Линейная модель, описывающая корреляционную зависимость, имеет следующий общий вид:

.

Линейная модель, описывающая корреляционную зависимость, имеет следующий общий вид: у=а₁*х₁+ а₂*х₃+ b

Используя данные таблиц, получаем систему нормальных уравнений:

;

Найдем параметры уравнения регрессии упрощенным способом:

,

.

Решая систему, получаем:

, , .

Итак, искомое уравнение регрессии имеет вид:

Yх=0,5295х₁+1,6921х₃+3129,0615

Оценка деятельности предприятия по использованию имеющихся возможностей проводится сравнением фактической величины результативного показателя с теоретической (расчетной), которая определяется на основе уравнения множественной регрессии. В нашем примере на предприятии №1 выпуск продукции (х₁) составляет 5349 тыс. руб., численность рабочих (х₃) – 331 чел. Отсюда расчетная величина основных фондов составит:

Yх=0,5295х1+1,6921х2+3129,0615=6521,4421тыс.руб.

Она превышает фактическую на 6521,4421/4999= 30,455 %. Это говорит о том, что данное предприятие использует свои возможности несколько хуже, чем в среднем все исследуемые предприятия.

Таблица 2- Расчет влияния факторов на прирост уровня выпуска продукции

Влияние каждого фактора на прирост (отклонение от плана) результативного показателя рассчитывается следующим образом:

∆Y_xi=b_i*∆x_i

В связи с тем что план был выполнен по фактору х₁, не выполнен по фактору х₃, объем выпуска продукции вырос на 161,1 тыс. руб.

Результаты многофакторного регрессионного анализа могут быть также использованы для планирования и прогнозирования уровня результативного показателя. С этой целью необходимо в полученное уравнение связи подставить плановый (прогнозный) уровень факторных показателей.

Yх=0,5295х1+1,6921х3+3129,0615

Yпл=3129,0615+0,5295*5600+1,6921*350=6686,4965 тыс. руб.

Так определяют резервы при условии прямолинейной зависимости, когда она отражается уравнением прямой.

Найдем среднюю ошибку аппроксимации. Для этого, подставив значения факторных признаков, соответствующих данному значению y в модель, получаем теоретические значения y_х, y_х=0,5295*5349+1,6921*331+ 3129,0615 =521,4421. Вычисления производим в таблице 10.12.

Таблица 3 - расчет исходных данных для определения средней ошибки аппроксимации

У	х1	х3	Уx	У- Уx
4999	5349	331	6521,4421	-1522,442	0,30454933
6929	6882	486	7595,4411	-666,4411	0,096181426
6902	7046	498	7702,5843	-800,5843	0,115993089
10097	7248	789	8301,9444	1795,0556	0,177781083
8097	5256	359	6519,5774	1577,4226	0,194815685
11116	14090	724	11814,797	-698,7969	0,062864061
4880	3525	821	6384,7631	-1504,763	0,308353094
7355	5431	428	6728,9948	626,0052	0,085112876
10066	7680	607	8222,7262	1843,2738	0,183118796
7884	8226	619	8532,1384	-648,1384	0,082209335
Итого	-	-	-	-1522,442	1,610978775

Ошибка аппроксимации. Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.  Итак, значение средней ошибки аппроксимации равно:

= что говорит о низкой точности модели. Поскольку ошибка выше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Определим значения дельта – коэффициентов. Имеем:

∆₁=

∆₃=

Сумма дельта – коэффициентов равна 1, следовательно, есть все основания полагать, что вычисления произведены верно. Итак, признак x₁ влияет на признак Y в пределах 91,54%, а степень влияния признака x₃ равна 8,46%.

Найдем величины средних коэффициентов эластичности:

 e₁₌ a1 * =0.5295* или 47,82%,

 e₃₌ a2 * =1.6921* или 12,23%.

Таким образом, изменение признака x₁ на 1% влечет за собой изменение признака Y на 47,82%, а вследствие изменения признака x₃, изменение признака Y составит 12,23%

Перейдем к модели с парной регрессией. Поскольку одновременно минимум дельта – коэффициента и среднего коэффициента эластичности соответствует признаку x₃,

,

,

то он исключается из модели. Итак, общий вид уравнения парной регрессии следующий:

.

Так как r_ух1=0,7593>0.7, то согласно выводам задачи связь признается линейной и тесной. Уравнение прямой линии регрессии найдем упрощенным способом: ;

;

;

.

Следовательно, данное уравнение можно использовать для практических целей:

а) оценки результатов хозяйственной деятельности;

б) расчета влияния факторов на прирост результативного показателя;

в) подсчета резервов повышения уровня исследуемого показателя;

г) планирования и прогнозирования его величины.

Пример 29.1 Вначале, запишем эмпирические данные (объем выборки n=10) в виде таблицы.

Приняв стоимость основных промышленно – производственных основных фондов за результативный признак, а остальные показатели – за факторные признаки, необходимо:

а) исключив один из факторных признаков, перейти к двухфакторной регрессии;

б) вычислить множественный коэффициент корреляции и сделать выводы о форме и силе корреляционной зависимости;

в) с помощью F – критерия Фишера с вероятностью 0,95 оценить статистическую значимость эмпирических данных;

г) вычислить значение общего индекса детерминации;

д) двумя способами получить уравнение линейной модели множественной регрессии;

е) по величине средней ошибки аппроксимации оценить точность линейной модели;

ж) подсчитать дельта – коэффициенты;

з) найти значения коэффициентов эластичности;

и) исключить из модели один из факторных признаков и перейти к модели с парной регрессией;

к) провести оценку деятельности предприятия №2 на основе уравнения множественной регрессии, если плановые валовая продукция в оптовых ценах предприятия составляет 6600 тыс. руб., среднесписочная численность рабочих -490 чел., стоимость основных фондов-6700 тыс. руб., а возможный уровень этих показателей: валовая продукция в оптовых ценах предприятия - 7500 тыс. руб., среднесписочная численность рабочих -495 чел. и сделайте прогноз уровня результативного показателя.

Таблица 1 - Исходные данные для множественного корреляционного анализа

Регрессионный анализ .