Теорема (1-я теорема Больцано–Коши). Если функция  непрерывна на отрезке  и на концах принимает значения разных знаков, то найдется точка  такая, что  (рис. 3).

Доказательство. Пусть для определенности .

Делим отрезок  пополам точкой . Если посредине отрезка , то теорема доказана, если нет, то выбираем ту половину отрезка, на концах которой функция принимает
Рис. 3 – Теорема Больцано–Коши         значения разных знаков. Выбранный отрезок  вновь делим пополам точкой . Если посредине нового отрезка , то теорема доказана, если нет, то выбираем ту половину от этой половины, на концах которой функция принимает значения разных знаков. Продолжим этот процесс до бесконечности (либо на каком-то этапе попадем в точку  такую, что , что приведет к досрочному завершению доказательства). Получим систему вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю при :  с условием, чтобы , .

По теореме Кантора (о вложенных отрезках) . А согласно замечанию к теореме Кантора , .

Из свойства непрерывности функции следует , . По теореме о предельном переходе имеем

    получили . Теорема доказана.

Так как в процессе доказательства искомая точка строится (ищется), то такое доказательство называется конструктивным.

Такая точка может быть не одна, но по крайней мере одна найдется!

Следствие (2-я теорема Больцано–Коши). Пусть функция  непрерывна на отрезке  и на концах принимает конечные, но не равные значения  тогда .

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

2. Доказать, что если многочлен четной степени принимает хотя бы одно значение, противоположное по знаку коэффициенту старшего члена, то он имеет не менее двух действительных корней.

3. Пусть функции  и  определены и непрерывны на отрезке  и , . Доказать, что существует точка  такая, что .

4. Функция  непрерывна на отрезке . Доказать, что функции  и  непрерывны на .

5. Пусть функции  и  непрерывны на отрезке . Доказать, что функции  и  непрерывны на .

Теоремы о непрерывности монотонной, сложной и обратной функций

Теорема. Монотонная функция имеет точки разрыва 1-го рода, то есть скачки.

Следствие. Если функция монотонна на  и область значений функции заполняет отрезок , то  непрерывна.

Теорема. Если в точке  функция  непрерывна, а в точке  функция  непрерывна, то  непрерывна в точке .

Теорема (о существовании обратной функции). Если функция :

1) определена на отрезке ;

2) строго монотонна на ;

3) непрерывна на ;

тогда

1¢) для  существует обратная, определенная на  (если  возрастает);

2¢)  строго монотонна (тоже возрастает);

3¢)  непрерывна на .