Упорядочим оценки по ивриту и результаты тестирования в порядке убы­вания и проранжируем их (табл. 8.10).

Таблица 8.10

Упорядоченные и проранжированные результаты экзамена и тестирования

Иврит	93	90	85	83	83	80	77	75	71	67
Ранг	1	2	3	4,5	4,5	6	7	8	9	10
Логическое мышление	95	93	90	88	88	80	75	73	69	64
Ранг	1	2	3	4,5	4,5	6	7	8	9	10

Заменим в таблице 8.9 результаты в 100-балльной шкале соответствующими рангами. Получим новую таблицу 8.11.

Таблица 8.11

Ранги результатов экзамена по ивриту и тестирования логического мышления

Упорядочим значения рангов по ивриту от 1 до 10 и соответствующим об­разом расположим значения рангов для логического мышления (табл. 8.12). Вычислим для каждого ранга во второй строке число совпадений и инверсий.

Таблица 8.12

Упорядоченные ранги результатов экзамена по ивриту и соответствующие ранги

Результатов тестирования

Обратите внимание! При подсчете совпадений и инверсий связанные ранги учитываются только один раз. Например, правее ранга 2 расположено 8 значений, больших, чем 2; 3; 10; 4,5; 4,5; 6; 8; 9; 7. Но поскольку значения 4,5 и 4,5 образованы связанными рангами, они берутся в расчет только один раз. Поэтому фактическое число совпадений для ранга 2 будет не 8, а 7.

Сумма совпадений = (7 + 6 + 0 + 5 + 4 + 4 + 3 + 1 + 0 + 0) = 30

Сумма инверсий = (1 + 1 + 6 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0) = 9

S = (Сумма совпадений – Сумма инверсий) = (30 - 9) = 21

При наличии связанных рангов используется иная формула для вычисления коэффициента ранговой корреляции Кендалла τ:

где Т_х=0,5∑ t_x(t_x -1), Т_у=0,5∑ t_у(t_у -1), t_x, t_у — размер каждой группы связанных

рангов (количество повторяющихся значений) в первой (х) и второй (у) строках.

В табл. 8.12 в первой строке (ранги оценок по ивриту) есть одна группа свя­занных рангов (4,5 и 4,5). Здесь t_x =2 и Т_х = 1/2[2(2 -1)] = 1.

Аналогичная ситуация во второй строке — одна группа связанных рангов, включающая два значения: 4,5 и 4,5. Поэтому t_у =2 и Т_у =1/2[2(2 -1)] = 1.

Подставим все необходимые значения в формулу для вычисления τ:

Проверим полученные значения коэффи­циента ранговой корреляции Кендалла на значимость.

Вначале проверим на значимость значение τ для первого примера (ранжирование фото­графий): τ =–0,485.

Выберем уровень значимости а=0,05 и сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы.

Н₀: Коэффициент корреляции между ре­зультатами оценивания женской привлека­тельности представителями двух различных культур равен нулю.

Н₁: Коэффициент корреляции между ре­зультатами оценивания женской привлека­тельности представителями двух различных культур отличен от нуля (двусторонняя кри­тическая область).

Для проверки коэффициента ранговой корреляции Кендалла на значимость используется несколько подходов, в зависимости от значения N.

Если N > 10, то вначале вычисляется значение z :

Затем по таблице z-распределения (см. табл. 1, Приложение 2) определяет­ся вероятность (для односторонней критической области), соответствующая полученному значению. Если эта вероятность оказывается больше выбранно­го уровня значимости а, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если найденная вероятность меньше выбранного уровня значимости α или равна ему, нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная.

Вычислим z для τ = –0,485 и N= 12.

В таблице 1 (Приложение 2) для z -распределения, находим, что значению z = – 2,195 соответствует вероятность р =0,0143.

В том случае, если критическая область двусторонняя (как в нашем случае), значение вероятности необходимо удвоить: р =0,0286.

Поскольку значение уровня значимости α =0,05 больше, чем р =0,0286, нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная. Существует значимая, отличная от нуля корреляционная связь между результатами оценивания женской привлекательности представителями двух различных культур.

Проверим на значимость результат, полученный во втором примере (случай связанных рангов): τ = 0,477. 

Выберем уровень значимости α =0,05 и сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы.

Н₀: Коэффициент корреляции между уровнем знания иврита и показателями логичности мышления у новых иммигрантов равен нулю.          

Н₁: Коэффициент корреляции между уровнем знания иврита и показателями логичности мышления у новых иммигрантов отличен от нуля (двусторонняя критическая область).         

Для случая малых выборок (N ≤ 10) существует специальная таблица, содержащая значения р (односторонняя критическая область) в зависимости значений т и N (см. табл. 12, Приложение 2).

Из таблицы 12 находим, что для τ = 0,477 и N= 10 значение р лежит между р =0,036 (для τ = 0,467) и р =0,023 (для τ = 0,511). Примем р =0,030. Поскольку альтернативная гипотеза сформулирована для случая двусторонней критической области, удваиваем это значение: р =0,060.

Полученное значение вероятности оказалось больше, чем α =0,05. Оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет. Коэффициент корреляции между уровнем знания иврита и показателями логичности мышления у новых иммигран­тов — выпускников языковых курсов незначимо отличается от нуля⁹.

ВКЛЮЧАЕМ КОМПЬЮТЕР...

Результаты ранжирования фотографий поместим в переменные «Ранг 1» (range 1) и «Ранг 2» (range 2) Дальнейшие действия и получаемый результат показаны на рис. 8.6-8.8.

Рис. 8.6. Выбор требуемой статистической процедуры

Рис. 8.7. Коэффициент ранговой корреляции Кендалла: необходимые действия и настройки

Рис. 8.8. Коэффициент ранговой корреляции Кендалла: результат

Рассмотрим пример со связанными рангами. В переменной «Иврит» (Нebrew) поместим результаты экзамена по ивриту, а в переменной «Логика» (logic) све­дения об уровне логического мышления. Результат вычислений для случая двусторонней и односторонней критических областей показан на рис. 8.9.

Обратите внимание! Один и тот же коэффициент корреляции, в зависимо­сти от того, как сформулирована альтернативная гипотеза, в одном случае признается незначимым, а в другом — значимым!

Рис. 8.9. Коэффициент ранговой корреляции Кендалла: результат

 (пример для связанных рангов)