же свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и длина комнаты - это величины одного рода.

Напомним основные положения, связанные с однородными величинами.

1. Для величин одного рода имеют место отношения «равно», «мень­ше» и «больше», и для любых величин А и В справедливо од­но и только одно из отношений: А < В, А= В, А > В.

Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямо­угольного треугольника больше, чем длина любого катета этого треугольника, масса яблока меньше массы арбуза, а длины противоположных сторон прямоугольника равны.

2. Отношение «меньше» для однородных величин транзи­тивно: если А<В и В<С, то А<С.

Так, если площадь треугольника F ₁  меньше площади тре­угольника F₂, и площадь треугольника F₂ меньше площади треугольника F ₃, то площадь треугольника F₁ меньше площа­ди треугольника F₃.

3. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода. Иными словами, для любых двух величин А и В однозначно определяется вели­чина С = А + В, которую называют суммой величин А и В.

Сложение величин коммутативно и ассоциативно.

Например, если А - масса арбуза, а В - масса дыни, то С = А +В - это масса арбуза и дыни. Очевидно, что А+В = В+А и (А+В) + С = А+(В+С).

4. Величины одного рода можно вычитать, получая в ре­зультате величину того же рода. Определяют вычитание через сложение.

Разностью величин А и В называется такая величина С = А - В, что А = В + С.

Разность величин А и В суще­ствует тогда и только тогда, когда А>В.

Например, если А - длина отрезка а, В - длина отреза  b, то С = А- В - это длина отрезка с (рис. 117). 

                b                         c

                                           a

Рис.117

5. Величину можно умножать на положительное действи­тельное число, в результате получают величину того же рода. Более точно, для любой величины А и любого положительно­го действительного числа х существует единственная величи­на В = x ∙А, которую называют произведением величины А на число x.

Например, если А - время, отводимое на один урок, то ум­ножив А на число x = 3, получим величину В = 3А - время, за которое пройдет 3 урока.

6. Величины одного рода можно делить, получая в резуль­тате число. Определяют деление через умножение величины на число.

Частным величин А и B называется такое положительное действительное число х = А :В,

что А = х В.

Так, если А - длина отрезка a, B - длина отрезка b (рис. 118) и
отрезок a  состоит из 4-х отрезков, равных b, то А:В = 4, поскольку А = 4В.

Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину надо измерить. Чтобы осуществить измере­ние из данного рода величин выбирают величину, которую называют единицей измерения. Мы будем обозначать ее буквой Е.

Если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же рода), то измерить величину А - это значит найти такое положительное действительное число х, что А = х ∙Е.

Число х называется численным значением величины А при единице величины E. Оно показывает, во сколько раз величина  А больше (или меньше) величины Е, принятой за единицу измерения.

Если А = х∙Е, то число х называют также мерой величины А при единице Е и пишут х = т _Е (А).

Например, если А - длина отрезка а, Е- длина отрезка b (рис.118)то А = 4-Е. Число 4 - это численное значение длины при единице длины Е, или, другими словами, число 4- мера длины А при единице длины Е.

В практической деятельности при измерении величин люди пользуются стандартными единицами величин: так, длину измеряют в метрах, сантиметрах и т.д. Результат измерения записывают в таком виде: 2,7 кг; 13 см; 16с. Исходя из понятия измерения, данного выше, эти записи можно рассматривать как произведение числа и единицы величины. Например, 2,7кг = 2,7∙кг; 13 см = 13∙см; 16 с = 16∙с. Используя это представление, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например,

требуется выразить 5/12ч в минутах. Так как 5/12ч = 5/12∙ч и час=60мин, то 5/12ч= 5/12∙60∙мин = (5/12∙ 60)мин = 25 мин

Величина, которая определяется одним численным значе­нием, называется скалярной величиной. 

Если при выбранной единице измерения скалярная вели­чина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной.

Положительными скалярными величинами являются дли­на, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения ве­личин к сравнению чисел, от действий над величинами к соот­ветствующим действиям над числами, и наоборот.

1. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то отношения между величинами А и В будет такими же, как и отношения между их численными значения­ми, и наоборот:

А =В <=> т(А)= т(В);  

А < В <=> т(А) < т (В);

 А> В <=> т(А) > т(В).

Например, если массы двух тел таковы, что А =5 кг, В= 3кг, то можно утверждать, что А > В, поскольку 5 > 3.

2. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то чтобы найти численное значение суммы А + В, достаточно сложить численные значения величин А и В:

А+В = С => m (A+B) = т(А) + т(В). Например, если А = 5 кг, В =3 кг, то А + В = 5 кг + 3 кг = (5 + 3) кг = 8 кг.

3. Если величины А и В таковы, что В = х∙А, где х - поло­жительное действительное число, и величина А измерена при помощи единицы величины Е, то, чтобы найти численное значение величины В при единицы Е, достаточно, число х ум­ножить на число т(А):

В=х∙А => т(В)= х∙т(А).

Например, если масса В в 3 раза больше массы А и А = 2 кг, то B = 3A = 3∙(2∙кг) = (3∙2)∙кг=6 кг

В математике при записи произведения величины А на чис­ло х принято число писать перед величиной, т.е. х∙А. Но раз­решается писать и так: А∙х. Тогда численное значение вели­чины А умножают на х, если находят значение величины А∙х.

Рассмотренные понятия - объект (предмет, явление, про­цесс), его величина, численное значение величины, единица величины - надо уметь вычленять в текстах и задачах. Напри­мер, математическое содержание, предложения «Купили 3 кило­грамма яблок» можно описать следующим образом: в предло­жении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойст­во - масса; для измерения массы использовали единицу массы - килограмм; в результате измерения получили число 3 - числен­ное значение массы яблок при единице массы - килограмм.

Один и тот же объект может обладать несколькими свой­ствами, которые являются величинами. Например, для чело­века - это рост, масса, возраст и др. Процесс равномерного движения характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем, между которыми существуют зависи­мость, выражаемая формулой s = v∙ t.

Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода, или разнородными величина­ми. Так, например, длина и масса - это разнородные величины.

Упражнения

1. О каких величинах идет речь в следующих предложениях:

а)  Груши дороже яблок.

б)  Книга тяжелее тетради.

в)  Таня выше Светы.

2. Какие величины могут характеризовать следующие объекты: а) карандаш; б) человек; в) озеро?

3. Имеются два куска проволоки. Каким образом можно сравнить их длины, не прибегая к измерению? Какими могут быть  результаты сравнения?  

4. Как можно сравнить массы двух предметов, не определяя массу каждого из них? Какими могут быть результаты сравнения?

5. На рисунке 119 изображены два прямоугольника, имеющие площади А и В. Постройте прямоугольник, площадь которого равна:

а) А+ В

б) 3∙А

в) 1/2∙В

г) В-А

6. Разбейте на классы тремя способами следующие величины:

А – высота дерева; В – 16кг; С – масса доски; D – 25 см; E – возраст дерева; M – площадь доски; H – 13 с; K – 26 м; L – длина веревки; Р – толщина доски.                                                   7. Назовите стандартные единицы, с помощью которых можно измерить величины, указанные в таблице. Запишите их.

8. О каких величинах идет речь в следующих предложениях:

В одной коробке 25 яблок, а в другой 30 яблок.

15 яблок дороже, чем 8 груш.

В одном ящике 20 кг овощей, а в другом 12 кг овощей.

9. Какие из данных величин можно сравнить между собой:

1500 м;    2,5 км;       18 штук;  8 десятков;

3 ц;          1 км 500 м; 299 кг;    18 пар.

10. Сравните величины:

56 мин и 7/10 ч;

3/50 м и 4/5 дм;

 1,5 см и 3/20 дм;

 5/4 кг и 1250 г.

11. Назовите объект, его величину, численное значение и единицу измерения величины в каждом из следующих пред­ложений:

а)    В коробке 8 кг яблок.

б)    Глубина оврага 2 м.

в)    Площадка садового участка 6 соток.

г)    В сервизе 6 тарелок.

д)    Рост девочки 1 м 20 см.

Назовите величины и объекты, о которых говорится в задаче:

а) За тетради заплатили х р., а за карандаши на / р. меньше. Сколько стоили карандаши?

б) Мешок картофеля тяжелее ящика с луком на 2 кг. Какова масса мешка картофеля, если масса ящика с луком z кг?

в) На первой полке стояло х книг. На второй на у книг
больше, а на третьей на z книг меньше, чем на первой полке.
Сколько книг стояло на трех полках?

13. Назовите величины, о которых говорится в задаче, и действия с ними, которые будут выполнены в процессе ре­шения:

а) В ящике было 24 кг апельсинов. Сначала из него взяли 5 кг, а потом в 3 раза больше, чем в первый раз. Сколько апельсинов осталось в ящике?

б) Для вышивания первого узора нужно 24 м ниток, для второго в 6 раз меньше, а для третьего - на 16 м больше, чем для первого. Хватит ли 7 катушек для вышивания всех узоров, если в каждой катушке по 10 м ниток?

14. Решите задачи, предварительно установив, в чем их сходство и различие:

а) Со склада отправили в столовую и в магазин 8 машин с овощами. Магазин получил 24 т овощей, а столовая – в 3 раза меньше. Сколько машин с овощами отправили в магазин и сколько в столовую, если масса овощей в каждой машине была одинаковой?

б) Со склада отправили в столовую и в магазин несколько машин с овощами. Масса овощей в каждой машине была одинаковой. Магазин получил 24 т овощей, а столовая – в 3 раза меньше. Сколько машин с овощами отправили со склада, если в столовую отправили 2 машины?