Комплексные числа и действия над ними
Комплексным числом z называется выражение , где –действительные числа, – мнимая единица . При этом число называется действительной частью, а – мнимой частью числа z и обозначаются: .
Комплексное число называется сопряженным числу .
Действия над комплексными числами и определяются следующими формулами:
.
Комплексное число изображается на плоскости точкой M с координатами или вектором . Длина этого вектора называется модулем комплексного числа z, обозначается и вычисляется . Угол между положительным направле-нием оси и вектором называется аргументом комплексного числа z и обозначается ; он определен с точностью до слагаемого, кратного . Значение аргумента , удовлетворяющего условию (или ), называется главным и обозначается . Таким образом,
Комплексное число можно записать с помощью модуля и аргумента:
– тригонометрическая форма,
– показательная форма.
Запись называется алгебраической формой комплексного числа z.
Задача 1.1. Заданы комплексные числа: а) , б) , в) , г) , д) , е) . Представить , , в тригонометрической форме, а , , – в показательной форме и изобразить точками на комплексной плоскости.
Решение
а) для имеем , , тогда ;
б) для имеем , , тогда ;
в) для имеем
, , , тогда
г) для имеем
, , , тогда
д) для имеем , , или , тогда
e) для имеем , ,
, тогда
Над комплексными числами z, z1, z2, заданными в тригонометрической форме:
действия можно выполнять по правилам:
, - формула Муавра.
, .
Здесь под понимается арифметический корень.
Из последней формулы видно, что при имеет ровно n различных значений.
Задача 1.2. Найти все значения корня: а) , б) .
Решение
а) для , , , так что в тригонометрической форме это число имеет вид . Согласно формуле для имеем:
= то есть:
Ответ:
б) для , , . В тригонометрической форме
Ответ:
Задача 1.3. Вычислить степень и представить результат в алгебраи-ческой форме:
а) ; б) .
Решение
а) запишем в тригонометрической форме:
, .
= .
По формуле Муавра:
=
=
б) пусть и .
Тогда , , , .
По правилу деления
= .
По формуле Муавра:
=
= .
Задача 1.4. Найти множества точек z на плоскости, удовлетворяю-щих следующим условиям:
a) ; б) .
При решении задач такого типа можно от комплексной переменной z перейти к двум действительным переменным x и y. Тогда исходные условия для z сведутся к соответствующим условиям для действительных переменных x и y . Так, неравенство Im z>0, учитывая z = x+iy, преобразуется к неравенству y>0.
.
Однако в ряде случаев нецелесообразно переходить к x и y, а лучше использовать геометрический смысл уравнений или неравенств с комплексной переменной.
Так, уравнение задает окружность с центром в точке z0 и радиусом r, а неравенства и соответственно внутрен-нюю и внешнюю открытые области круга ограниченные данной окружностью.
Неравенство задаёт кольцо ограниченное окружностями радиусов и с центром в точке , причем границы кольца, окружности и , принадлежат этой кольцевой области.
Уравнение задаёт луч, исходящий из точки под углом к оси Ox.
Решение
a) в соответствии с вышеизложен-ным, неравенство опреде-ляет круг с центром и радиусом 2. Неравенство внешность круга с центром радиуса 1. Неравенство определяет верхнюю полуплоскость плоскости
Изображаем все три указанные области и находим их пересечение. Это и будет искомое множество. Пунктир означает, что граница не принадлежит множеству.
б)
.
Уравнение y =2x-1 определяет прямую, разбивающую плоскость на две полу-плоскости. Очевидно, та из них, которая содержит начало координат, задаётся неравенством . Уравнение определяет луч с началом в точке , наклоненный к оси Ox под углом . Неравенство задаёт все те лучи с началом в точке , для которых удовлетворяет неравенству , то есть задаёт угловой сектор с вершиной и сторонами, образующими с Ox углы и (при этом первая сторона не принадлежит сектору, а вторая принадлежит). Пересечение соответствующих областей образует искомое множество.
Дата: 2018-12-21, просмотров: 315.