Определение. Последовательность называется монотонно возрастающей, если
(строго возрастающей).
Аналогично: строго убывающая, если
.
Если , то говорят, что последовательность неубывающая, а если
– что последовательность невозрастающая.
Пример. 1) возрастает для любого
;
2) убывает для любого
.
Теорема (Вейерштрасса). Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.
Доказательство. Пусть – возрастающая последовательность. Так как она ограничена, то
.
Тогда по теореме о существовании точной верхней грани существует . Следовательно, выполняются два условия определения верхней грани:
1)
;
2) .
Так как возрастающая, то
выполнено
и имеем
, или
.
Замечание. Теорема справедлива, если последовательность монотонна, начиная с некоторого номера .
Пример. Доказательство существования числа .
Решение. Рассмотрим последовательность и покажем, что она монотонная и ограниченная, то есть, выполнены все условия теоремы Вейерштрасса. Проверим монотонность
.
Мы применили неравенство Бернулли (Если , то
), обозначив
, при этом очевидно, что
Проверим ограниченность, воспользовавшись формулой бинома Ньютона
.
Последовательность – неубывающая и ограниченная, а потому, по теореме Вейерштрасса, она сходящаяся и имеет конечный предел. Обозначают предел последовательности
, а ее числовое значение
Подпоследовательность
Пусть имеется последовательность . Отметим каким-либо образом в ней бесконечно много членов и перенумеруем их заново слева направо. Получим набор
, который назовем подпоследовательностью.
Определение. Если из данной последовательности выбрать бесконечное число членов с сохранением порядка, то получим подпоследовательность данной последовательности.
Теорема (о пределе подпоследовательности). Если последовательность имеет предел (конечный или нет), то такой же предел имеет и любая ее подпоследовательность.
Задача для самостоятельного решения
1. Для последовательности её подпоследовательности
и
сходятся. Доказать, что сходится и сама последовательность.
Теорема (Больцано – Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Теорема. Из неограниченной последовательности можно извлечь б.б. подпоследовательность.
Определение. Предел любой сходящейся подпоследовательности называется частичным пределом данной последовательности.
Следствие. Теорема Больцано – Вейерштрасса утверждает, что всякая ограниченная последовательность имеет хотя бы один частичный предел.
Определение. Частичные пределы последовательности образуют множество предельных точек этой последовательности, которое имеет наибольший и наименьший элемент.
Задачи для самостоятельного решения
1. Доказать, что множество предельных точек последовательности имеет наибольший и наименьший элемент. При этом их обозначают:
,
.
2. Доказать, что верхний и нижний пределы также являются предельными точками последовательности .
Проверка последовательности на сходимость не всегда целесообразна по определению. Это связано с тем, что в определении сходящейся последовательности участвует значение предела, которое может быть и неизвестным. Поэтому желательно иметь какой-нибудь критерий для определения сходимости или расходимости последовательности, основанный только на свойствах элементов данной последовательности. Сформулируем такой критерий.
Определение. Последовательность называется фундаментальной, если
.
Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Задачи для самостоятельного решения
1. Последовательность ограничена,
,
. Доказать, что последовательности
и
сходятся.
2. Пусть . Доказать, что
.
3. Пусть . Доказать, что
.
4. Привести пример сходящейся последовательности , для которой существует
.
Значения некоторых пределов
1. 2.
3
(
)
4. 5.
,
6.
(
)
7. (
) 8.
9.
.
И снова тема беспредела
.
Предел функции
Определение. Интервал вида или
называется
– окрестностью точки
и обозначается
,
или
.
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки
, из которой выброшена (выколота) сама точка. Обозначается
.
Окрестностью точки « » называется любой бесконечный промежуток (луч) вида
.
Окрестностью точки « » называется любой бесконечный промежуток (луч) вида
.
Окрестностью точки « » называется объединение двух окрестностей
и
.
Определение. Точка называется внутренней точкой множества
, если эта точка принадлежит данному множеству вместе с некоторой своей окрестностью.
Определение. Точка
называется предельной точкой множества
, если в любой окрестности точки
найдется точка
такая, что
.
Определение предела объясним на графике (рис. 2).
При приближении к значения функции стремятся к
.
при
.
Определение можно дать как на языке Рис. 2 – Понятие предела последовательности, так и на языке окрестностей.
Пусть точка является предельной точкой
. Пусть функция
определена в некоторой окрестности точки
, кроме, может быть, самой этой точки, то есть в
.
Определение (по Гейне). Число называется пределом функции
при
, если
выполнено
.
Определение (по Коши). Число называется пределом функции
при
, если для любого сколь угодно малого, заранее заданного
существует такое
, что для всех
таких, что
выполняется неравенство
. Или символами
.
Теорема (о равносильности двух определений предела). Если функция имеет предел в точке
по определению Коши, то она имеет предел и по определению Гейне и наоборот.
Пределы, которые мы рассматривали с помощью двухсторонней окрестности, называются двусторонними.
Возможны, однако, односторонние пределы.
При этом – левый предел;
– правый предел.
В первом случае
;
Во втором
.
Задача для самостоятельного решения
1. Для того, чтобы имела в точке
двусторонний предел, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке правый и левый пределы и они были равны.
Бесконечно малые функции
Определение. Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.), или просто бесконечно малой при
, если
.
Б.м. функции имеют важную роль (как и б.м. последовательности). Это связано с тем, что общее понятие предела функции может быть сведено к понятию б.м. функции.
Свойство 1. Предел функции в точке
существует и равен числу
тогда и только тогда, когда функция
может быть представлена в виде
, где
– б.м. при
.
Свойство 2. Сумма двух б.м. функций при есть б.м. функция.
,
– б.м.
– б.м.
Свойство 3. Произведение двух б.м. функций при есть б.м. функция.
,
– б.м.
– б.м.
Замечание. Свойства 2 и 3 справедливы для любого конечного числа слагаемых (множителей).
Свойство 4. Произведение б.м. функции на ограниченную при есть функция б.м.
Определение. Функция называется бесконечно большой (б.б.) при
, если
, то есть если
.
Свойство 5. Функция (
,
) есть б.м. функция при
тогда и только тогда, когда
есть б.б. функция.
По аналогии с конечными односторонними пределами, введем определение и односторонних бесконечных пределов.
.
Бесконечности положительная и отрицательная – это не числа, их можно добавить к множеству действительных чисел как новые элементы
. После этого числовая прямая превращается в так называемую расширенную прямую.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 617.