Цель работы
2.1.1. Изучение аппроксимации функции многих переменных отрезками ряда Тейлора с помощью многомерно-матричного подхода и исследование ее точности.
Теоретические положения
Многомерно-матричный ряд Тейлора для скалярной функции векторной переменной
Многомерно-матричный ряд Тейлора для скалярной функции векторной переменной
в окрестности точки
имеет вид:
, (2.1)
где ,
–
-мерные матрицы
-го порядка, симметричные при
. Они определяются выражениями:
,
,
, (2.2)
т.е. представляют собой многомерно-матричные производные функции , вычисленные в точке разложения
. Обозначение
означает
-свернутую
-ю степень вектора
.
Производная скалярной функции векторной переменной
определяется выражением
,
,
т.е. представляет собой вектор длины (одномерную матрицу
-го порядка). Производные высших порядков определяются последовательным дифференцированием:
,
.
Правила многомерно-матричного дифференцирования
Справедливы следующие правила многомерно-матричного дифференцирования [2, 3].
1. Производная сложной функции. Пусть – многомерно-матричная функция (
-мерная матрица)
–
-мерная матрица,
–
-мерная матрица с различными (несовпадающими) элементами,
Тогда производная определяется как следующее
-свернутое произведение:
2. Производная произведения. Пусть –
-мерная матрица,
–
-мерная матрица,
–
-мерная матрица,
причем
,
Справедлива следующая формула дифференцирования
-свернутого произведения матриц
и
:
.
Здесь символами и
обозначены подстановки типа «вперед» и «назад» на
индексов соответственно. Общее количество индексов подстановок
и
равно размерности транспонируемых матриц.
3. Производная неявной функции. Пусть функция задана неявно равенством
,
где –
-мерная матрица,
,
–
-мерная матрица,
,
–
-мерная матрица,
.
Тогда производная есть
-мерная матрица, которая находится как решение следующего многомерно-матричного уравнения
.
4. Производная транспонированной матрицы. Пусть –
-мерная матрица,
,
,
–
-мерная матрица,
.
Справедливо следующее равенство.
,
где – некоторая произвольная подстановка на
индексах
,
– тождественная подстановка на
индексах
.
Замечание. В рассматриваемом нами случае функции векторной переменной аргумент
является одномерной матрицей
-го порядка, т.е. в приведенных выше правилах дифференцирования
.
Пример
Приведем пример представления скалярной функции двух переменных многомерно-матричным рядом Тейлора. Рассмотрим функцию
,
где . В этом случае мы имеем скалярную функцию двух переменных
и
(одномерной матрицы второго порядка
). Если ввести одномерную матрицу коэффициентов
, то
и
. Будем рассматривать разложение в ряд Тейлора в окрестности точки
. Обозначим
.
Тогда
,
.
Заметим, что любая скалярная функция переменной может перемещаться в многомерно-матричных произведениях в любое место как скалярная величина. Найдем коэффициенты
,
,
,
(2.2) ряда Тейлора (2.1). Получим
,
В последнем выражении мы изменили место функции
в произведении на основании сказанного выше. Этим приемом будем пользоваться и в дальнейшем. Далее, так как
, то
,
,
где –
-свернутый квадрат матрицы
. Продолжим дифференцирование для поиска коэффициентов
,
(2.2).
,
,
.
Отрезок ряда Тейлора для рассмотренной функции имеет вид
.
Порядок выполнения работы
2.3.1. Выбрать функцию из таблицы 1.2 в соответствии с номером своего варианта, представив в ней скалярный аргумент в виде полинома 1-й или 2-й степени переменных
,
, например, в виде
, или в виде
, (2.3)
, (2.4)
и т.д. Для полученной таким образом функции двух переменных найти матрицы производных (2.2) до третьего порядка включительно. Воспользоваться при этом приведенными правилами многомерно-матричного дифференцирования [2, 3], оформив выбранную функцию
как промежуточную многомерно-матричную переменную. Например, для линейной функции
нужно ввести матрицы
,
и записать ее в виде
. Для квадратичных функций (2.3), (2.4) нужно дополнительно ввести симметричную матрицу коэффициентов
,
,
и записать эти функции в виде ,
,
. При расчетах для получения функции (2.3) необходимо задать матрицу
в виде
.
Для получения функции (2.4) матрицу необходимо выбрать нулевой, а матрицу
определить в виде
,
т.е. записать функцию (2.4) в виде . С помощью варьирования значений матриц
и
можно задавать другие функции двух переменных.
2.3.2. Написать m-файл-сценарий для аппроксимации данной функции двух переменных отрезками ряда Тейлора (2.1) в окрестности некоторой самостоятельно выбранной точки. В одно графическое окно с помощью программы mesh вывести графики функции и аппроксимирующих полиномов. Проанализировать точность аппроксимации при различном числе слагаемых ряда Тейлора.
2.3.3. Оформить отчет, в котором привести функцию двух переменных, ее многомерно-матричные производные и полученный отрезок ряда Тейлора.
ЛИТЕРАТУРА
1. Муха, В.С. Анализ многомерных данных: Монография / В.С. Муха. – Мн.: Технопринт, 2004. – 368 с.
2. Муха, В.С. Анализ многомерных данных: Лабораторный практикум / В.С. Муха. – Мн.: БГУИР, 2005. – 56 с.
3. Соколов, Н.П. Введение в теорию многомерных матриц / Н.П. Соколов. – Киев: Наукова думка, 1972. – 175 с.
4. Калюжнин, Л.А. Преобразования и перестановки / Л.А. Калюжнин, В.И. Сущанский. – М.: Наука, 1979. – 112 с.
5. Муха, В.С. Введение в MATLAB: Метод. пособие для выполнения лаб. работ по курсам "Статистические методы обработки данных" и "Теория автоматического управления" для спец. 53 01 02 "Автоматизированные системы обработки информации" / В.С. Муха, В.А. Птичкин. – Мн.: БГУИР, 2002. – 40 с.
6. Дьяконов, В.П. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики / В.П. Дьяконов, И.В. Абраменкова. – М.: Нолидж. – 1999. – 740 с.
7. Муха, В.С. Теория вероятностей: Учеб. пособие для студентов технических специальностей высших учебных заведений / В.С. Муха. – Мн.: БГУИР, 2001. – 167 с.
Анализ многомерных данных
Контрольные работы для студентов специальности 1 53 01 02
"Автоматизированные системы обработки информации"
дистанционной формы обучения
Указания к выбору варианта
Выполните контрольные работы по двум темам. Варианты возьмите из таблицы 1.0 в соответствии с последними двумя цифрами номера зачетки, отделенными дефисом. Если номер зачетки не содержит таких двух цифр, то обратитесь за вариантом к преподавателю. Отчет по каждой теме пришлите в виде отдельной папки, содержащей программы (m -файлы), отвечающие на каждый пункт "порядка выполнения работы". Имена файлов должны содержать номер пункта задания, например, файл с именем prog2_3_1.m решает задачи пункта 2.3.1 задания по теме 2. Если работа не зачтена, т.е. по ней имеются замечания, то присылайте работу целиком, включая и зачтенные вопросы (новую папку). Старая папка будет заменена новой и выполнена проверка.
Таблица 1.0
Номера вариантов контрольных работ
Последние две цифры зачетки | Вариант контрольной работы 1 по таблице 1.1 | Вариант контрольной работы 2 по таблице 2.1 |
[ 1] | '1.29' | '2.07' |
[ 2] | '1.19' | '2.15' |
[ 3] | '1.27' | '2.23' |
[ 4] | '1.14' | '2.01' |
[ 5] | '1.25' | '2.14' |
[ 6] | '1.19' | '2.24' |
[ 7] | '1.28' | '2.23' |
[ 8] | '1.06' | '2.13' |
[ 9] | '1.29' | '2.28' |
[ 10] | '1.13' | '2.27' |
[ 11] | '1.02' | '2.11' |
[ 12] | '1.25' | '2.01' |
[ 13] | '1.05' | '2.07' |
[ 14] | '1.06' | '2.19' |
[ 15] | '1.09' | '2.06' |
[ 16] | '1.01' | '2.23' |
[ 17] | '1.14' | '2.28' |
[ 18] | '1.15' | '2.13' |
[ 19] | '1.26' | '2.16' |
[ 20] | '1.07' | '2.21' |
[ 21] | '1.26' | '2.01' |
[ 22] | '1.21' | '2.12' |
[ 23] | '1.25' | '2.16' |
[ 24] | '1.22' | '2.13' |
[ 25] | '1.10' | '2.06' |
[ 26] | '1.06' | '2.21' |
[ 27] | '1.10' | '2.17' |
[ 28] | '1.05' | '2.21' |
[ 29] | '1.12' | '2.26' |
[ 30] | '1.26' | '2.18' |
[ 31] | '1.15' | '2.27' |
[ 32] | '1.25' | '2.20' |
[ 33] | '1.25' | '2.20' |
[ 34] | '1.21' | '2.09' |
[ 35] | '1.11' | '2.17' |
[ 36] | '1.22' | '2.10' |
[ 37] | '1.26' | '2.18' |
[ 38] | '1.12' | '2.22' |
[ 39] | '1.17' | '2.14' |
[ 40] | '1.21' | '2.19' |
[ 41] | '1.24' | '2.29' |
[ 42] | '1.16' | '2.27' |
[ 43] | '1.06' | '2.30' |
[ 44] | '1.09' | '2.08' |
[ 45] | '1.27' | '2.23' |
[ 46] | '1.05' | '2.01' |
[ 47] | '1.27' | '2.06' |
[ 48] | '1.09' | '2.20' |
[ 49] | '1.09' | '2.15' |
[ 50] | '1.02' | '2.30' |
[ 51] | '1.18' | '2.13' |
[ 52] | '1.16' | '2.11' |
[ 53] | '1.13' | '2.07' |
[ 54] | '1.18' | '2.23' |
[ 55] | '1.16' | '2.20' |
[ 56] | '1.07' | '2.12' |
[ 57] | '1.24' | '2.21' |
[ 58] | '1.14' | '2.18' |
[ 59] | '1.25' | '2.22' |
[ 60] | '1.19' | '2.02' |
[ 61] | '1.13' | '2.10' |
[ 62] | '1.27' | '2.01' |
[ 63] | '1.24' | '2.30' |
[ 64] | '1.30' | '2.24' |
[ 65] | '1.14' | '2.15' |
[ 66] | '1.07' | '2.20' |
[ 67] | '1.10' | '2.29' |
[ 68] | '1.22' | '2.13' |
[ 69] | '1.23' | '2.09' |
[ 70] | '1.14' | '2.29' |
[ 71] | '1.21' | '2.07' |
[ 72] | '1.26' | '2.19' |
[ 73] | '1.05' | '2.07' |
[ 74] | '1.19' | '2.19' |
[ 75] | '1.12' | '2.18' |
[ 76] | '1.14' | '2.02' |
[ 77] | '1.01' | '2.10' |
[ 78] | '1.11' | '2.12' |
[ 79] | '1.21' | '2.03' |
[ 80] | '1.02' | '2.19' |
[ 81] | '1.19' | '2.01' |
[ 82] | '1.01' | '2.06' |
[ 83] | '1.18' | '2.02' |
[ 84] | '1.12' | '2.19' |
[ 85] | '1.22' | '2.21' |
[ 86] | '1.03' | '2.14' |
[ 87] | '1.14' | '2.11' |
[ 88] | '1.05' | '2.21' |
[ 89] | '1.21' | '2.22' |
[ 90] | '1.15' | '2.17' |
[ 91] | '1.04' | '2.14' |
[ 92] | '1.22' | '2.27' |
[ 93] | '1.09' | '2.08' |
[ 94] | '1.26' | '2.07' |
[ 95] | '1.25' | '2.28' |
[ 96] | '1.07' | '2.08' |
[ 97] | '1.02' | '2.03' |
[ 98] | '1.20' | '2.16' |
[ 99] | '1.26' | '2.06' |
Дата: 2019-02-02, просмотров: 517.