Пусть в области D заданы непрерывная функция

и гладкая кривая  с началом в точке A и концом в точке B, заданная уравнением ,  или, что всё равно, двумя уравнениями:  и , .

Как обычно, направление на  соответствует изменению параметра  от  до , то есть  и . Интеграл от функции  по кривой  определяется как:

                                          (3.2)

Из (3.2) видно, что интеграл по комплексному переменному есть сумма двух криволинейных интегралов, и его вычисление сводится к вычислению обыкновенных интегралов.

Если кривая L кусочно-гладкая и состоит из гладких ориентированных кусков L₁, L₂, ..., L_n, то по определению считаем, что .

Теорема Коши (для односвязной области) . Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, ограниченной замкнутым кусочно-гладким контуром Г, и непрерывна в , то .

Теорема Коши (для многосвязной области). Если функция f(z) аналитична в многосвязной области D, ограниченной замкнутыми кусочно-гладкими контурами Г, , , ... , , и непрерывна в

, то

(все контуры пробегаются в положительном направлении).

Интегральная формула Коши . Если функция  аналитична в односвязной области D, ограниченной замкнутым кусочно-гладким контуром Г, и непрерывна в , то для любой внутренней точки  области D имеет место формула Коши:      

,

 а также справедливо обобщающее эту формулу следствие:

,

где

Задача 3.1. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой.

, .

Решение

Кривая L представляет собой полуокружность, с центром в начале координат, радиусом 1, расположенная в верхней полуплоскости.

= = =

=

+ =

= +

= + =

+ = + = =0

Задача 3.2. Вычислить интеграл: .

Решение

Подынтегральная функция  аналитична внутри контура  и на нём (единственная точка  в которой функция не определена находится вне контура интегрирования). По теореме Коши данный интеграл равен нулю.

Задача 3.3. Вычислить интеграл: .

Решение

Подынтегральная функция теряет аналитичность в точках ,  (знаменатель обращается в нуль). Внутри контура находится одна из этих точек . Перепишем интеграл в виде

= .

Функция  аналитична в круге .

Применяем интегральную формулу Коши при

Задача 3.4. Вычислить интеграл .

Решение

Подынтегральная функция теряет аналитичность в точках ,  расположенных внутри контура . Непосредственно формулу Коши применять нельзя. Поэтому сначала построим окружности  и  с центрами в точках  и  соответственно, их радиусы выберем достаточно малыми, чтобы окружности не пересекались и лежали внутри . В трехсвязной области, ограниченной контурами ,  и , и на ее границе подынтегральная функция аналитична, поэтому по теореме Коши для многосвязной области получаем:

Далее применяем интегральную формулу Коши

,

Окончательно получаем .