Определение. Пусть а, Ь Z. БуДем говорить, что чисЛо а меньше числа Ь если существует натуральное число, и такое, что Ь = а + и.

Для обозначения отношения ” меньше“ на множестве целых чисел применяется тот же знак , что и для натуральных чисел.

Целое число а называется положительным, если а > О, и отрицательным, если а < 0

Из определения отношения ”меньше” очевидным образом следует, что множество есес положительныс целыс чисел совпаДает с множеством N всех натуральных чисел. Кроме того,

для любых а, Ь ? Z

Отметим также, что отношение меньше“ на множестве Z является проДолжением отношения К, определенного на множестве N, в следующем смысле: любые Два натуральныс ЧИС ла а и Ь насоДятся в отношении ”меньше" как целые числа тогДа и только тогДа, когДа они насоДятся в Данном отно шении как натуральные числа.

Свойства отношения на множестве Z целых чисел

Теорема 1. Отношение ”меньше" на множестве целыс чисел антирефлексивно, транзитивно, монотонно относи тельно сложения и умножения. Кроме того, на множестве Z справеДлива теорема о сравнимости, т.е. Для любыс чисел а и Ь выполняется одно и только одно из соотношений: а < Ь а = Ь u b < a.

Все термины, встречающиеся в формулировке данной теоремы, определены в главе III ( З). Нужно лишь скорректировать понятие монотонности умножения. Здесь имеется в виду справедливость импликации а Ь Л О < с ас Ьс

для любых а, Ь, се Z

Д о к аз а т е л ь с т в о. Докажем монотонность умножения.

Пусть а Ь и 0 < с . Тогда числа Ь — а и с являются натуральными. Следовательно, (Ь — а)с ? N , откуда bc — ас  N , т.е. ас < bc.

Покажем справедливость т е о р е мы о с р ав н и м о с т и.

Пусть а и Ь— произвольные целые числа. Тогда в силу теоремы 4 предыдущего параграфа разность Ь — а принадлежит только одному из множеств N , N— и {О} , где N— означает множество всех чисел, каждое из которых противоположно к некоторому натуральному числу.

Теперь если Ь — а ? N , то а < Ь, если же Ь — а ? N—, то а — Ь ? N и, значит, Ь < а и, наконец, если Ь — а ? то При этом очевидно, что никакие два из трех соотношений а < Ь, а = Ь и Ь < а одновременно выполняться не могут.

Доказательство остальных утверждений теоремы предоставляется читателю в качестве упражнения.

Следствие 1. Для любыс а, Ь, с Z справеДлива иМПлинациЯ а < Ь Л с 0 ас > bc, и, в частности, (при с

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а < Ь и с 0. Тогда b—a G N и (—с) Е N, откуда (Ь—а)(—с) ? N, т.е. ас—Ьс N, и, значит, ас > bc .

Заметим, что всякое кольцо, в котором задано бинарное отношение ” меньше“ , удовлетворяющее свойствам, указанным в формулировке предыдущей теоремы, называется упоряДоченныла.

Продолжим список принципиальных“ свойств упорядоченности в кольце Z

Теорема 2. Для любыс целых чисел а, Ь, с справедливы слеДующие импликации:

Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость 1) и 2) может быть легко установлена простой ” модификацией“ доказательств соответствующих свойств для натуральных чисел (свойство 9, 53, гл.Ш).

Докажем З). Пусть ас < bc и с > 0. Сравним числа а и Ь. По теореме 1 для них справедливо одно и только одно из условий: a < b, а = Ь, а.

В случае, если а = Ь, то ас = bc, а если Ь < а, то также по теореме 1 bc < ас. В обоих случаях получаем противоречие с условием, поэтому остается принять, что а < Ь.

Проверку импликации 4) предлагаем провести читателю в качестве упражнения.

Теорема З. Для любыс целыс чисел а и Ь, где а > 0, существует натуральное число п такое, что па > Ь (т.е. в кольце Z выполняется аксиома АрсимеДа)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если Ь < 0, то неравенство па Ь выполняется для любого натурального числа п .

Пусть теперь Ь О. Тогда а, Ь ? N и утверждение автоматически вытекает из аксиомы Архимеда для натуральныс чисел (свойство 11, З, гл.Ш).