Определение. Последовательность называется монотонно возрастающей, если 
(строго возрастающей).
Аналогично: строго убывающая, если 
.
Если 
, то говорят, что последовательность неубывающая, а если 
– что последовательность невозрастающая.
Пример. 1) 
возрастает для любого 
;
2) 
убывает для любого 
.
Теорема (Вейерштрасса). Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Доказательство. Пусть 
– возрастающая последовательность. Так как она ограничена, то 
.
Тогда по теореме о существовании точной верхней грани существует 
. Следовательно, выполняются два условия определения верхней грани:
1) 
;
2) 
.
Так как 
возрастающая, то 
выполнено 
и имеем 
, или 
.
Замечание. Теорема справедлива, если последовательность монотонна, начиная с некоторого номера 
.
Пример. Доказательство существования числа 
.
Решение. Рассмотрим последовательность 
и покажем, что она монотонная и ограниченная, то есть, выполнены все условия теоремы Вейерштрасса. Проверим монотонность
.
Мы применили неравенство Бернулли (Если 
, то 
), обозначив 
, при этом очевидно, что 
Проверим ограниченность, воспользовавшись формулой бинома Ньютона
.
Последовательность 
– неубывающая и ограниченная, а потому, по теореме Вейерштрасса, она сходящаяся и имеет конечный предел. Обозначают предел последовательности 
, а ее числовое значение 
Подпоследовательность
Пусть имеется последовательность 
. Отметим каким-либо образом в ней бесконечно много членов и перенумеруем их заново слева направо. Получим набор 
, который назовем подпоследовательностью.
Определение. Если из данной последовательности выбрать бесконечное число членов с сохранением порядка, то получим подпоследовательность данной последовательности.
Теорема (о пределе подпоследовательности). Если последовательность имеет предел (конечный или нет), то такой же предел имеет и любая ее подпоследовательность.
Задача для самостоятельного решения
1. Для последовательности 
её подпоследовательности 
и 
сходятся. Доказать, что сходится и сама последовательность.
Теорема (Больцано – Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Теорема. Из неограниченной последовательности можно извлечь б.б. подпоследовательность.
Определение. Предел любой сходящейся подпоследовательности называется частичным пределом данной последовательности.
Следствие. Теорема Больцано – Вейерштрасса утверждает, что всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.
Определение. Частичные пределы последовательности 
образуют множество предельных точек этой последовательности, которое имеет наибольший и наименьший элемент.
Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать, что множество предельных точек последовательности 
имеет наибольший и наименьший элемент. При этом их обозначают: 
, 
.
2. Доказать, что верхний и нижний пределы также являются предельными точками последовательности 
.
Проверка последовательности на сходимость не всегда целесообразна по определению. Это связано с тем, что в определении сходящейся последовательности участвует значение предела, которое может быть и неизвестным. Поэтому желательно иметь какой-нибудь критерий для определения сходимости или расходимости последовательности, основанный только на свойствах элементов данной последовательности. Сформулируем такой критерий.
Определение. Последовательность 
называется фундаментальной, если 
.
Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Задачи для самостоятельного решения
1. Последовательность 
ограничена, 
, 
. Доказать, что последовательности 
и 
сходятся.
2. Пусть 
. Доказать, что 
.
3. Пусть 
. Доказать, что 
.
4. Привести пример сходящейся последовательности 
, для которой существует 
.
Значения некоторых пределов
1. 
2. 
3 
( 
)
4. 
5. 
, 
6. 
( 
)
7. 
( 
) 8. 
9. 
.
И снова тема беспредела 
.
Предел функции
Определение. Интервал вида 
или 
называется 
– окрестностью точки 
и обозначается 
, 
или 
.
Проколотой окрестностью точки 
называется окрестность точки 
, из которой выброшена (выколота) сама точка. Обозначается 
.
Окрестностью точки « 
» называется любой бесконечный промежуток (луч) вида 
.
Окрестностью точки « 
» называется любой бесконечный промежуток (луч) вида 
.
Окрестностью точки « 
» называется объединение двух окрестностей 
и 
.
Определение. Точка 
называется внутренней точкой множества 
, если эта точка принадлежит данному множеству вместе с некоторой своей окрестностью.
Определение. Точка 
называется предельной точкой множества 
, если в любой окрестности точки 
найдется точка 
такая, что 
.
Определение предела объясним на графике (рис. 2).
При приближении к 
значения функции стремятся к 
.
при 
.
Определение можно дать как на языке Рис. 2 – Понятие предела последовательности, так и на языке окрестностей.
Пусть точка 
является предельной точкой 
. Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
, кроме, может быть, самой этой точки, то есть в 
.
Определение (по Гейне). Число 
называется пределом функции 
при 
, если 
выполнено 
.
Определение (по Коши). Число 
называется пределом функции 
при 
, если для любого сколь угодно малого, заранее заданного 
существует такое 
, что для всех 
таких, что 
выполняется неравенство 
. Или символами
.
Теорема (о равносильности двух определений предела). Если функция 
имеет предел в точке 
по определению Коши, то она имеет предел и по определению Гейне и наоборот.
Пределы, которые мы рассматривали с помощью двухсторонней окрестности, называются двусторонними.
Возможны, однако, односторонние пределы.
При этом 
– левый предел; 
– правый предел.
В первом случае 
;
Во втором 
.
Задача для самостоятельного решения
1. Для того, чтобы 
имела в точке 
двусторонний предел, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке правый и левый пределы и они были равны.
Бесконечно малые функции
Определение. Функция 
называется бесконечно малой функцией (б.м.), или просто бесконечно малой при 
, если 
.
Б.м. функции имеют важную роль (как и б.м. последовательности). Это связано с тем, что общее понятие предела функции может быть сведено к понятию б.м. функции.
Свойство 1. Предел функции 
в точке 
существует и равен числу 
тогда и только тогда, когда функция 
может быть представлена в виде 
, где 
– б.м. при 
.
Свойство 2. Сумма двух б.м. функций при 
есть б.м. функция.
, 
– б.м. 
– б.м.
Свойство 3. Произведение двух б.м. функций при 
есть б.м. функция.
, 
– б.м. 
– б.м.
Замечание. Свойства 2 и 3 справедливы для любого конечного числа слагаемых (множителей).
Свойство 4. Произведение б.м. функции на ограниченную при 
есть функция б.м.
Определение. Функция 
называется бесконечно большой (б.б.) при 
, если 
, то есть если
.
Свойство 5. Функция 
( 
, 
) есть б.м. функция при 
тогда и только тогда, когда 
есть б.б. функция.
По аналогии с конечными односторонними пределами, введем определение и односторонних бесконечных пределов.
.
Бесконечности положительная и отрицательная – это не числа, их можно добавить к множеству действительных чисел 
как новые элементы 
. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 505.
