Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением ко­нечных непересекающихся множеств. Например, если множество А со­держит 5 элементов, а множество В - 4 элемента и пересечение множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5 + 4.

Теорема 2. Пусть А и В - конечные множества, не имеющие общих элементов. Тогда их объединение тоже конечно, причем n(А È В) = n(А) + n(В).

Доказательство. Докажем сначала, что если а и b - натуральные числа, то существует взаимно однозначное отображение отрезка нату­рального ряда Nb на множество Х таких чисел, что а + 1 £ х  £ а + b. Дей­ствительно, если поставить в соответствие числу с Î Nb число с + а, то в силу монотонности сложения этим будет задано взаимно однозначное отображение отрезка Nb на множество Х, Например, если а = 3, b = 5, то соответствие между множествами N5. и X = {4. 5, 6, 7, 8} может быть установлено так: числу с Î N5 сопоставим число х = 3 + с: числу 1 - чис­ло 3+1=4, числу 2 - число 3 + 2 = 5 и т.д.. числу 5 - число 3 + 5 = 8.

Пусть n(А) = а, n(В) = b. Тогда существуют взаимно однозначные отображения А на Nа и В на Nb. Но, согласно доказанному выше, отре­зок Nb можно взаимно однозначно отобразить на множество Х таких чисел, что а + 1 £ х £ а + b. Тем самым множество В взаимно однозначно  отображается на X. Отображая взаимно однозначно множество А на Nа,  множество В - на X, получаем взаимно однозначное отображение множества А È В на отрезок Nа+в. Поскольку нет элементов, одновременно принадлежащих А и В, то это отображение определено на  всем множестве А È В. Значит, в множестве А È В имеется а + b элементов, что и требовалось доказать.

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций сумма  натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких,  что а = n(А), b = n(В):

а + b = n(А) + n(В) = n(АÈ В), если, если А Ç В = Æ.

Выясним теперь, каков теоретико-множественный смысл равенства  а + 0 = а. Если а = n(А),

0   = n(Æ), то. согласно теореме 2, а + 0 = n(А) + п(Æ) = n(А È Æ). Но, как известно, АÈ Æ = А, следовательно,  n(А È Æ) =  n(А), откуда а + 0 = а.

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций известные свойства сложения. Так, коммутативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство

А È В = В È А. Действительно, если а = n(А), b = n(В)  и А Ç В = Æ, то а + b = n(А È В) = n (В È А) = b + а.

Аналогично можно показать, что ассоциативность сложения вытекает из равенства.:

(А È В) È С = А È (В È С). Действительно, если а = n(А), b = n(В) , с = n (С) и А Ç В = Æ. А Ç С = Æ. С Ç В = Æ, то (а + b) + с = n((А È В) È С) = n((А È (В È С)) =  n(А) + n (В È С) = а +(b+с). 

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет обосновывать выбор действий при решении тек)пых задач определенного вида. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи сложения: «Катя нашла 3 гриба, а Саша - 4. Сколько всего грибов нашли девочки?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так n(А) = 3, n{В) = 4 и А Ç В = Æ, то n (АÈВ) = 3 + 4. Сумма 3 + 4 – это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3 + 4 - 7. Следовательно, девочки нашли 7 грибок.

Упражнения

I. Каков теоретико-множественный смысл суммы:
а) 3 + 5;      б) 0 + 4;     в) 0 + 0.

2.      Дайте теоретико-множественное истолкование суммы  k слагаемых и, используя полученный вывод, объясните теоретико-множественный смысл суммы:

а) 3+4 + 2;    б) 1 + 2 + 3 + 4.

3.      Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются сложением.

а)      Дима сорвал 8 слив, Нина - 4. Сколько всего слив сорвали Дима и Нина вместе?

б)      Из коробки взяли 6 красных карандашей и 4 синих. Сколько всего карандашей взяли из коробки?