Общие положения

1. Число точек пересечения соответствует порядку заданной поверхности Ф.

2. В основу построения положен способ вспомогательных поверхностей

3. В качестве вспомогательных поверхностей обычно выбирают плоскости S , проходящие через заданную прямую n.

4. Плоскость S должна пересекать Ф по линии d, проекции которой были бы графически простыми (дуга окружности или прямая).

5. Видимость проекций прямой n по видимости проекций поверхности.

Рис. 62 - Пересечение прямой с поверхностью

Алгоритм построения: - S É n ; - S Ç F = d ; - 1, 2 = d Ç n.

6.2. Построение точек пересечения прямой с
поверхностью многогранника

     Поверхность многогранника представляет собой совокупность пересекающихся плоскостей. Поэтому решение данной задачи, по существу, является двукратным определением точки пересечения прямой линии с плоскостью (см. раздел 3.2, рис.35).

Схема решения выглядит так:

- плоскость S, проходящая через прямую n, пересечет многогранник по плоской замкнутой ломаной линии 1-2-3-1;      

- искомые точки M и N есть результат пересечения линии 1-2-3-1 с прямой  n.

Алгоритм решения задачи:

1. S É n , S - проецирующая плоскость.

2. S Ç F = ( 1-2-3-1).

3. М =(1-2-3-1) Ç n = F Ç n ,

N = ( 1-2-3-1) Ç n = F Ç n .

Рис.63 - Определение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника (пространственный пример)

Рассмотрим пример: Определить точки М и N пересечения прямой общего положения n с поверхностью Ф пирамиды SABC.                  Построение: 1. Через прямую n проводим горизонтально проецирующую плоскость S . 2. Определяем горизонтальную проекцию ломаной: S 1 Ç Ф1 = (11 – 21 – 31- 11). 3. Определяем фронтальные проекции вершин ломаной: 12 Ì А2 В2, 22 Ì S 2 B 2 , 32 Ì B 2 C 2 . 4. Строим фронтальную проекцию ломаной: 12 – 22 – 32- 12. 5. Определяем фронтальные проекции искомых точек: (12 – 22 – 32- 12) Ç n 2 = М2 Ù N 2 . 6. Определяем горизонтальные проекции точек: М1 Ì n 1 Ù N 1 Ì n 1 . 7. Определяем видимость проекций прямой n по dидимости проекций граней пирамиды.

Рис.64 - Определение точек пересечения прямой n с поверхностью пирамиды

6.3. Построение точек пересечения прямой
с поверхностью цилиндра

    На рис. 65 и 66 построены точки пересечения поверхности эллиптического цилиндра a с прямой линией m .

     Через прямую m проведена плоскость w , пересекающая цилиндрическую поверхность по образующим. Для этого, как известно, плоскость должна быть параллельна образующим (или оси) цилиндра. На рисунках она определена прямой  m и прямой  а, проходящей через некоторую точку  А прямой  m и параллельно оси цилиндра:

Рис. 65 - Пространственная модель

w = ( m Ç a = А ).      Другие плоскости, в частности проецирующие, проходящие через прямую m , дадут в сечении цилиндра более сложные кривые линии.        Для построения линии пересечения плоскости w и цилиндрической поверхности, т.е. двух образующих цилиндра, должна быть проведена вспомогательная секущая плоскость. В качестве нее выбрана плоскость s основания цилиндра, что позволяет не строить линию пересечения этой плоскости с цилиндрической поверхностью, так как она уже начерчена – это кривая линия основания k.      Плоскость s пересекается с плоскостью w по прямой 1 – 2. На рис. 66 эта линия очевидна, так как плоскость s - проецирующая. В случае, если прямая m пересекается с плоскостью s за пределами чертежа, точку (1) находят с помощью какой-либо дополнительной прямой, например (b ), взятой в плоскости w, (рис. 65). Точки L 1 и L 2 пересечения линий k и (1 – 2) принадлежат образующим l 1 и l 2 сечения цилиндра плоскостью w: w Ç a = ( l 1 , l 2 ).

Рис. 66 - Комплексный чертеж

     Точки М₁ и М₂ пересечения этих образующих с прямой m являются искомыми:

М₁ = l ₁  Ç m, М₂ = l ₂  Ç m .

     Отрезок М₁ - М₂ прямой линии m  находится внутри цилиндра и изображен поэтому линией невидимого контура. На рис. 65 слева от точки М₁ прямая m видна, так как эта точка лежит на видимой стороне поверхности цилиндра. Часть линии m справа от точки М₂ остается невидимой, так как точка М₂ лежит на невидимой стороне поверхности a . Аналогично решается вопрос видимости на каждой проекции, рис. 66. Для уточнения видимости плохо различимого участка прямой m элемент I этого чертежа показан в более крупном масштабе.