Функции комплексного переменного

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

¨Если – некоторое множество точек комплексной плоскости и каждому числу из поставлено в соответствие единственное комплексное число , то говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексного переменного (ФКП), и пишут

где – действительная часть функции ,

– мнимая её часть.

¨Если каждому числу из поставлено в соответствие неединственное комплексное число , то говорят, что на множестве задана многозначная функция комплексного переменного.

Основные элементарные ФКП определяются следующими формулами:

; ;

; ; ; ;

– это многозначная функция, главное значение логарифмической функции берётся при и обозначается .

Задача 2.1. Доказать, что функция имеет период .

Решение

Замечание. ФКП и могут принимать значения, которые по модулю превосходят единицу.

Задача 2.2. Найти .

Решение

. Поэтому

Задача 2.3. Вычислить Ln (-1) и ln (-1).

Решение

Так как , а , получаем

где .

Задача 2.4 . Найти действительную и мнимую части функции .

Решение

отсюда ,

Если – однозначная ФКП в области , то производной функции в точке называется . Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема (необходимое и достаточное условие дифференци-руемости.) Для того чтобы функция в точке была дифференцируема, необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в точке и удовлетворяли в этой точке условиям Коши-Римана:

и .

При выполнении условий Коши-Римана справедлива формула:
(3.1)

▪ Функция f(z) называется аналитической в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

▪ Функция f(z) называется аналитической в области , если она аналитична в каждой точке этой области.

Задача 2.4. Выяснить, в каких точках дифференцируема функция .

Решение

Имеем , и .

Функции и дифференцируемы для любых и .

Проверим условия Коши-Римана:

, , , .

Они выполняются только при и . Поэтому функция дифференцируема только в точке .

Замечание. Функция не является аналитической ни в одной точке комплексной плоскости. (Почему?)

Задача 2.5. Доказать, что функция аналитична во всей комплексной плоскости, и найти её производную.

Решение

отсюда , .

Находим

, , , .

Замечаем, что функции и дифференцируемы, и условия Коши-Римана выполняются в любой точке . Поэтому функция аналитична во всей комплексной плоскости. В соответствии с формулой (3.1) и результатами задачи (2.4) получаем:

Функция , имеющая непрерывные частные производные второго порядка на области и удовлетворяющая уравнению Лапласа , называется гармонической на .

Теорема (необходимое условие аналитичности) .

Для аналитичности необходимо, чтобы и были гармоническими функциями, то есть и .

Замечание. Однако функция , где и – произвольные гармонические функции на , не всегда является аналитической. Она будет аналитической, только если функции и удовлетворяют на условиям Коши-Римана.

Задача 2.6. Проверить, что функция является мнимой частью аналитической функции. Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной мнимой части и значению .

Решение

Проверим, может ли функция быть мнимой частью некоторой аналитической функции f(z). Для этого проверим, удовлетворяет ли она уравнению Лапласа Δu =0:

, , , .

Таким образом,

Функция удовлетворяет уравнению Лапласа и может служить мнимой частью некоторой аналитической функции , а это будет так, если она ещё будет удовлетворять условиям Коши-Римана

и .

Подберём функцию u(x;y) так, чтобы условия Коши-Римана выпол-нялись:

здесь константа интегрирования зависит от y как функция. Это связано с тем, что u(x ; y) зависит от двух переменных, а интегрирование ведётся только по одной переменной x и переменная y считается константой.

Замечание. Легко убедиться, что если мы конечный результат, а именно: , продифференцируем по x:

и подставим в первое условие Коши-Римана

то оно будет выполнено: .

Итак, используя первое условие Коши-Римана, мы нашли неизвестную действительную часть с точностью до произвольной функции , зависящей от одной переменной y.