Прежде чем использовать математические методы для целей планирования и других функций управления товарооборотом, необходимо иметь математическую модель объекта управления. Разработка таких моделей называется математическим моделированием, которое является особой разновидностью моделирования вообще.

«Модель есть средство выделения какой-либо объективно действующей системы закономерных связей и отношений, имеющих место в изучаемой реальной действительности. Чем точнее отображение, чем нагляднее форма отображения, тем лучше модель». (Акад. В. С. Немчинов)

Моделирование – это построение модели на основе изучения определённого объекта (процесса) и выделения его существенных для цели исследования характеристик; экспериментальный или теоретический анализ модели, ее корректировка, использование модели. Цель моделирования – получение новых знаний об изучаемом объекте (процессе).

Экономико-математическое моделирование – это перевод исследуемых экономических объектов с языка экономики на язык математики. Такой перевод подчиняется определённым правилам. Обратный перевод заключается в экономической интерпретации результатов математических решений.

Модель, зависящую от времени, называют динамической, и если время в динамической модели принимает целые значения, то такую модель называют трендом.

Данная модель математического прогноза является наиболее часто встречаемой. Тренд применяется при исследовании ряда, который обязательно достаточно сильно изменяется. Инструментом прогноза служит уравнение тренда (в некоторой литературе данные уравнения называют кривыми роста). Однако метод имеет один существенный недостаток, т.к. прогнозируется только детерминированная составляющая ряда динамики и не учитывается случайная компонента.

Для составления математической модели воспользуемся имеющимся банком данных о товарообороте предприятия за ряд лет (см. табл. 3.1.1).

Таблица 3.1.1

Объем товарооборота предприятия в динамике

Как уже говорилось выше, под кривой роста (трендом) будем понимать некоторую функцию, аппроксимирующую заданный динамический ряд. Комплекс аналитических методов выравнивания данных сводится к выбору конкретных кривых роста и определению их параметров.

Разработка прогноза с использованием кривых роста включает следующие этапы: выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует динамике временного ряда; оценка параметров выбранных кривых; проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой; расчет точечного и интервального прогнозов[13].

Кривые роста обычно выбирают из трех классов функций.

К первому классу относятся кривые, которые используются для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста.

Ко второму классу относятся кривые, имеющие предел роста в исследуемом периоде. Такие кривые называют кривыми насыщения.

Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к кривым третьего класса. Их называют S-образными кривыми.

Среди кривых роста первого типа следует выделить класс полиномов:

Y=a₀+a₁t + a₂t² + a₃ t ³ + ....

Параметр а₀ является начальным уровнем ряда при t = 0, а₁ называют линейным приростом, а₂ – ускорение роста (если знак отрицательный, то замедления), а₃ – изменением ускорения (замедления) роста.

В экономических исследованиях в большинстве случаях применяются полиномы не выше третьего порядка.

Полином первой степени (линейный тренд):

y = a₀ + a₁t

Изображается он в виде прямой и используется для описания процессов, развивающихся равномерно во времени.

Полином второй степени (парабола второго порядка):

у = а₀+а₁t + a₂t²

Он изображается в виде параболы и применяется в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно. Если а₂ > 0, то ветви параболы направлены вверх, в случае а₂ < 0 – вниз.

Полином третьей степени:

у = а₀+а₁ t + a₂t² + a₃ t ³

У этого полинома знак прироста ординат может изменяться один или два раза. Однако опыт применения параболического сглаживания функций для прогнозирования говорит о том, что и здесь разумно ограничиться параболой второго порядка. Важно помнить, что всякое усложнение модели путем введения в нее новых факторов или их модификации, неизбежно снижает точность прогноза, требует для получения той же надежности прогноза дополнительных данных (наблюдений), что в подавляющем большинстве случае трудно или невозможно осуществить.

Оценки параметров полиномов определяются методом наименьших квадратов. Так, нормальное уравнение для определения коэффициентов прямой имеет вид:

{

Решение системы, т.е. нахождение коэффициентов системы а₀ и а₁, производится по формулам Крамера.

Систему нормальных уравнений можно упростить и уменьшить абсолютные значения величин, если перенести начала координат в середину ряда динамики. Если до переноса начало координат t равно 1,2,3…, то после переноса получим:

• для чётного числа членов t = ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5...,

• для нечётного числа членов t = ..., -3,-2, -1, 0, 1, 2, 3...

В этом случае коэффициенты прямой находятся из выражений

Аналогично определяются коэффициенты полинома второй степени (параболы), которые после переноса начала координат в середину ряда динамики имеют вид: