Для решения задач используют:

     - способы преобразования комплексного чертежа;

     - положения по теме «Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости».

Общая схема решения задач:

     - одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе геометрические фигуры или одну из них в частное положение ( ^ или çç одной из плоскостей проекций: П₁ – П₃);

     - или построить проекцию искомой фигуры на одну из выбранных плоскостей;

     - или решить в плоскости частного положения заданную метрическую задачу, перенеся затем решение задачи на исходные проекции обратным преобразованием;

     - при выборе способа преобразования комплексного чертежа следует ориентироваться на простоту графических операций.

8.3. Задачи на определение расстояний между
геометрическими фигурами

     Расстояние между двумя точками равно длине отрезка прямой линии, соединяющей эти точки. Эта задача решается или способом прямоугольного треугольника или построением дополнительного изображения отрезка на новой плоскости проекций, параллельной этому отрезку.

     Расстояние от точки до прямой линии равно длине перпендикуляра,. опущенного из точки на эту прямую. Чтобы опустить перпендикуляр из точки на прямую, в общем случае через эту точку проводят плоскость, перпендикулярную к этой прямой или отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Для этого нужно преобразовать чертеж данной прямой. Сделав ее в новой системе плоскостей проецирующей.

     Рассмотрим пример: Задача 1. определить расстояние от точки М до отрезка прямой АВ, (рис. 84).

                     Схема решения:

1. Расстояние от точки М до отрезка АВ изображается длиной перпендикуляра МК, проведенного из точки М.

2. На плоскости П₅ отрезок МК(М₅К₅) спроецируется в натуральную величину, т.к. он является горизонталью в системе плоскостей П₄/ П₅.

Алгоритм:

Рис. 84 - Комплексный      1. Преобразуем отрезок АВ в горизонтально
        чертеж                    проецирующий, заменой плоскостей проекций.

                                             2. Построим проекцию А₅В₅ отрезка АВ на плоскость П₅ ^ АВ, а отрезок М₅К₅ – искомое расстояние.

Построение:

1. Проводим ось проекций Х₁₂.

2. Новая ось проекций Х₁₄ çç А₁В₁.

3. Строим проекцию прямой АВ(А₄В₄) и точки М(М₄) на П₄.

4. Новая ось проекций Х₄₅ ^ (А₄В₄).

5. Строим проекции АВ(А₅В₅) и точки М(М₅) на П₅.

6. М₅К₅ = ï МК ç- искомое расстояние.

7. Строим М₄К₄ ^ (А₄В₄) , т.к. М₄К₄ – фронтальная проекция горизонтали.

8. Строим проекцию отрезка M К(М₁К₁) на П₁ по принадлежности К Î АВ.

9. Строим проекцию отрезка M К(М₂К₂) на П₂ по принадлежности К Î АВ.

     Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую.

     Таким образом, задача сводится к определению расстояния между точкой и прямой линией или может быть решена способом замены плоскостей проекций, преобразовав эти прямые в проецирующие.

     На рис. 85 определено расстояние между параллельными прямыми а и b путем преобразования чертежа прямых в проецирующие способом замены плоскостей проекций.

Задача 2. Определить расстояние между параллельными прямыми а и b .

Схема решения:

1. Расстояние меду прямыми a и b определяется отрезком перпендикуляра между ними М₅К₅ на плоскости П₅.

2.  На плоскости П₅ отрезок МК(М₅К₅) проецируется в натуральную величину, т.к. он является горизонталью в системе плоскостей П₄/П₅.

Рис. 85 - Комплексный                                      

         чертеж                             

Алгоритм:

1. Преобразуем прямые а и b в проецирующие  в системе плоскостей П₄/ П₅.

2. Отрезок М₅К₅ = ï МК ç- искомое расстояние.

Построение:

1. Проводим ось проекций Х₁₂.

2. Новая ось проекций Х₁₄ çç а₁ и b ₁.

3. Строим проекции прямых а₄ и b ₄ на П₄.

4. Новая ось проекций Х₄₅ ^ а₄ и b ₄ .

5. Строим проекции а₅ и b ₅ на П₅.

6. М₅К₅ = ï МК ç- искомое расстояние.

7. Строим М₄К₄ ^ (а₄ и b ₄ ) , т.к. М₄К₄ – фронтальная проекция горизонтали.

8. Строим проекцию отрезка M К(М₁К₁) на П₁; К Î b , M Î a .

9. Строим проекцию отрезка M К(М₂К₂) на П₂; К Î b , M Î a .

     Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Рис. 86 - Комплексный чертеж

Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т.е. преобразовать комплексный чертеж, например, способом замены плоскостей проекций, (рис. 86).      Задача 3. Определить расстояние от точки М до плоскости треугольника АВС, (рис. 86).

Схема решения:

1. Расстояние от точки М до плоскости D АВС изображается длиной перпендикуляра МК, проведенного из точки М на плоскость.

2. . На плоскости П₄ отрезок МК(М₄К₄) проецируется в натуральную величину, т.к. он является фронталью в системе плоскостей П₄/П₅.

Алгоритм:

1. Преобразуем плоскость D АВС в проецирующую в системе плоскостей П₁/П₄.

2. Отрезок М₄К₄ = ï МК ç- искомое расстояние.

Построение:

1. Проводим ось проекций Х₁₂.

2. Новая ось проекций Х₁₄ ^ h ₁.

3. Строим проекции плоскости D АВС ( D А₄В₄С₄) и точки М(М₄)  на П₄.

4. М₄К₄ ^ ( D А₄В₄С₄)  = ï МК ç- искомое расстояние.

5. Строим М₁К₁ çç Х₁₄, т.к. М₄К₄ – фронтальная проекция фронтали.

6. Точку К₂ строим с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П₄.