В магнитном поле

План решения задач

  1. При вычислении магнитного потока  следует обращать внимание на характер магнитного поля. В случае однородного поля величина магнитного потока определяется простой формулой:

,

где  – проекция вектора магнитной индукции  на нормаль  к плоскости контура площадью ;  – угол между векторами  и . 

Для неоднородного поля необходимо вычислять интеграл:

.

  2. В условии задачи нередко задают угол  между вектором магнитной

Рис. 74

индукции  и плоскостью контура (рис. 74). В таком случае необходим рисунок (см. рис. 74), по которому видно, что угол ;  тогда

.

  3. Расчет работы по перемещению проводника или контура с током в магнитном поле, независимо от того, движется проводник поступательно (работа силы Ампера ) или происходит поворот контура (работа механического момента сил Ампера), наиболее просто выполняется с помощью следующей формулы:

,

где  – ток в контуре;  – магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную контуром, в конечном (индекс 2) и в начальном (индекс 1) положениях контура, соответственно. Отметим, что работа сил Ампера положительна. Если при вычислении получена отрицательная величина, то это означает, что работу по заданному перемещению осуществляют внешние силы , а модуль , где  – сила Ампера.

4. Заметим, что единица измерения магнитного потока 1 Вб , – весьма большая величина. Поэтому в обычных полях с магнитной индукцией  порядка 1 мТл магнитный поток  через поверхность контуров небольших размеров площадью  по порядку величины не превышает .

  Задача 43. Обмотка соленоида с током  содержит  витков на каждый сантиметр длины. В средней части соленоида помещен круговой контур радиусом . Плоскость контура расположена под углом  к оси соленоида. Определите магнитный поток , пронизывающий контур.

           Дано                                                  Решение

;  ; ; .

линии             Рис. 75

  Линии магнитного поля внутри соленоида параллельны его оси (рис. 75). В средней части соленоида, удаленной от его торцов, индукция магнитного поля определяется по формуле:

                                            (1)

где  – магнитная постоянная,  – магнитная проницаемость сердечника (для воздуха );  – число витков на единицу длины соленоида;  – сила тока в обмотке соленоида. Величина  одинакова в сечении соленоида, т. е. его магнитное поле является однородным.

  Магнитный поток  через площадь контура в однородном магнитном поле определим по следующей формуле:

                                     (2)

где   – площадь, ограниченная контуром;  – угол между нормалью   к плоскости контура и вектором магнитной индукции . По рисунку (см. рис. 75) видно, что угол .

  Подставляя в формулу (2) величины магнитной индукции  и площади , получаем расчетную формулу в следующем виде:

                                 (3)

Вычисляем магнитный поток , пронизывающий контур, помещенный внутри данного соленоида:

.

  Задача 44. Магнитный момент длинного соленоида , длина соленоида . Определите магнитный поток  сквозь сечение сердечника соленоида.    

   Дано                                                  Решение           

; .

Рис.76

  Магнитный поток через сечение площадью  в однородном магнитном поле соленоида определяется формулой

                                               (1)

где  – проекция вектора магнитной индукции  на нормаль  к площади поперечного сечения сердечника соленоида (рис. 76);  – площадь этого сечения, равная площади витка обмотки соленоида.

  Вектор магнитной индукции поля внутри соленоида параллелен его оси, следовательно, проекция вектора , где величина индукции магнитного поля в средней части соленоида определяется по следующей формуле:

.                                                   (2)

Здесь  – магнитная постоянная,  – магнитная проницаемость сердечника, для воздуха ;  – число витков соленоида;  – его длина;  – сила тока в обмотке соленоида.

  Подставляя величину магнитной индукции  в формулу (1), находим магнитный поток в сечении соленоида

                                             (3)

  Магнитный момент соленоида  – это вектор, равный сумме магнитных моментов  всех  витков соленоида:

                                   (4)

где  – магнитный момент одного витка обмотки; здесь сумму одинаковых слагаемых  заменили произведением. Так как модуль , то магнитный момент соленоида, в соответствии с формулой (4):

                                               (5)

Сравнивая формулы (5) и (3), отметим, что магнитный поток соленоида пропорционален величине , следовательно, формулу (3) можно записать в следующем виде:

.

  По этой формуле вычисляем магнитный поток сквозь сечение заданного соленоида:

.

  Задача 45. Круговой контур (виток) радиусом , в котором поддерживается постоянный ток , свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией . Какую работу нужно совершить для того, чтобы 1) повернуть виток относительно оси, совпадающей с диаметром, на угол ; 2) удалить виток в область, где магнитное поле отсутствует.

  Дано                                              Решение

; ; . ; 2)

а                          б Рис. 77

  Виток с током, который свободно установился в магнитном поле, находится в состоянии устойчивого равновесия. При этом механический момент , поэтому магнитный момент контура , чтобы . Магнитный момент  сонаправлен с нормалью  к плоскости контура, следовательно, нормаль  (рис. 77 а).

  В этом начальном положении магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, максимален и равен

,                                         (1)                         

так как  и проекция вектора магнитной индукции .

     1) При повороте плоскости контура на угол  и нормаль к этой плоскости повернется на угол  (рис. 77 б). Магнитный поток при этом уменьшится и в новом положении контура станет равным

                                    (2)

  Работу, совершаемую при повороте контура, определим по формуле:

 (                                     (3)

где  – ток в контуре;  – магнитные потоки сквозь поверхность, ограниченную контуром, соответственно, в конечном (индекс 2) и в начальном (индекс 1) положениях контура. Подставляя значения  по формулам (1) и (2), в которых площадь кругового контура , получаем следующую расчетную формулу для величины работы:

                                   (4)

Вычисляем величину работы, которая совершается при повороте контура:

.

     2) После удаления контура с током в область, где индукция магнитного поля , магнитный поток  станет нулевым. Соответственно, работа, определяемая также формулой (3), запишется в следующем виде:

Вычислим эту работу, совершаемую при удалении контура с током в область, где магнитное поле отсутствует:

.

  Работа, совершаемая при перемещении контура, в обоих случаях отрицательная. Это означает, что работу совершает внешняя сила , направленная противоположно силе Ампера (в случае ); а в первом случае – при повороте контура, работу совершает момент внешней силы , который создается магнитными силами. 

  Задача 46. В одной плоскости с длинным прямым проводником с током  расположена квадратная рамка со стороной  так, что расстояние от провода до ближайшей стороны рамки  (рис. 78). В рамке течет ток . Определите работу, которую нужно совершить для медленного поворота рамки относительно оси  на угол .

   Дано                                                  Решение

; ; ; ; .

Рис. 78

  При медленном повороте рамки скорость изменения магнитного потока  мала, поэтому величиной ЭДС индукции и возникающим в рамке индукционным током можно пренебречь и считать постоянной величину тока в рамке: . В таком случае работа при повороте контура описывается формулой

,                                      (1)

где  – магнитный поток через площадь, ограниченную рамкой, в конечном и начальном положениях рамки.

  Магнитный поток через площадь рамки создается магнитным полем длинного проводника с током . Магнитная индукция этого поля в точках на расстоянии   от провода определяется следующей формулой:

                                             (2)

По этой формуле видно, что величина  уменьшатся по мере увеличения расстояния  от провода, следовательно, магнитное поле, в котором находится рамка, является неоднородным. Линии магнитной индукции  – окружности, охватывающие длинный проводник, они перпендикулярны плоскости рамки и вектор  направлен «от нас». Нормаль   к плоскости рамки, как принято, связана правилом буравчика с током  в рамке и также направлена «от нас» (см. рис. 78). В этом случае проекция вектора на нормаль  положительна и равна модулю вектора :

                                               (3)

  Для вычисления магнитного потока  в начальном положении рамки отметим, что в неоднородном магнитном поле величину  находят как сумму элементарных потоков  через бесконечно малые площадки :

                                     (4)

Элементарные площадки  выберем в форме узких полосок ширины  и площадью , параллельных длинному проводнику и находящихся от него на расстоянии, равном  (см. рис. 78). В пределах такой полоски величину , определяемую формулой (2), можно считать одинаковой. Подставляя значение проекции  с учетом формулы (2) в выражение (4), рассчитаем магнитный поток в начальном положении рамки следующим образом:

                      (5)

Здесь пределы интегрирования по переменной  взяты соответственно , чтобы охватить всю площадь рамки, по которой суммируются элементарные магнитные потоки

  После поворота плоскости рамки относительно оси  на угол  рамка вновь будет расположена в плоскости рисунка, но только вектор нормали к плоскости рамки, повернувшись также на угол, равный , будет направлен «к нам», т. е. нормаль . В таком положении рамки проекция вектора  на нормаль отрицательна:

                                             (6)

Соответственно, магнитный поток в конечном положении рамки, определяемый интегралами (4)и (5), будет отличаться от величины  только знаком:

                                            (7)

  С учетом выражений (5) и (7) формула (1) для вычисления работы преобразуется к следующему виду:

                          (8)

Вычисляем величину работы при повороте рамки по расчетной формуле (8), принимая для воздуха магнитную проницаемость :

.

  Величина работы отрицательна, так как поворот совершается моментом внешних сил, поворачивающим рамку из положения устойчивого равновесия: в начальном положении рамки ее магнитный момент .