Теорема Ферма. (О необходимом условии экстремума дифференцируемой функции). Пусть  определена на некотором интервале  и в точке  принимает наибольшее или наименьшее значение на . Тогда если Рис. 16 – Теорема Ферма     существует, то она равна нулю (рис. 16).

Доказательство. Пусть для определенности функция  в точке  принимает наибольшее значение, то есть , .

Тогда , если ;

и     если .

Если существует производная в точке : , то переходя к пределу при  из первого неравенства получим, что , а с другого неравенства при  получим  (неравенства становятся нестрогими по свойству 9 предельных переходов в неравенствах из §3 главы 3). Полученные неравенства приводят к двум вариантам: 1)  – производная не существует; 2)  – производная существует и равна нулю.

Геометрическая интерпретация. Если в точке  функция дифференцируема и принимает наибольшее или наименьшее значение, то касательная в точке  к графику функции параллельна оси .

Замечание. Функция определена на интервале для того, чтобы она принимала наибольшее значение во внутренней точке, то есть, чтобы существовал двусторонняя окрестность, в которой . В случае отрезка  может достигаться на одном из концов и тогда для односторонней окрестности будут выполнены , но при этом односторонняя производная не обязана обращаться в ноль.

Теорема Ролля. Пусть функция :

1. Непрерывна на отрезке ,

2. Имеет в каждой точке интервала  производную,

3. .

Тогда существует такая точка , Рис. 17 – Теорема Ролля     что  (рис. 17).

Доказательство. Так как непрерывна на отрезке, то по второй теореме Вейерштрасса найдутся точки  и  из , в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения на :  и .

Тогда  выполнено . Рассмотрим два случая.

Случай 1. , тогда  функция постоянна и ее производная ,  и в качестве  можно брать любую точку .

Случай 2.  (  ), тогда из условия теоремы  следует, что, хотя бы одна из точек  или  принадлежит интервалу  (внутренняя). Пусть это будет : . То есть в точке  функция достигает . По теореме Ферма . Точка нашлась.

Геометрическая интерпретация. Если функция  непрерывна и дифференцируема внутри отрезка и на концах принимает одинаковые значения то тогда внутри отрезка существует точка, в которой касательная параллельна оси . Теорема не утверждает, что это единственная точка.

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать, что корни многочлена  действительны, простые и принадлежат интервалам ; ; ; .

2. Доказать, что если функция  удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке  и не является постоянной, то на этом отрезке существуют такие точки  и , что , .

Теорема Лагранжа (о среднем значении в дифференциальном исчислении). Пусть функция :

1. Непрерывна на отрезке ,

2. Имеет в каждой точке интервала  производную,

Тогда существует точка  такая, что  (рис. 18).

Рис. 18 – Теорема Лагранжа

Геометрическая интерпретация. Если некоторая дуга кривой является графиком непрерывной и дифференцируемой функции, то на этой дуге найдется точка, в которой касательная наклонена к оси  под таким же углом как и секущая