Рядом Лорана называется ряд вида . Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

 – правильная часть ряда Лорана,

  – главная часть ряда Лорана,

и сходящийся тогда и только тогда, когда сходятся обе его части.

Если функция f(z) аналитическая в кольце , то она представляется в этом кольце рядом Лорана:

,

где

, .

Точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует проколотая окрестность  точки z₀, в которой  аналитична, а в самой точке z₀ аналитичность нарушена.

Изолированная особая точка z₀ функции f(z) называется:

Ø устранимой, если главная часть ряда Лорана функции f(z) в  отсутствует;

Ø полюсом порядка k, если главная часть ряда Лорана функции f(z) в  содержит конечное число (а именно: k) членов (в случае k =1  полюс называется простым);

Ø существенно особой, если главная часть ряда Лорана функции f(z) в  содержит бесконечное число членов.

При определении характера изолированной особой точки использу-ются следующие теоремы.

1. Для того чтобы точка z₀ являлась устранимой особой точкой аналитической функции f(z), необходимо и достаточно существование конечного предела .

2. Для того чтобы точка z₀ являлась полюсом аналитической функции f(z), необходимо и достаточно существование предела .

2'. Для того чтобы точка z₀ являлась полюсом порядка n аналитической функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы функцию f(z) можно было представить в виде , где φ(z) – функция аналитическая в точке , причём φ(z)≠0/

2". Пусть  – изолированная особая точка функции , где  и  – функции аналитические в точке . Если числитель  и все производные до  порядка включительно в точке  равны нулю, а , знаменатель  и все производные до  порядка включительно в точке  равны нулю, а , то при  точка  является полюсом порядка  аналитической функции . Если , то точка  является устранимой особой точкой аналитической функции .

3. Пусть при  аналитическая функция  не имеет пределов ни конечного, ни бесконечного. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы точка  была существенно особой точкой функции .

Задача 5.1. Разложить в ряд по степеням  функции:

a) , ; б) , .

Решение

а) функция  не аналитична лишь в одной точке . Рассмотрим окружность  с центром в точке  и проходящую через точку : . Эта окружность разбивает всю плоскость на две области: круг :  и кольцо : , в каждой из которых функция  аналитична. Следовательно, в круге  функция  разлагается в ряд Тейлора, а в кольце  – в ряд Лорана, причём оба разложения по степеням разности , то есть по степеням .   

Преобразуем функцию , выделяя нужную разность так, чтобы можно было воспользоваться известным разложением

, .

Для разложения в  вынесем в знаменателе дроби  число , получим: .

Если теперь ввести обозначение , то дробь  можно разложить по формуле , то есть

= .  –

ряд Тейлора. Это разложение имеет место при

,

то есть в круге .

Для разложения в  вынесем в знаменателе дроби  выражение  за скобки, получим:

Если ввести обозначение , то снова по формуле  получим:                       = ,

а           = =  –

это ряд Лорана. Разложение имеет место при

,

то есть в области .

б) функцию  нужно разложить по степеням , то есть . В точке  и только в ней функция  не аналитична, но она аналитична в кольце , следовательно, в этом кольце она разлагается в ряд Лорана.

В выражении для  выделим разность :

.

Введём обозначение , и воспользуемся известным разложением: .

Значит, .

Подставим последнее разложение в :

= =  .

Это и есть искомое разложение в ряд Лорана. Оно имеет место на всей комплексной плоскости, кроме точки .

Задача 5.2

Определить типы изолированных особых точек для функции:

а)  ; б) ; в) .

Решение

а) Функции  и  аналитичны на всей комплексной плоскости, следовательно, их частное аналитично всюду, где , то есть особые точки функции  – это нули функции . Очевидно, функция  имеет нули: , кратности 4, и , кратности 3.

Рассмотрим изолированную особую точку  функции , где , а , и применим теорему 2" для определения её типа.

, , , ,

,

следовательно,

. , , ,

, ,

, ,

, ,

следовательно, . Тогда  полюс порядка .

Изолированная особая точка  является полюсом второго порядка.

Рассмотрим изолированную особую точку  для функции

,

где  – функция аналитическая в точке , причём . Применяя теорему 2´ для определения типа изолированной особой точки, заключаем, что  – полюс третьего порядка.

б) Функции  и  аналитичны на всей комплексной плоскости, следовательно, их частное аналитично всюду, где μ(z)≠0, то есть особые точки функции  – это нули функции μ(z).

.

Таким образом, изолированными особыми точками функции  являются  и .

Для точки  применим теорему 2":   

, , , ,
     ,

следовательно,

, , , ,

, ,

, ,

следовательно, . Тогда  полюс порядка . Изолиро-ванная особая точка  является полюсом первого порядка.

Для точек  применим теорему 2":

, , , ,      
      ,

следовательно,

, , , ,

, ,

следовательно, . Так как , изолированные особые точки ,  являются устранимыми особыми точками.

в) Функция  имеет одну изолированную особую точку . Разложим  в ряд Лорана в проколотой окрестности этой точки, то есть по степеням .

Так как ряд Лорана содержит бесконечно много отрицательных степеней, то точка  существенно особая точка для .