Рис.1.6.2

В системе координат Oxyz рассмотрим плоскость α (рис.1.6.2). Ее положение определяется заданием вектора ` N, перпендикулярного этой плоскости, и фиксированной точки M₀(x₀; y₀;z₀) лежащей в этой плоскости.

Вектор ` N = (A; B; C), перпендикулярный плоскости α, называется нормальным вектором (вектором-нормалью)

Рассмотрим произвольную точку M(x; y; z) плоскости α. Вектор , лежащий в плоскости α, будет перпендикулярен вектору-нормали ` N. Используя условие ортогональности векторов получим уравнение:

Уравнение

называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору.

Если в уравнении (1.6.1) раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, то получим уравнение Ax + By + Cz + (– A x₀ – By₀ – Cz₀) = 0 или Ax + By + Cz + D = 0, где D = – A x₀ – By₀ –Cz₀.

Общее уравнение плоскости

Уравнение

называется общим уравнением плоскости, здесь ` N = (A; B; C) – нормальный вектор.

Рассмотрим частные случаи этого уравнения.

1) Пусть D = 0. Уравнение имеет вид: Ax + By + Cz = 0.

Такая плоскость проходит через начало координат.

Ее нормальный вектор .

2) С = 0: Ax + By + D = 0 Нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен оси Oz Þ плоскость параллельна оси Oz (рис.1.6.3)

3) B = 0: Ax + Cz + D = 0 Þ` ^ Oy,

плоскость параллельна оси Oy (рис. 1.6.4)

4) A = 0: By + Cz + D = 0 Þ` N = (0; B; C) ^ Ox, плоскость параллельна оси Ox (рис. 5)

5) C = D = 0: Ax + By = 0 Þ` ^ Oz, плоскость проходит через ось Oz (рис. 1.6.6)

Рис.1.6.7	Рис.1.6.8	Рис.1.6.9

6) B = D = 0: Ax + Cz = 0 Þ` N = (A; 0; C) ^ Oy, плоскость проходит через ось Oy (рис. 1.6.7)

7) A = D = 0: By + Cz = 0 Þ` N = (0; B; C) ^ Ox, плоскость проходит через ось Ox (рис. 1.6.8)

8) A = B = 0: Cz + D = 0 Þ` N = (0; 0; C) || Oz, плоскость параллельна плоскости Oxy (рис. 1.6.9)

Рис.1.6.10	Рис.1.6.11

9) B = C = 0: Ax + D = 0 Þ` N = (A; 0; 0) || Ox, плоскость параллельна плоскости Oyz (рис. 1.6.10)

10) A = C = 0: By + D = 0 Þ` N = (0; B; 0) || Oy, плоскость параллельна плоскости Oxz (рис. 1.6.11)

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через

точку M₀(1; 2; –1) перпендикулярно вектору` N = (2; –1; 3). Найти точки пересечения этой плоскости с осями координат.

Решение. По формуле (1.6.1) имеем

2(x – 1) –1·(y – 2) + 3(z + 1) =0, 2x – y + 3z + 3 = 0.

Для того, чтобы найти пересечение этой плоскости с осью Ox, подставим в полученное уравнение y = 0, z = 0. Получим 2x + 3 = 0; x = –1,5.

Точка пересечения искомой плоскости с осью Ox имеет координаты:

M₁(–1,5; 0; 0). Найдем пересечение плоскости с осью Oy. Для этого возьмем x = 0, z = 0. Имеем – y + 3 = 0 Þ y = 3. Итак, M₂(0; 3; 0).

Для нахождения точки пересечения с осью Oz возьмем x = 0, y = 0. Тогда 3z + 3 = 0 Þ z = – 1. Итак, M₃(0; 0; –1).

Ответ: 2x – y + 3z + 3 = 0, M₁(–1,5; 0; 0), M₂(0; 3; 0), M₃(0; 0; –1).

Пример. Исследовать плоскости, заданные уравнениями:

a) 3x – y + 2z = 0, б) 2x + z – 1 = 0, в) –y + 5 = 0, г) x = 0.

Решение. а) Данная плоскость проходит через начало координат (D = 0) и имеет нормальный вектор` N = (3; –1; 2).

б) В уравнении 2x + z – 1 = 0 коэффициент B = 0. Следовательно,

N = (2; 0; 1). Плоскость параллельна оси Oy.

в) В уравнении –y + 5 = 0 коэффициенты A = 0, C = 0. Значит,` N = (0; –1; 0). Плоскость параллельна плоскости Oxy.

г) Уравнение x = 0 задает плоскость Oyz, так как при B = 0, C = 0 плоскость параллельна плоскости Oyz, а из условия D = 0 следует, что плоскость проходит через начало координат.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(2; 3; 1) и перпендикулярной вектору , где B(1; 0; –1), C(–2; 2; 0).

Решение. Найдем вектор

= (–2 – 1; 2 – 0; 0 –(–1)) = (–3; 2; 1).

Вектор является нормальным вектором искомой плоскости, проходящей через точку A(2; 3; 1) По формуле (2.2.1) имеем:

–3(x – 2) + 2(y – 3) + 1·(z – 1) = 0; –3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0;

–3x + 2y + z – 1 = 0; 3x – 2y – z + 1 = 0.

Ответ: 3x – 2y – z + 1 = 0.