Следствие 1 (условие постоянства функции). Если  дифференцируема на  и , то  на .

Следствие 2 (условие монотонности функции). Если  дифференцируема на  и  на , то  монотонно возрастает на .

Следствие 3 (достаточное условие равномерной непрерывности функции). Если  определена и имеет ограниченную производную на , то  равномерно непрерывна на .

Пример. При каких значениях  функция  возрастает на всей числовой прямой.

Решение. Область определения функции – вся числовая ось.

Функция  будет возрастающей на всей числовой прямой, если  для всех  

Отсюда:                      

По свойству квадратного трёхчлена, он всегда неотрицателен, если . Так как , то должно выполняться .

Решением данного неравенства является отрезок .

Следовательно, данная функция  возрастает на всей числовой прямой при .

Теорема Коши. Пусть функции  и :

1. Непрерывны на отрезке ,

2. Имеют в каждой точке интервала  производные  и ,

3.  во всех точках интервала .

Тогда существует точка  такая, что .

Следствие из теоремы Коши. Если , то  такая, что .

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что производная дифференцируемой четной функции есть нечетная функция.

2. Привести пример дифференцируемой функции. которая является нечетной, но ее производная – четная функция.

3. Привести пример двух функций, каждая из которых не имеет производной в точке , и таких что:

1) , дифференцируема в точке ;

2) , дифференцируема в точке ;

4. Доказать, что производная дифференцируемой периодической функции есть функция, периодическая с таким же периодом.

5. Доказать, что если производная дифференцируемой функции  есть нечетная функция, то функция  – четная.

6. Привести пример двух функций, каждая из которых не имеет производной в точках  и , и таких, что их произведение дифференцируемо в точках  и .

Контрольные вопросы и задания

В этом разделе представлены образец контрольной работы и экзаменационные вопросы по данной теме в помощь студентам с целью плановой и более качественной подготовки к контрольным мероприятиям. Также представлен список учебной литературы по данной теме.

Образцы контрольной работы

Вариант 1

1. Записать на языке  и нарисовать эскиз графика: а) ; б) .

2. Исследовать на непрерывность и указать характер точек разрыва;

а) ; б) .

3. Найти пределы: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

Вариант 2

1. Найти  и , если .

2. Найти , если .

3. В каких точках касательные к кривой  параллельны прямой .

4. Составить уравнение касательной к кривой  в точке (1;1).

5. Найти угол наклона касательной к кривой  в точке .

6. Написать уравнение нормали к кривой, заданной параметрически  в точке .

7. Найти производные функций: а) ; б) ; в) ; г) .

Экзаменационные вопросы по данной теме