Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Как известно, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше». Но правила построения аксиома­тической теории требуют, чтобы это отношение было не только опре­делено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.

Определение. Число  а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.

При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.

Теорема 12. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b,  а > b,  а < b.

Доказательство этой теоремы мы опускаем. Из этой теоремы вы­текает, что если

а ¹ b, то либо а < b, либо а > b, т.е. отношение «меньше» обладает свойством связанности.

Теорема 13. Если а < b и  b < с. то а < с.

Доказательство. Эта теорема выражает свойство транзитив­ности отношения «меньше».

Так как а < b и  b < с. то, по определению отношения «меньше», найдутся такие натуральные числа к и /, что b = а + к и с = b + I. Но тогда с = (а + к) + / и на основания свойства ассоциативности сло­жения получаем: с = а + (к + /). Поскольку к + I - натуральное число, то, согласно определению «меньше», а < с.

Теорема 14. Если а < b, то неверно, что b < а. Доказательство. Эта теорема выражает свойство антисиммет­ ричности отношения «меньше».

Докажем сначала, что ни для одного натурального числа а не вы-!>!•■• )ея отношение а < а. Предположим противное, т.е. что а < а имеет место. Тогда, по определению отношения «меньше», найдется такое натуральное число с, что а + с = а, а это противоречит теореме 6.

Докажем теперь, что если а < b, то неверно, что b < а. Предположим противное, т.е. что если а < b, то b < а выполняется. Но из этих равенств по теореме 12 имеем а < а, что невозможно.

Так как определенное нами отношение «меньше» антисимметрично и транзитивно и обладает свойством связанности, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел линейно  упорядоченным множеством.

Из определения «меньше» и его свойств можно вывести известные свойства множества натуральных чисел.

Теорема 15. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. I < а  для любого натурального числа а ¹1.

Доказательство . Пусть а - любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а = 1 и а ¹  1. Если а = 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b ' = b  + I = 1 + b , т.е., по определению отношения «меньше», 1 < а. Следовательно, любое натураль­ное  равно 1 либо больше 1. Или, единица является наименьшим натуральным числом.

Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности.

Теорема 16.

 а = b => а + с = b + с  и  а с = b с;

а < b => а + с < b + с и ас < b с;

а > b => а + с > b + с и ас > b с.

Доказательство. 1) Справедливость этого утверждения вытекает из единственности сложения и умножения.

2) Если а < b, то существует такое натуральное число k, что а + k = b.
Тогда b + с = (а + к) + с = а + (к + с) = а + (с + к) = (а + с) + к. Равенство  b + с = (а + с) + к означает, что а + с < b + с .

Точно так же доказывается, что а < b =>  ас < bс.

3) Доказывается аналогично.

Теорема 17  (обратная теореме 16).

1)  а + с = Ь + с или ас ~ Ьс -Þ а = Ь

2) а + с < Ь + с или ас < Ьс Þ а < Ь:

3) а + с > Ь + с или ас > Ьс Þ а > Ь.

Доказательство. Докажем, например, что из ас < bс следует а  < b  Предположим противное, т.е. что заключение теоремы не выполняется. Тогда не может быть, что а = b. так как тогда бы выполнялось равенство ас = bс (теорема 16); не может быть и а > b, так как тогда бы ас > bс (теорема !6). Поэтому, согласно теореме 12, а < b.

Из теорем 16 и 17 можно вывести известные правила почленного сложения и умножения неравенств. Мы их опускаем.

Теорема 18. Для любых натуральных чисел а и b; существует та­кое натуральное число n, что п b > а.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого а найдется такое число п, что п > а. Для этого достаточно взять п = а + 1. Перемножая почленно неравен­ства п > а и b > 1, получаем п b > а.

Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства.

1. Ни для одного натурального числа а не существует такого натурального числа п, что а < п < а + 1. Это свойство называется свойством
дискретности множества натуральных чисел, а числа а и а + 1 называют соседними.

2. Любое  непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число.

3. Если М - непустое подмножество множества натуральных чисел
и существует такое число b, что для всех чисел х из М выполняется не­
равенство х < b, то в множестве М есть наибольшее число.

Проиллюстрируем свойства 2 и 3 на примере. Пусть М - множество двузначных чисел. Так как М есть подмножество натуральных чисел и для всех чисел этого множества выполняется неравенство х < 100, то в множестве М есть наибольшее число 99. Наименьшее число, содержа­щееся в данном множестве М, - число 10.

Таким образом, отношение «меньше» позволило рассмотреть (и в ряде случаев доказать) значительное число свойств множества нату­ральных чисел. В частности, оно является линейно упорядоченным, дискретным, в нем есть наименьшее число 1.

С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел млад­шие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется оп­ределение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 - это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».

Упражнения

1, Почему множество натуральных чисел нельзя упорядочить при помощи отношения «непосредственно следовать за»?

Сформулируйте определение отношения а > b и докажите, что оно транзитивно и антисимметрично.

3. Докажите, что если а, b, с - натуральные числа, то:

а)       а < b Þ  ас < bс;

б)      а + с < b + с Þ> а < Ь.

 

4. Какие теоремы о монотонности сложения и умножения могут
 использовать младшие школьники, выполняя задание «Сравни, не выполняя  вычислений»:

а)      27 + 8 ... 27 + 18;

б)      27- 8 ... 27 -18.

5. Какие свойства множества натуральных чисел неявно используют младшие школьники, выполняя следующие задания:

А) Запиши числа, которые больше, чем 65, и меньше, чем 75.

Б) Назови предыдущее и последующее числа по отношению к числу 300(800,609,999).

В) Назови самое маленькое и самое большое трехзначное число.

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Определение. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а — b = с тогда и только тогда, когда b+с =  а.

Число а - b называется разностью чисел а и b,  число а – уменьшаемым, а число b - вычитаемым.

Теорема 19. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только  тогда, когда b < а.

Доказательство. Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а это  значит, что b < а.

Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а - b, т.е. разность а - b существует.

Теорема 20. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.

Доказательство. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b;: а – b  = с ₁ и а - b = с ₂, причем  с ₁ ¹ с ₂ . Тогда  по определению разности, имеем: а = b + с ₁, и а = b + с ₂_:. Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с ₂_: и на основании теоремы 17 заключаем, с ₁ = с ₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное,  а верна данная теорема.

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Теорема 21. Пусть а. b и с - натуральные числа.

а)      Если а > с, то (а + b) - с = ( a - с) + b.

б)      Если b > с. то (а + b) - с - а + ( b - с).

в)      Если а > c и b > с. то можно использовать любую из данных формул.
Доказательство. В случае а) разность чисел а и c существует, так как а > с. Обозначим ее через х: а - с = х. откуда а = с + х. Если (а + b) - с =  у. то, по определению разности, а + b = с + у. Подставим в это равенство вместо а выражение с + х: (с + х) + b = с + у. Воспользу­емся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с + у. Преоб­разуем это равенство на основе свойства монотонности сложения, получим:

х + b =  у. .Заменив в данном равенстве х на выражение а - с, будем иметь (а - г) + b = у. Таким образом, мы доказали, что если а > с, то (а + b) - с = ( a - c) + b

Аналогично проводится доказательство и в случае б).

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила, удобного для запоминания: дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из  одного слагаемого суммы и к полу­ченному результату прибавить другое слагаемое.

Теорема 22. Пусть а, b и с - натуральные числа. Если а > b + с, то а - ( b + с) = (а - b) - с или а - ( b + с) = (а - c) - b.

Доказательство этой теории аналогично доказательству теоремы 21.

Теорему 22 можно сформулировать в виде правила, для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа по­следовательно каждое слагаемое одно за  другим.

В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над одно­значными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычита­ние связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычис­лениях. Вычитая, например, из числа 40 число 16, учащиеся рассуж­дают так: «Вычесть из 40 число 16 - что значит найти такое число, при сложении которого с числом 16 получается 40; таким числом будет 24, так как 24 + 16 = 40. Значит. 40 - 16 = 24».

Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа в начальном курсе математики являются теоретической основой различных прие­мов вычислений. Например, значение выражения (40 + 16) - 10 можно найти, не только вычислив сумму в скобках, а затем вычесть из нее число 10, но и таким образом;

а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:

б) (40 + 16) - 10 = 40 + (16- 10) = 40 + 6 = 46.

Упражнения

1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из непосредственно следующего вычитанием единицы?

2. В чем особенность логической структуры теоремы 19? Можно ли ее сформулировать, используя слова «необходимо и достаточно»?

3. Докажите, что:

а) если b > с, то (а + b) - с =  а + ( b - с);

б) если а > b + с, то а - ( b + с) = (а - b) - с.

4. Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, значения каких выражений будут равны:

а) (50 + 16)- 14;            г) 50 + (16 -14),

б) (50 - 14) + 16;          д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16,           е) (50 + 14) - 16.

а) 50 - (16 + 14);      г) (50 - 14) + 16;

б) (50 - 16) + 14;          д) (50 - 14) - 16;

в) (50 - 16) - 14;          е) 50 - 16- 14.

5. Какие свойства вычитания являются теоретической основой следующих приемов вычислении, изучаемых в начальном курсе математики:

 

а) 12-5          

    12 - 2-3 12 -5 = 7

б) 16-7 = 16-6 - П;

в)  48 - 30 = (40 + 8} - 30 = 40 + 8 =18;

г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 =  40 + 5 = 45.

6.  Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида.  а - b - с и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.

7. Докажите, что при b < а и любых натуральных c верно равенство ( a – b) с = ас - bс.

Указание. Доказательство основывается на аксиоме 4.

8. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответы обоснуйте.

а) 7865 × 6 – 7865 ×5:   б) 957 × 11 - 957;   в) 12 × 36 – 7 × 36.

Деление

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.   

Определение. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда,  когда b×  с = а.

Число а: b называется частным чисел а и b, число а делимым, число b - делителем.

Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие суще­ствования частного.

Теорема 23. Для того чтобы существовало частное двух нату­ральных чисел а и b, необходимо, чтобы b  < а.

Доказательство. Пусть частное натуральных чисел а и b суще­ствует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 £ с, то, ум­ножив обе его части на натуральное число b, получим b £ bс. Но bс = а, следовательно, b £ а.

Теорема 24. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.

Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы (разности, произведения) на число.

Теорема 25. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с, т.е. ( а + b):с = а:с + b:с.

Доказательство. Так как число а делится на с, то существует такое натуральное число х = а;с, что а = сх. Аналогично существует такое натуральное число у = b:с , что

b = су. Но тогда а + b = сх + су = - с(х + у). Это значит, что а + b делится на c, причем частное, полу­чаемое при делении суммы а + b на число c, равно х + у, т.е. ах + b : с.

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила деле­ния суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, доста­точно разделить на это число каждое слагаемое и полученные резуль­ таты сложить.

Теорема 26. Если натуральные числа а и b делятся на число с и а > b, то разность а - b делится на c, причем частное, получаемое при делении разности на число c, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на c, т.е. (а - b):с = а: с - b:с.

Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказатель­ству предыдущей теоремы.

Эту теорему можно сформулировать в виде правила деления раз­ности на число: для того, чтобы разделить разность на число, доста­точно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

Теорема 27. Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение а b делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения а b на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, и числа  b: (а × b):с - (а:с) × b.

Д о к азательство . Так как а делится на с, то существует такое натуральное число х, что а:с = х,  откуда а = сх. Умножив обе части  равенства на b, получим а b  =  (сх) b. Поскольку умножение ассоциативно, то (сх) b = с(х b). Отсюда (а b):с = х b= (а:с) b. Теорему  можно сформулировать в виде правила деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с ум­ножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 -     это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3 = 48. Следовательно, 48 : 16 = 3.

Упражнения

1. Докажите, что:

а) если частное натуральных чисел а и b  существует, то оно единственно;

б) если числа а и b   делятся на с и а > b, то (а - b): с = а: с - b: с .
2. Можно ли утверждать, что все данные равенства верные:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;

в) 850:170 =850:10:17.

Какое правило является обобщением данных случаев? Сформулируйте его и докажите.

3. Какие свойства деления являются теоретической основой для
выполнения следующих заданий, предлагаемых школьникам начальных классов:

можно ли, не выполняя деления, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:

а) (40+ 8):2;       в) 48:3;         д) (20+ 28):2;

б) (30 + 16):3;     г)(21+27):3;        е) 48:2;

. верны  ли равенства:

а) 48:6:2 = 48:(6:2);    б) 96:4:2 = 96:(4-2);

в) (40 - 28): 4 = 10-7?

4.      Опишите возможные способы вычисления значения выражения
вида:

а) (а + b):с;                       б) а: b: с; в) ( а × b): с .

Предложенные способы проиллюстрируйте на конкретных примерах.

5.       Найдите значения выражения рациональным способом; свои
действия обоснуйте:

а) (7× 63):7;             в) (15× 18):(5×6);

б) (3× 4× 5): 15;          г) (12 × 21): 14.

6.  Обоснуйте следующие приемы деления на двузначное число:

а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;

б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;

в) 480:32 = 480: (8 ×4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:

г) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.

7.       Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным
способом частное; выбранный способ обоснуйте:

а) 495:15; в) 455:7;         д) 275:55;

6) 425:85; г) 225:9;         е) 455:65.

Лекция 34. Свойства множества целых неотрицательных чисел

План:

1. Множество целых неотрицательных чисел. Свойства множества целых неотрицательных чисел.

2. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счета элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.