Теорема Ферма. (О необходимом условии экстремума дифференцируемой функции). Пусть
определена на некотором интервале
и в точке
принимает наибольшее или наименьшее значение на
. Тогда если
Рис. 16 – Теорема Ферма существует, то она равна нулю (рис. 16).
Доказательство. Пусть для определенности функция в точке
принимает наибольшее значение, то есть
,
.
Тогда , если
;
и если
.
Если существует производная в точке :
, то переходя к пределу при
из первого неравенства получим, что
, а с другого неравенства при
получим
(неравенства становятся нестрогими по свойству 9 предельных переходов в неравенствах из §3 главы 3). Полученные неравенства приводят к двум вариантам: 1)
– производная не существует; 2)
– производная существует и равна нулю.
Геометрическая интерпретация. Если в точке функция дифференцируема и принимает наибольшее или наименьшее значение, то касательная в точке
к графику функции параллельна оси
.
Замечание. Функция определена на интервале для того, чтобы она принимала наибольшее значение во внутренней точке, то есть, чтобы существовал двусторонняя окрестность, в которой . В случае отрезка
может достигаться на одном из концов и тогда для односторонней окрестности будут выполнены
, но при этом односторонняя производная не обязана обращаться в ноль.
Теорема Ролля. Пусть функция :
1. Непрерывна на отрезке
,
2. Имеет в каждой точке интервала производную,
3. .
Тогда существует такая точка , Рис. 17 – Теорема Ролля что
(рис. 17).
Доказательство. Так как непрерывна на отрезке, то по второй теореме Вейерштрасса найдутся точки и
из
, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения на
:
и
.
Тогда выполнено
. Рассмотрим два случая.
Случай 1. , тогда
функция постоянна и ее производная
,
и в качестве
можно брать любую точку
.
Случай 2. (
), тогда из условия теоремы
следует, что, хотя бы одна из точек
или
принадлежит интервалу
(внутренняя). Пусть это будет
:
. То есть в точке
функция достигает
. По теореме Ферма
. Точка нашлась.
Геометрическая интерпретация. Если функция непрерывна и дифференцируема внутри отрезка и на концах принимает одинаковые значения то тогда внутри отрезка существует точка, в которой касательная параллельна оси
. Теорема не утверждает, что это единственная точка.
Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать, что корни многочлена действительны, простые и принадлежат интервалам
;
;
;
.
2. Доказать, что если функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке
и не является постоянной, то на этом отрезке существуют такие точки
и
, что
,
.
Теорема Лагранжа (о среднем значении в дифференциальном исчислении). Пусть функция
:
1. Непрерывна на отрезке ,
2. Имеет в каждой точке интервала производную,
Тогда существует точка такая, что
(рис. 18).
Рис. 18 – Теорема Лагранжа
Геометрическая интерпретация. Если некоторая дуга кривой является графиком непрерывной и дифференцируемой функции, то на этой дуге найдется точка, в которой касательная наклонена к оси под таким же углом как и секущая
Дата: 2018-11-18, просмотров: 363.