Задача о вычисленни мгновенной скорости движущейся точки

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Диалог между водителем женщиной и полицейским.

- Мадам, Вы нарушили правила дорожного движения. Вы ехали со скоростью 90 км/час.

- Простите, это невозможно. Как я могла проехать 90 км за час, если я еду всего лишь 7 минут.

- Я имею в виду, мадам, что если бы Вы продолжали бы ехать таким же образом, то через час Вы бы проехали 90 км.

- Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стенку в конце улицы!

- Ваш спидометр показывал 90 км/час.

- Мой спидометр и давно не работает.

Пример объяснения понятия скорости, взятый из Фейнмановских лекций по физике ( Башмаков, 10-11 класс Алгебра и начала анализа).

Попытаемся ответить на вопрос, «что такое скорость?» не ссылаясь на число, показываемое спидометром, а используя понятия расстояния и времени.

Пусть частица, например автомобиль, движется по прямолинейной дороге. И пусть задано уравнение – закон движения , то есть мы знаем пройденный путь в любой момент времени .

Пусть в момент частица находится в точке , а в момент – в точке . То есть за время было пройдено расстояние .

Отношение выразит среднюю скорость за время (рис. 7).

Рис. 7 – Скорость А мгновенная скорость в момент получится отсюда предельным переходом

Мы рассмотрели две задачи, и, если отвлечься от геометрического и механического смысла, то мы, по существу, делали одну и ту же операцию: приращение функции делили на приращение независимой переменной и вычисляли предел их отношения.

Таким образом, мы приходим к основному понятию дифференциального исчисления – понятию производной.

Определение производной

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и пусть приращение . Предел отношения приращения функции к приращению аргумента называется производной

(здесь мы обозначили ). Другие обозначения:

, (обозначения Лейбница), , (обозначения Лагранжа).

Пользуясь только что введенным понятием, можно определить геометрический и механический смысл производной.

Геометрический смысл: Производная функции в точке численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции построенной в точке с положительным направлением с осью .

Механический смысл: Производная равна скорости изменения (роста) функции в точке .

Из определения производной следует в случае убывающей функции производная отрицательная. Это объясняется тем, что будет отрицательным, если . На этом свойстве производной базируется исследование поведения функции на рост (падение) на заданном отрезке.

Определение. Касательной к графику функции в точке называется прямая, задаваемая уравнением проходящая через точку и имеющая коэффициент наклона .

Определение. Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Ее уравнение .

Определение. Будем считать углом между кривыми и в точке пересечения , где , угол между касательными к кривым и в этой точке (рис. 8). Обозначим , тогда

Рис. 8 – Угол между кривыми , .

Наше определение производной конструктивно, то есть показывает, как можно вычислить производную функции в данной точке.

Если же удается каждому числу из области определения функции поставить в соответствие значение , то это правило определит новую функцию на области определения , а именно, производную функции на множестве; то есть производная – новая функция.

При этом процесс вычисления производной функции называется дифференцированием.

Определение. Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала, то она называется дифференцируемой в интервале.

При этом процесс вычисления производной функции называется дифференцированием.

Примеры нахождения производной по определению

Пример 1. , .

Так как и , то . Имеем , то есть .

Пример 2. , .

Так как и , то .

Имеем . Здесь мы использовали что (непрерывность функции косинус), и (первый замечательный предел). В результате имеем .

Пример 3. , .

Так как и , то . Имеем . Здесь, по аналогии с предыдущим примером, мы использовали что (непрерывность функции синус), и (первый замечательный предел). Имеем

Пример 4. , .

Так как и , то . (Здесь мы воспользовались формулой ).

Имеем . Здесь, по аналогии с предыдущими примерами, мы использовали что (непрерывность функции косинус), и (первый замечательный предел). Таким образом .

Пример 5. , .

Так как и , то . Имеем . Здесь мы использовали следствие из второго замечательного предела . То есть .

Пример 6. , .

Так как и , то . Имеем

Здесь мы использовали следствие из второго замечательного предела . В результате имеем .

Пример 7. , .

Так как и , то . Имеем

. Здесь мы использовали следствие из второго замечательного предела . То есть .

Пример 8. , (рис. 9).

Заметим, что функция непрерывна, а её производная разрывна – свойства функции ухудшаются.

Теорема (о производной обратной функции). Пусть функция :

1) Определена на отрезке .

2) Строго монотонна на .

3) Непрерывна на .

(Это условия теоремы о
существовании обратной функции),

Рис. 9 – График функции еще добавим

4) В точке функция имеет производную, не равную нулю: .

Тогда для обратной функции в соответствующей точке также существует производная . (Другими словами ).

Доказательство. Выполнение условий 1) – 3) позволяет сделать вывод (по теореме о существовании обратной функции) что существует обратная функция , непрерывная и однозначная на области значений функции : (если возрастает).

Обозначим и придадим приращение аргументу , тогда будем иметь приращение функции . Заметим, что, так как функция осуществляет взаимно однозначное отображение, то, как только , так сразу . А из непрерывности следует, что при . Заметим, что , следовательно

Используя эту теорему, найдем производные обратных тригонометрических функций.

Пример 1. Пусть . Функция на монотонна. Тогда существует обратная функция и на . Выполнены все условия теоремы о существовании производной обратной функции

Пример 2. Пусть . Функция на отрезке монотонна. Тогда существует обратная функция и существует на . Выполнены все условия теоремы о существовании производной обратной функции