Производной n -го порядка называется производная от производной ( n -1)-го порядка.

Обозначение производных: f ¢¢- второго порядка (или вторая производная), f ¢¢¢ - третьего порядка (или третья производная).

Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, f⁽⁴⁾(x), …, f⁽ⁿ⁾(x) или f ^IV и т.д.

Пример №10 Найдите производную 3-го порядка функции f(x)=5х⁴–3х³+2х–2 в точке х=2.

rНаходим вначале первую производную:

f ¢(x) = 20х³ – 9х² +2,

затем вторую от первой производной:   (f ¢(x))¢ = f ¢¢(x)=( 20х³ – 9х² +2)¢=60х² – 18х.

Третья производная f ¢¢¢(x)=(f ¢¢(x))¢=(60х²-18х)¢=60×2х-18=120х-18.

Вычислим значение 3-й производной в точке х=2: f¢¢¢(2)=120×2 – 18=240 -18=222. p

Производная сложной функции.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F ¢ (x) = f ¢ (z) g¢ (x).

Пример №11 Вычислите производную функции:

а) f(x)=sin²x;       б) f(x)=sinx²;       в) f(x)=lncosx;      г) f(x)=cos(lnx); д) f(x)=(x³-3)⁶;        e) f(x)=  

r a) f ¢(x)=2sinx×(sinx)¢=2sinx×cosx=sin2x;

б) f ¢(x)=cosx²×(x²)¢=cosx²×2x=2x×cosx²;

в) f ¢(x)= ;

г) f ¢(x)=-sin(lnx)×(lnx)¢=-sin(lnx)× ;

д) f ¢(x)=6(x³-3)⁵×(x³-3)¢=6(x³-3)⁵×3x²=18x²(x³-3)⁵;

е) f ¢(x)= .p

Производная обратной тригонометрической функции

Формулы производных обратных тригонометрических сложных функций

Пример №12. Вычислите производную обратной тригонометрической функции .

rЗадана сложная обратная тригонометрическая функция, где u=х². Используем формулу: .

у¢=(arccosx²)¢= . p

Неопределенный интеграл. Методы вычисления

Функция F( x) называется первообразной для функции f( x), если  или .

Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Совокупность F(x)+С всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается:

.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.                                   2. ;

3.                               4. ;

5. ; 6. .

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование предполагает использование при нахождении неопределенных интегралов таблицы интегралов

 Таблица неопределенных интегралов

Основные формулы интегрирования        Дополнительные формулы интегрирования:

1)            11) ;

2) ;                            12)

3) ;                      13)

4) ;                        14) ;

5)                15) ;

6)                  16) ;

7)              17) ;

8) ;                      18)

9) ;                            19) .

10) ;

Рассмотрим нахождение интегралов непосредственным методом.

Пример №13: Найти неопределенный интеграл:

а) ; б) ; в) .

r а) =

.

б) = .

в) = .p