Свойство 1. Если функция имеет предел 
, то существует окрестность точки 
, в которой функция ограничена. (Это свойство можно назвать необходимым условием ограниченности функции, имеющей предел).
Свойство 2. Если 
, то 
.
Замечание. Справедливо аналогичное свойство и в случае, если 
.
Свойство 3. (отделимость от нуля). Если 
, то 
такие, что 
.
Свойство 4. (о единственности предела). Если функция имеет предел в точке 
, то этот предел – единственный.
Свойства, связанные с арифметическими операциями над пределами
Пусть существуют конечные 
и 
, тогда
Свойство 5. Предел суммы двух функций равен сумме пределов.
.
Свойство 6. Предел произведения двух функций равен произведению пределов.
.
Свойство 7. Предел отношения двух функций равен отношению пределов.
(при условии 
).
Свойство 8. Предел произведения числа на функцию равен произведению числа на предел функции.
.
Свойства, связанные с предельными переходами в неравенствах
Свойство 9. (теорема о предельном переходе в неравенстве). Если в некоторой окрестности точки 
( 
) выполнено 
и существуют 
и 
, то 
.
Замечание. При предельном переходе может возникнуть знак равенства.
Свойство 10. (теорема о пределе промежуточной функции, или о двух милиционерах). Если в некоторой окрестности точки 
выполнено 
и существуют
, то 
.
Аналогия между сходящимися последовательностями и функциями, имеющими пределы, распространяется и на критерий Коши.
Определение. Говорят, что функция 
в точке 
имеет «Ф-свойство» (по аналогии с фундаментальной последовательностью), если 
такое, что
.
Критерий Коши. Для того, чтобы функция в точке имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она имела «Ф - свойство».
Вычисления пределов. Неопределенности
Определение. Число 
называется пределом функции 
при 
, если 
.
Аналогично односторонний предел можно определить как при 
, так и при 
.
Замечание. Заметим, что свойства функций, имеющих предел, остаются справедливыми и в случае 
, если под окрестностью бесконечно удаленной точки будем понимать 
.
При вычислении пределов пользуются свойствами, связанными с арифметическими операциями над пределами.
Пример 1. 
;
Пример 2. 
;
Пример 3. 
;
Пример 4. 
(б.м. умноженная на ограниченную).
Поскольку мы добавили к 
элементы 
, то можно записать арифметические операции с этими элементами.
Так делают всегда, когда есть определенности.
Определенности
; 
;
; 
;
; 
;
; ( 
) 
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
.
Есть особые случаи, когда предел суммы, произведения и частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых, множителей или делимого и делителя. Такие случаи называются неопределенностями.
Неопределенности
Пример. Предел рациональной дроби
.
Замечательные пределы
Теорема (І замечательный предел). 
Замечание. Если в некоторой окрестности точки 
функция 
– б.м., то 
.
Теорема (ІІ замечательный предел). 
Следствие. Заменой 
получим 
.
ІІІ 
; 
.
IV. 
; 
.
V. 
.
Замечание. Замечание к I пределу справедливо и для других.
Сравнение б.м. О-символика
Определение. Если для двух функций 
и 
существует такая константа 
, что в некоторой окрестности точки 
выполняется неравенство 
, 
(то есть при 
), то говорят, что функция 
ограничена по сравнению с функцией 
в некоторой окрестности точки 
(или 
подчинена 
при 
). Обозначается 
.
Определение. Если функции 
и 
такие, что 
и 
при 
, то они называются функциями одного порядка при 
.
Определение. Говорят, что 
и 
эквивалентны, если 
(при условии, что 
, в некоторой окрестности точки 
). Обозначается 
при 
.
Определение. Если 
, где 
, то говорят, что 
есть б.м. относительно функции 
. Обозначается 
.
Определение. Говорят, что б.м. функция 
является величиной более высокого порядка малости, чем б.м. 
, если
при 
и 
. Обозначается: 
= 
.
Определение. Говорят, что функции 
и 
б.м. одного порядка малости, если существует конечный предел их отношения и он не равен нулю: 
.
Теорема. Пусть 
~ 
, 
~ 
, при 
. Тогда 
.
Теорема (об эквивалентных функциях). Функции 
и 
эквивалентны при 
, если 
можно представить в виде: 
. При этом 
называют главной частью функции 
.
Таблица эквивалентных функций при 
1. 
~ 
. 2. 
~ 
. 3. 
~ 
.
4. 
~ 
. 5. 
~ 
. 6. 
~ 
.
7. 
~ 
. 8. 
~ 
. 9. 
~ 
.
10. 
~ 
.
Правила действия с символом «О-большое» при 
1. 
, 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
если 
~ 
.
Правила действия с символом «о-малое» при 
1. 
, 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. 
если 
~ 
.
6. 
.
7. 
и 
.
Замечание. Равенства 2–4 читаются слева направо.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 455.
