Известно, что через две данные точки можно провести единственную прямую.

Рис. 1.5.17

Пусть прямая проходит через точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂). За направляющий вектор `s данной прямой можно взять вектор .

Уравнение прямой по точке M₁(x₁, y₁) и направляющему вектору имеет вид:

(1.5.7)

Получили уравнение прямой по двум точкам.

Если x₁ = x₂, то прямая параллельна оси Oy. Ее уравнение имеет вид: x = x₁ .

Если y₁ = y₂, то прямая параллельна оси Ox. Ее уравнение: y = y₁ .

Пример. Составить уравнение прямой АВ, если А(2, −1); В(1, 3).

Решение: Применяем формулу (1.3.7):

Ответ: 4x + y – 7 = 0.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М(4, – 2) и N(4, 5).

Решение: Так как x₁ = x₂, то по формуле x = x₁ (см. выше) уравнение прямой имеет вид: x = 4. Прямая параллельна оси Oy.

Пример. Дан треугольник АВС, у которого А(1, 2), В(4, 3), С(1, 3).

Составить уравнения его сторон.

Рис. 1.5.18

Решение.

1) Найдем уравнение стороны АВ. По формуле (1.3.7) имеем:

2) Сторона ВС находится по формуле y = y₁, так как y_B =y_C, то y=3.

3) Уравнение стороны АС выпишем по формуле x = x₁, так как x_A = x_C,

то x = 1.

Ответ: AB: x – 3y + 5 = 0, BC: y = 3; AC: x = 1.

Пример. Даны вершины треугольника АВС А(–1, 3), В(3, –2), С(5, 3). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины В.

Решение: Пусть ВМ – медиана, тогда точка М является серединой отрезка АС. По формулам (1.2.2) имеем:

Уравнение медианы ВМ получим по формуле

(1.5.7)

Ответ: BM: 5x + y – 13 = 0.

Уравнение прямой в отрезках

Если прямая отсекает на осях отрезки а и b, не равные нулю, то ее уравнение имеет вид:

(1.5.8)

Такое уравнение называется уравнением прямой в отрезках. Рассмотрим это уравнение. Пусть x = 0, тогда Пусть y = 0, тогда

Прямая проходит через точки А(а, 0) и B(0, b) (рис. 1.5.19 – рис.1.5.21).

Рис. 1.5.19	Рис. 1.5.20	Рис. 1.5.21

Пример. Записать уравнение прямой 3x – 2y + 12 = 0 в отрезках и построить эту прямую.

Решение: 3x – 2y = –12. Разделим обе части этого уравнения на –12. Получим:

Следовательно, a = –4, b = 6.

Построим эту прямую. Для этого отложим на оси Ox a = –4, на оси Oy b = 6 и соединим полученные точки.

Рис. 1.5.22

Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая задана уравнением Ax + By + C = 0. Найдем расстояние от точки M₀(x₀, y₀) до этой прямой.

Рис. 1.5.23

Под расстоянием от точки до прямой понимают длину отрезка M₀M,

где М – основание перпендикуляра, опущенного из точки M₀ на данную прямую. Расстояние d = |M₀M| находим по формуле:

(1.5.9)

Пример. Найти расстояние от точки M₀(2,–1) до прямой, заданной уравнением 3x + 4y –22 = 0.

Решение: По формуле (1.3.9) получим:

Ответ: d = 4.

Взаимное расположение двух прямых, угол между ними.

Рис. 1.5.24

Точка пересечения двух прямых

Пусть прямые l₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0 и l₂: A₂x + B₂y + +C₂ = 0. пересекаются. Требуется найти точку точку пересечения этих прямых.

Для этого достаточно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y:

(1.5.10)

Пример. Найти точку пересечения прямых l₁: 2x + +3y – 2 = 0 и l₂: x – y + 4 = 0.

Решение: Запишем систему (1.5.10) и решим ее

Ответ: M(–2, 2).