Начертательная геометрия является разделом одной из математических наук - геометрии.

Геометрия - это наука о фигурах, о взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразовании фигур. Геометрические задачи могут быть ре­шены аналитически (посредством вычислений по соответствующим формулам, что является предметом аналитической геометрии) и графически. Так как гра­фическое решение геометрических задач выполняют на плоском чертеже, на­чальным этапом является отображение пространственных геометрических объ­ектов на плоскости, что осуществляется посредством проецирования. При про­ецировании совокупность точек пространства ставится в соответствие совокуп­ности точек на плоскости.

Есть два способа проецирования: центральное и параллельное.

Схема центрального проецирования представлена на рис. 1.

Рис. 1 - Центральное проецирование

Π1 - плоскость проекций (Π1 - это греческая буква "ПИ"); S - центр проекций; А, В, C и D - некоторые точки пространства.

Прямые, проходящие через центр проекций S и заданные точки, пересека­ют плоскость проекций Π₁ в точках А₁, В₁, C₁, D^∞₁, которые являются центральными проекциями точек А, В, C и D.

Схема параллельного проецирования представлена на рис. 2.

Рис. 2 - Параллельное проецирование

В этом случае проецирующие прямые, проходящие через точки А, В и С па­раллельно заданному направлению проецирования S пересекают плоскость Π1 в точках А1, В1, C1, которые являются параллельными проекциями точек А, В и С.

Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то оно называется ортогональным.

Рис. 3 - Ортогональное проецирование

Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов построения пространственных форм на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм.

Метод проецирования позволяет однозначно решить прямую задачу: по заданному оригиналу строить его проекционный чертеж. Обратная зада­ча (определение оригинала по проекции) не решается однозначно. Это проиллю­стрировано на рис. 4.

Рис. 4 - Однопроекционный чертеж

Рис. 5 - Двухпроекционный чертеж

Действительно, при заданном направлении проецирования точка А имеет единственную проекцию А₁. В то же время точка А является проекцией беско­нечного количества точек, лежащих на проецирующей прямой, проходящей через точку А.

Для однозначности решения обратной задачи необходимо проецирование оригинала на две или более плоскостей, (рис.5), что было предложено выдающимся французским геометром Гаспаром Монжем (1746 - 1818), который и считается основоположником начертательной геометрии.

1.2. Инварианты ортогонального проецирования

Рис. 6.1 - Инварианты ортогонального проецирования

- проекция точки всегда есть точка; - проекция прямой в общем случае – прямая; А → А1; MN ^ П1 Û q (MN) → q1=M1=N1

Рис. 6.2 - Инварианты ортогонального проецирования

- если точка принадлежит прямой, то одноименные проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой; - точка пересечения прямых проецируется в точку пересечения их проекций; KÎq Û K1 Î q1; (K=q ∩ m) Û (K1=q1∩ m1)

Рис. 6.3 - Инварианты ортогонального проецирования

- проекция точки делит проекцию отрезка прямой в таком отношении в каком точка делит заданный отрезок; CÎd Û C1 Îd1 AС : СВ = A1 C1 : C1 B1

Рис. 6.4 - Инварианты ортогонального проецирования

– проекции параллельных прямых есть прямые параллельные;   a 11 b Þ a1 11 b1

Рис.6.5 - Инварианты ортогонального проецирования

- если плоская геометрическая фигура параллельна плоскости проекций, то проекция этой фигуры на плоскость проекций соответствует самой фигуре; Ф (ABC) 11 П1 Þ Ф1(А1В1С1) @ Ф (ABC)

Рис.6.6 - Инварианты ортогонального проецирования

- проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекций; П1' 11 П1 Þ Ф2(А1' В1' С1') = Ф1(А1В1С1)