Рассматривая смысл суммы и разности натуральных чисел - мер величин, мы установили, что сложение таких чисел связано со сложением величин, а вычитание- с вычитанием величин. И естественно возникает вопрос: с каким действием над величинами связано умножение и деление натуральных чисел? Чтобы ответить на него, проанализируем задачу: «Купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?».

 В этой задаче речь идет массе муки, которая сначала измерена пакетами, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения той же массы муки, но уже при помощи другой единицы - килограмм при условии, что 1 пакет - это 2 кг муки.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при единице – килограмм, можно представить в таком виде:

3 пак.=3×пак. = 3×(2 кг) = 3×2×кг = (3×2) кг.

Видим, что ответ на вопрос задачи находится умножением и что оно оказалось связанным с переходом (в процессе измерения массы) от одной единицы массы к другой, более мелкой.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых равна Еı, то мера длины отрезка х при единице длины Еı равна а× b.

Доказательство. По условию отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок е – из b отрезков, равных еı. Обозначим длину отрезка х буквой Х, длину отрезка е – буквой Е, длину отрезка еı - буквой Еı. Так как по условию х = е Å е Å …Å е (а раз), а е = еı Å еı Å +…Å+ еı (b раз) , то Х = а×Е, Е = b×Еı.

Нетрудно видеть, что число частей отрезка х, равных еı, будет равно а× b,так

как х = еı+еı+…+еı .

          а×b раз

Это означает, что мера длины отрезка х при единице длины Еı равна а× b.

Можно записать, что Х = а×Е = а×( b×Еı)= (а× b)×Еı.

Из этой теории следует, что умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b – мера длины Е при единице длины Еı, то произведение а× b – это мера длины отрезка х при единице длины Еı:

а×b = mε(Х)×mεı(Е) = mεı(Х).

Аналогичный смысл имеет произведение натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин. И поэтому при построении вспомогательных моделей текстовых задач с величинами можно использовать отрезки (что, впрочем, мы делали и раньше). Кроме того, условимся, что в тех случаях, когда это не ведет к путанице, отрезок х и его длину Х не различать. Проиллюстрируем это на конкретном примере.

Задача 1. Объяснить смысл произведения 4×3, если 4 и 3 – числа, полученные в результате измерения величин.

Решение. Пусть 4 = mε(Х), 3 = mεı(Е), где Х – измеряемая величина, Е - первоначальная единица величины, а Еı – новая единица величины. Тогда, согласно доказанной теореме, 4×3 = mεı(Х), т.е. 4×3 – это численное значение длины Х при единице длины Еı.

Задача 2. Обосновать выбор действия при решении задачи. «В одной коробке 6 ручек. Сколько ручек в трех таких коробках?».

Решение. В задаче речь идет о количестве ручек, которое сначала измерено коробками и известно численное значение этой величины при указанной единице. Требуется найти численное значение этой же величины при новой единице – ручка, причем известно, что коробка – это 6 ручек. Тогда 3 кор. = 3×кор.=3×(6 руч.) = (3×6) руч. Таким образом, задача решается при помощи действия умножения, поскольку в ней при измерении осуществляется переход от одной единицы величины (коробка) к другой – ручка.

Чтобы установить смысл частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, рассмотрим задачу: «6 кг муки надо разложить в пакеты, по 2 кг в каждый. Сколько получится пакетов?»

В задаче рассматривается масса муки, которая сначала измерена при помощи единицы массы – килограмм, и известно численное значение этой массы при указанной единице массы. Требуется найти результат измерения этой же массы, но уже при помощи другой единицы – пакета, причем известно, что 1 пакет – это 2 кг.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения массы муки при новой единице – пакет, можно представить в таком виде:

6 кг = 6×кг = 6×(1/2 пак.) = (6×1/2) пак. = (6:2) пак.

Видим, что ответ на вопрос задачи находится делением и что оно связано с переходом (в процессе измерения) от одной единицы массы к другой, более крупной.

Теорема. Если отрезок х состоит из а отрезков, длина которых равна Е, а отрезок длины Еı состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е ı равна а: b.

Данная теорема доказывается аналогично рассмотренной выше.

Из этой теоремы следует, что деление натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице длины: если натуральное число а – мера длины отрезка х при единице длины Е, а натуральное число b - мера новой единицы длины Еı при единице длины Е, то частное а: b –это мера длины отрезка х при единице длины Еı:

а:b= mε(Х) : mε(Еı) = mεı(Х).

Аналогичный смысл имеет частное натуральных чисел, полученных в результате измерения других положительных скалярных величин. Заметим, что такая трактовка частного возможна только для деления по содержанию.

Задача 3. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платье сшили?»

Решение. В задаче рассматривается длина ткани, которая измерена сначала при помощи единицы длины – метр, и известно численное значение заданной величины. Требуется найти численное значение той же длины при условии, что она измеряется новой единицей – платьем, причем известно, что платье – это 4 м, откуда метр – это ¼ платья.

Рассуждения, связанные с поиском численного значения длины при единице – платье, можно представить в таком виде:

12 м = 12×м = 12×(1/4 пл.) = (12×1/4)×пл. = (12:4)пл.

Таким образом, ответ на вопрос задачи находится при помощи деления, поскольку в задаче нужно перейти от одной единицы величины к другой в процессе измерения одной и той же величины.

Выбор действий умножения и деления при решении текстовых задач с величинами можно обосновывать иначе, используя понятие умножения и деления величины на натуральное число.

Напомним, что умножить величину А на натуральное число х – это значит получить такую величину В того же рода, что В = х×А или В = А×х , причем В = А+А+…+А.

                                                                                                                х слаг.

Чтобы найти численное значение величины В при единице величины Е, достаточно численное значение величины А, полученное при той же единице Е, умножить на число х, т.е. если В = А×х, то mε(В) = mε(А)×х.

Рассмотрим, например, задачу: «Купили 3 пакета муки, по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?» Чтобы ответить на вопрос задачи, надо массу 2 кг повторить слагаемым три раза, т.е. массу 2 кг умножить на число 3. Численное значение полученной при этом величины находим, умножив численное значение массы муки в одном пакете на число 3. Произведение 2×3 будет математической моделью данной задачи. Вычислив его значение, будем иметь ответ на вопрос задачи.

Если В = А×х, где х – натуральное число, В и А – величины одного рода, то с помощью деления решают две задачи:

- зная А и В, находят число х (х = В:А), причем х = mε(В): mε(А); это деление по содержанию;

- зная В и х, находят А (А = В:х),причем mε(А) = mε(В) : х; это деление на равные части.

С этих позиций выбор действия при решении задачи «6 кг муки разложили на пакеты по 2 кг в каждый. Сколько получилось пакетов?» можно обосновать так. В задаче надо узнать, сколько раз масса 2 кг укладывается в 6 кг, т.е. надо массу 6 кг разделить на массу 2 кг. В результате должно получиться число, которое находим, разделив численное значение одной величины на численное значение другой. Таким образом, получаем частное 6:2. Его значение и будет ответом на вопрос задачи.

Пользуясь описанным подходом к трактовке умножения и деления натуральных чисел, можно обосновывать выбор действия и при решении текстовых задач с отношениями «больше в» «меньше в».

Задача 4. Обосновать выбор действия при решении задачи.

«Купили 3 кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько килограммов картофеля купили?»

Решение. В задаче рассматриваются масса моркови и масса картофеля, причем численное значение первой массы известно, а численное значение второй надо найти, зная, что она в два раза больше первой.

Если воспользоваться вспомогательной моделью задачи, то можно сказать, что масса картофеля складывается из двух масс по 3 кг, и, следовательно, ее численное значение можно найти, умножив 3 на 2. Найдя значение выражения 3 ∙ 2, получим ответ на вопрос задачи

                             Упражнения

1. Объясните различными способами, почему следующие задачи решаются при помощи умножения:

а) В одной корзине 5 кг яблок. Сколько килограммов яблок в трех таких корзинах?

б) За один день Саша прочитывает 4 страницы книги. Сколько страниц в книге, если Саша прочитал ее за 6 дней.

2. Объясните различными способами, почему следующие задачи решаются при помощи деления:

а) 8 кг варенья надо разложить в банки по 2 кг в каждую. Сколько получится банок?

б) На садовом участке посадили 15 кустов смородины по 5 кустов в каждом ряду. Сколько было рядов?

3. Обоснуйте выбор действий при решении следующих задач:

а) С трех овец настригли 18 кг шерсти. Сколько шерсти можно получить с 5 таких овец?

б) В пятиэтажном доме 80 квартир. На каждом этаже в подъезде по 4 квартиры. Сколько подъездов в этом доме?

в) Когда из гаража выехали 18 машин, в нем осталось машин в 3 раза меньше, чем было. Сколько машин было в гараже?

                                79. Основные выводы § 16

При изучении материала данного параграфа мы установили, что объекты (предметы, явления, процессы) могут обладать особыми свойствами, которые называются величинами. Чтобы свойство можно было считать величиной, оно должно удовлетворять ряду условий, которые сформулированы в п.76. Величины как свойства объектов проявляются при их сравнении, причем для каждой величины существует свой способ сравнения. Если выбрана единица величины, то величину можно измерить. В результате измерения получается число, которое называют численным значением величины или мерой величины при выбранной единице величины.

Кроме названных нами рассмотрены понятия:

- положительная скалярная величина;

- однородные величины;

- разнородные величины.

Установлено, что измерение величины позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

Введены записи Х = а×Е и а = mε(Х), в которых Х – обозначает величину, Е – единицу величины, а – действительное число.

Если а – натуральное число, то запись Х = а×Е означает, что

Х = Е+Е+…+Е.

       а слаг.

Установлено, что действия над натуральными числами и действия над положительными скалярными величинами взаимосвязаны: сложение чисел – со сложением величин, вычитание чисел – с вычитанием величин, а умножение и деление чисел – с переходом в процессе измерения от одной единицы величины к другой.

Кроме того, установлено, что обосновывать выбор действий умножения и деления при решении текстовых задач можно, используя понятие умножения величины на число.