Цель работы

1. Изучение полиномов многих переменных на основе системы Matlab.

Теоретические положения

Классические полиномы многих переменных

Рассмотрим классическую форму представления скалярного полинома  многих переменных , или, иначе, скалярного полинома  векторной переменной . Вектор  с целочисленными неотрицательными компонентами назовем мультииндексом и обозначим . Скалярная функция  переменных  вида

,  ,                  (2.1)

называется одночленом  переменных степени . Скалярная функция вида

                                         (2.2)

называется однородным полиномом степени  векторной переменной . Скалярная функция вида

называется полиномом степени  векторной переменной . Таким образом, полином степени  векторной переменной  представляет собой сумму однородных полиномов (2.2) или сумму одночленов вида (2.1) со степенями от  до :

.                                                 (2.3)

Например, классическое представление скалярного полинома второй степени трех переменных  имеет вид

.     (2.4)

Если ввести здесь однородные полиномы степеней , ,

,

,

,

то этот полином будет иметь вид

.

Важно знать, сколько одночленов содержит однородный полином степени  переменных (2.2) и полином  переменных степени  (2.3). Очевидно, что эти полиномы имеют столько же коэффициентов. Однородный полином степени  переменных (2.2) содержит

одночленов (коэффициентов). Полином  переменных степени  (2.3) содержит

.

одночленов (коэффициентов). Ясно, что

.

В частности, для полинома второй степени трех переменных (2.4) имеем

,

,

,

.

Для сравнения, число коэффициентов полинома 2-й степени четырех переменных будет равно

.

Неудобство работы с полиномами многих переменных в классической форме (2.3) состоит в плохой формализованности этого выражения. Плохая формализованность заключается в том, что порядковый номер коэффициента  в сумме (2.3) не совпадает с его «официальным номером» . Для преодоления этих трудностей необходимо иметь способ упорядочивания мультииндексных номеров  как для фиксированного числа , так и для всех . Наиболее часто применяется так называемое лексикографическое упорядочивание, определение которого также плохо формализовано. Из названия такого упорядочивания следует, что оно рассчитано на лексикографические способности человека и выполняется вручную. При отсутствии компьютерного алгоритма упорядочивания для однозначного определения полинома многих переменных (2.3) необходимо задавать не его коэффициенты , а таблицу соответствий порядковых номеров коэффициентов значениям коэффициентов и значениям их мультииндексов .