Рис.1.6.20

Через две заданные точки в пространстве проходит единственная прямая (см. рис. 20). Пусть даны точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂). Вектор можно принять за направляющий вектор данной прямой. Тогда уравнения прямой находим по формулам (1.6.8), зная точку M₁ и

вектор `s = = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁):

(1.6.10)

Эти уравнения называются уравнениями прямой по двум точкам.

Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M₁(2; 1; –2) и M₂(1; 0; –2).

Решение: Применяем формулу (1.6.10)

.

Получили канонические уравнения прямой. Для получения параметрических уравнений применим вывод формул (1.6.9) Получим

Это – параметрические уравнения прямой.

Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M₁(2; 1; 2) и M₂(2; 1; –1).

Рис.1.6.21

Решение: По формулам (1.6.10) получим:

Это – канонические уравнения.

Переходим к параметрическим уравнениям:

. Это – параметрические уравнения. Полученная прямая параллельна оси Oz (см. рис. 1.6.21).

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Пусть в пространстве даны две плоскости:

α₁: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и

α₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Если эти плоскости не совпадают и не параллельны, то они пересекаются по прямой:

(1.6.11)

Эта система двух линейных уравнений задает прямую как линию пересечения двух плоскостей. От уравнений (1.6.11) можно перейти к каноническим уравнениям (1.6.8) или параметрическим уравнениям (1.6.9) Для этого необходимо найти точку M₀, лежащую на прямой, и направляющий вектор`s. Координаты точки M₀ получим из системы (1.6.11), придав одной из координат произвольное значение (например, z = 0).

За направляющий вектор`s можно взять векторное произведение векторов` N₁ = (A₁, B₁, C₁) и ` N₂ = (A₂, B₂, C₂), то есть

Пример. Составить канонические уравнения прямой

Решение: Пусть z = 0. Решим систему

Сложив эти уравнения, получим: 3x + 6 = 0 Þ x = –2. Подставим найденное значение x = –2 в первое уравнение системы и получим: –2 + y + 1 = 0 Þ y = 1.

Итак, точка M₀(–2; 1; 0) лежит на искомой прямой.

Для нахождения направляющего вектора прямой запишем нормальные векторы плоскостей: ` N<sub>1</sub> = (1; 1; –1) и ` N₂ = (2; –1; –3) и найдем их векторное произведение:

Уравнения прямой находим по формулам (1.6.8):

Ответ: .

Другой способ: канонические и параметрические уравнения прямой (1.6.11) легко получить, найдя две различные точки на прямой из системы (1.6.11), а затем применив формулы (1.6.10) и вывод формул (1.6.9).

Пример. Составить канонические и параметрические уравнения прямой.

Решение: Пусть y = 0. Тогда система примет вид:

Сложив уравнения, получим: 2x + 4 = 0; x = –2. Подставим x = –2 во второе уравнение системы и получим: –2 – z + 1 = 0 Þ z = –1.

Итак, нашли точку M₁(–2; 0; –1).

Для нахождения второй точки положим x = 0. Будем иметь:

Далее применяем формулы (1.6.10):

Получили канонические уравнения прямой.

Составим параметрические уравнения прямой: