Комплексные числа и действия над ними
Комплексным числом z называется выражение 
, где 
–действительные числа, 
– мнимая единица 
. При этом число 
называется действительной частью, а 
– мнимой частью числа z и обозначаются: 
.
Комплексное число 
называется сопряженным числу .
Действия над комплексными числами 
и 
определяются следующими формулами:
.
Комплексное число 
изображается на плоскости точкой M с координатами 
или вектором 
. Длина 
этого вектора называется модулем комплексного числа z, обозначается 
и вычисляется 
. Угол 
между положительным направле-нием оси 
и вектором называется аргументом комплексного числа z и обозначается 
; он определен с точностью до слагаемого, кратного 
. Значение аргумента , удовлетворяющего условию 
(или 
), называется главным и обозначается 
. Таким образом,
Комплексное число 
можно записать с помощью модуля и аргумента:
– тригонометрическая форма,
– показательная форма.
Запись 
называется алгебраической формой комплексного числа z.
Задача 1.1. Заданы комплексные числа: а) 
, б) 
, в) 
, г) 
, д) 
, е) 
. Представить 
, 
, 
в тригонометрической форме, а , , – в показательной форме и изобразить точками на комплексной плоскости.
Решение
а) для имеем 
, 
, тогда 
;
б) для имеем 
, 
, тогда 
;
в) для имеем
, 
, 
, тогда 
г) для 
имеем
, 
, 
, тогда 
д) для имеем 
, 
, 
или 
, тогда 
e) для имеем 
, 
,
, тогда 
Над комплексными числами z, z1, z2, заданными в тригонометрической форме:
действия можно выполнять по правилам:
, 
- формула Муавра.
, 
.
Здесь под 
понимается арифметический корень.
Из последней формулы видно, что 
при 
имеет ровно n различных значений.
Задача 1.2. Найти все значения корня: а) 
, б) 
.
Решение
а) для 
, 
, 
, так что в тригонометрической форме это число имеет вид 
. Согласно формуле для 
имеем:
= 
то есть:
Ответ: 
б) для 
, 
, 
. В тригонометрической форме
Ответ:
Задача 1.3. Вычислить степень и представить результат в алгебраи-ческой форме:
а) 
; б) 
.
Решение
а) запишем 
в тригонометрической форме:
, 
.
= 
.
По формуле Муавра:
= 
= 
б) пусть 
и 
.
Тогда 
, 
, 
, 
.
По правилу деления 
= 
.
По формуле Муавра:
= 
= 
.
Задача 1.4. Найти множества точек z на плоскости, удовлетворяю-щих следующим условиям:
a) 
; б) 
.
При решении задач такого типа можно от комплексной переменной z перейти к двум действительным переменным x и y. Тогда исходные условия для z сведутся к соответствующим условиям для действительных переменных x и y . Так, неравенство Im z>0, учитывая z = x+iy, преобразуется к неравенству y>0.
.
Однако в ряде случаев нецелесообразно переходить к x и y, а лучше использовать геометрический смысл уравнений или неравенств с комплексной переменной.
Так, уравнение 
задает окружность с центром в точке z0 и радиусом r, а неравенства 
и 
соответственно внутрен-нюю и внешнюю открытые области круга ограниченные данной окружностью.
Неравенство 
задаёт кольцо ограниченное окружностями радиусов 
и 
с центром в точке 
, причем границы кольца, окружности 
и 
, принадлежат этой кольцевой области.
Уравнение 
задаёт луч, исходящий из точки 
под углом 
к оси Ox.
Решение
a) в соответствии с вышеизложен-ным, неравенство 
опреде-ляет круг с центром 
и радиусом 2. Неравенство 
внешность круга с центром 
радиуса 1. Неравенство 
определяет верхнюю полуплоскость плоскости 
Изображаем все три указанные области и находим их пересечение. Это и будет искомое множество. Пунктир означает, что граница не принадлежит множеству.
б) 
.
Уравнение y =2x-1 определяет прямую, разбивающую плоскость на две полу-плоскости. Очевидно, та из них, которая содержит начало координат, задаётся неравенством 
. Уравнение 
определяет луч с началом в точке 
, наклоненный к оси Ox под углом 
. Неравенство 
задаёт все те лучи с началом в точке 
, для которых удовлетворяет неравенству 
, то есть задаёт угловой сектор с вершиной 
и сторонами, образующими с Ox углы 
и 
(при этом первая сторона не принадлежит сектору, а вторая принадлежит). Пересечение соответствующих областей образует искомое множество.
Дата: 2018-12-21, просмотров: 322.
