План решения задач
1. В тех задачах, где магнитное поле создается током, текущим в проводнике сложной формы, проводник мысленно разбивают на отрезки (прямые или участки кругового контура), для которых известны расчетные формулы магнитной индукции. Затем записывают принцип суперпозиции магнитных полей в виде:
, (1)
где – индукция магнитного поля отдельных i-тых отрезков проводника. По формуле (1) определяют также результирующее поле, созданное двумя и более длинными прямыми проводами или витками с током.
2. Для расчета магнитной индукции кругового тока в его центре или в точке на оси витка принцип суперпозиции записывают в следующем виде:
. (2)
Здесь интегрирование выполняют по всей длине проводника с током. Вектор
определяют по закону Био – Савара – Лапласа. При сложении бесконечно малых векторов
возможны два варианта: 1) векторы
сонаправлены, т. е. направлены по одной прямой; в этом случае модуль
(суммируют модули
); 2) если векторы
не сонаправлены, то каждый из них необходимо разложить на два взаимно перпендикулярных вектора:
, (3)
где – вектор, параллельный оси витка с током;
– составляющая вектора
, перпендикулярная оси витка.
3. В уравнениях (1) и (2) принципа суперпозиции записана суммавекторов. Для сложения векторов необходимо определить их направления и показать векторы на рисунке. Так как линии магнитного поля токов представляют собой окружности, замкнутые вокруг токов и даже вокруг бесконечно малых элементов тока , то используем правило буравчика, располагая винт вдоль тока. Если проводник с током размещен в плоскости рисунка, то в точках, находящихся в этой плоскости, вектор
будет направлен перпендикулярно плоскости рисунка. Такой вектор обозначают значком
, если вектор направлен «от нас», или значком , если вектор направлен «к нам».
Задача 27. По тонкому кольцу радиусом течет ток
. Определите магнитную индукцию
в точке
на оси кольца, равноудаленной от точек кольца на расстояние
.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() Рис. 58 |
Мысленно разделим кольцо с током на элементы тока , каждый из которых создает в точке
магнитное поле с индукцией
, и сложим эти поля от элементов тока, согласно принципу суперпозиции:
. (1)
Здесь интегрирование выполняют по всей длине кольца , а вектор
определяется законом Био – Савара – Лапласа:
(2)
Из уравнения (2), в соответствии с векторным произведением векторов, следует, что вектор перпендикулярен векторам
и
. На рис. 58 плоскость кольца и элемент тока
перпендикулярны плоскости рисунка. Следовательно, вектор
будет расположен в плоскости рисунка, где его проводим перпендикулярно радиус-вектору
, проведенному от элемента тока к точке
. Выделим другой элемент тока
, диаметрально противоположный элементу
, и покажем создаваемый им вектор магнитной индукции
на рис. 58. Нетрудно заметить, что векторы
от всех элементов тока кольца образуют конус векторов.
Для сложения векторов , направленных по образующим конуса, разложим каждый вектор на две составляющие:
(3)
где – вектор, параллельный оси кольца ОА;
– составляющая вектора
, перпендикулярная оси кольца. После подстановки разложения (3) в уравнение (1) принципа суперпозиции интеграл в правой части представится суммой двух интегралов:
(4)
Второй интеграл: , так как сумма векторов
и таким образом все векторы попарно компенсируются. Тогда в уравнении (4) остается один интеграл:
, (5)
где все векторы сонаправлены, следовательно, в точке
вектор магнитной индукции
(см. рис. 58), и его модуль
, (6)
Здесь составляющая , где
(см. треугольники на рис. 58). Модуль
находим с помощью закона Био – Савара – Лапласа (2): так как вектор
, то
и величина магнитной индукции
(7)
Подставим величину в интеграл (6) и вычислим его:
(8)
Учтем, что – магнитный момент контура с током, и формулу (8) представим в виде
(9)
Вычисляем магнитную индукцию поля в точке
по формуле (8), полагая, что для воздуха магнитная проницаемость
, а магнитная постоянная
.
.
Задача 28. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводам текут токи одного направления. Расстояние между проводами
. Для линии
, перпендикулярной проводам, определите, на каком участке: 1, 2 или 3 (рис. 59 а), – находится точка, в которой индукция магнитного поля
На каком расстоянии
от первого провода находится эта точка?
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]()
а б Рис. 59 |
Индукция магнитного поля в любой точке прямой определяется по принципу суперпозиции:
, (1)
где – магнитная индукция поля, созданного первым проводом с током
;
– та же величина, созданная вторым проводом с током
Так как в уравнении (1) записана геометрическая сумма векторов и
, то определим их направления. Эти векторы направлены по касательным к линиям магнитной индукции, которые имеют форму окружностей с центрами на соответствующем проводе. Направление линий определяем по вращению головки буравчика (правого винта), который должен перемещаться по направлению тока. На рис. 59 б токи текут «от нас», поэтому буравчик следует вращать по часовой стрелке, чтобы винт вворачивался.
В каждой области (1, 2 и 3) показываем направление векторов и
, касательных к соответствующим окружностям. На участках 1 и 3 вектор
, и сумма таких векторов отлична от нуля. На втором участке линии
, который находится между проводами, вектор
(см. рис. 59 б). Принимая за положительное направление вектора
, запишем для этого участка принцип суперпозиции (1) в следующем виде:
(2)
Здесь модули магнитной индукции длинных прямых проводов определяем по формулам
(3)
Подставляем эти значения в уравнение (2) и, согласно условию задачи, приравниваем нулю индукцию результирующего магнитного поля:
(4)
Учитывая, что , из соотношения (4) определяем величину
:
.
Таким образом, точка , в которой модули векторов одинаковы:
,–а их сумма равна нулю, находится на отрезке прямой между проводами, ближе к первому проводу, – с меньшим током, так как величина
.
Задача 29. По двум бесконечно длинным прямым проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи , где
Определите магнитную индукцию
в точке
(рис. 60 а), если расстояние
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() а б в Рис. 60 |
Магнитное поле, созданное двумя проводами с током, в любой точке пространства определяется по принципу суперпозиции как геометрическая сумма векторов:
, (1)
где и
– величины индукции магнитного поля, созданного первым проводом с током
и вторым – с током
.
Векторы и
направляем по касательным к линиям магнитной индукции. Эти линии – окружности с центрами на проводах с током, а направление линий (рис. 60 б) определяем по правилу буравчика (см. п. 7.1) Так как векторы
и
взаимно перпендикулярны (рис. 60 в), то модуль магнитной индукции
результирующего поля определяем с помощью теоремы Пифагора:
(2)
Модуль магнитной индукции поля, созданного длинным прямым проводником с током , рассчитывается по следующей формуле:
, (3)
где – магнитная постоянная,
– магнитная проницаемость среды, для воздуха
;
– расстояние от провода до точки
, в которой определяем магнитную индукцию. Для первого и второго провода соответственно по формуле (3) запишем
(4)
Подставляя эти величины в выражение (2), получаем расчетную формулу для индукции магнитного поля в точке
:
(5)
Вычисляем значение магнитной индукции поля в точке :
.
Задача 30. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам текут токи и
. Определите магнитную индукцию
поля в точке
(рис. 61 а), равноудаленной от проводов на расстояние
; угол
.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() а б Рис. 61 |
Так как магнитное поле создается двумя проводниками с током, то магнитную индукцию поля в точке определяем по принципу суперпозиции:
, (1)
где – индукция МП, созданная в точке
первым проводником с током
;
– та же величина, созданная вторым проводником с током
Для сложения векторов и
необходимо показать их на рисунке. Эти векторы идут по касательным к линиям магнитной индукции, которые представляют собой окружности радиусом
, охватывающие первый и второй проводники. Касательные проводим перпендикулярно радиусу
соответствующей окружности (рис. 61 б).
Результирующий вектор , согласно принципу суперпозиции (1), находим по правилу параллелограмма (треугольника). Модуль его определяем по теореме косинусов:
(2)
где угол (так как (
, (см. рис. 61 б)). Модули магнитной индукции поля, созданного первым и вторым проводниками, определяются формулами:
(3)
Здесь магнитная проницаемость воздуха
Подставляем эти величины в уравнение (2) и получаем расчетную формулу индукции МП в точке
в следующем виде:
; так как
.
Вычисляем величину магнитной индукции поля в точке :
.
Задача 31. По бесконечно длинному проводнику, изогнутому так, как показано на рис. 62 а, течет ток . Радиус дуги
. Определите магнитную индукцию
в точке
.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() |
![]()
![]() а б Рис. 62 |
Провод заданной формы разделим на три участка (рис. 62 б): длинные прямые проводники 1 и 3 и дуга 2, равная половине окружности. Индукцию , созданного проводником, состоящим из таких участков, найдем по принципу суперпозиции:
(1)
Вычислим вектор от первого участка проводника, суммируя бесконечно малые значения
, создаваемые элементами тока
:
, (2)
где вектор определяем по закону Био – Савара – Лапласа:
. (3)
В формуле закона (3) элемент длины первого участка провода и радиус-вектор
, проведенный от элемента тока к точке
, сонаправлены, т. е.
, а в этом случае векторное произведение
(так как
). Следовательно, каждый
и их сумма
Отметим полученный результат: в любой точке, находящейся на продолжении прямого провода с током, индукция МП, созданная этим проводом, равна нулю.
Вычислим вектор , аналогично предыдущему расчету, суммируя бесконечно малые значения
, создаваемые элементами тока
:
. (4)
Для определения направления складываемых векторов применяем правило буравчика: вращая головку винта по направлению тока в полукольце, по движению винта (который будет ввинчиваться) получаем, что вектор
от любого элемента тока дуги направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас». Следовательно, и вектор
имеет такое же направление. Так как все векторы
сонаправлены, то суммируем их модули:
(5)
Отметим, что найденная величина (см. п. 7.1, формула (6)). Этот результат имеет простое объяснение: отсутствующая половина кольца создавала бы такое же поле
, а согласно принципу суперпозиции
. Следовательно, расчет
выполнен верно.
Определяем вектор : его направление находим по правилу буравчика, вращая головку винта по часовой стрелке (если смотреть на начало третьего участка сверху), чтобы винт вворачивался по направлению тока (вниз). Тогда вектор
, касательный к окружности, которую описывает головка винта, будет направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас». Таким образом, вектор
; складывая эти векторы, по принципу суперпозиции (1) получаем, что результирующий вектор
сонаправлен с векторами
, т. е. также направлен перпендикулярно плоскости рисунка «от нас». Модуль вектора
, в соответствии с уравнением (1), равен сумме модулей сонаправленных векторов:
(6)
Найдем модуль вектора . Заметим, что если мысленно продолжить участок провода 3 вверх до бесконечности, т. е. дополнить его проводом, равным участку 3, то получим бесконечно длинный прямой провод, создающий поле с магнитной индукцией
. (7)
С учетом равного вклада двух половин провода, следуя принципу суперпозиции, запишем уравнение:
(8)
Заметим, что результат (8) можно получить и из формулы магнитной индукции отрезка прямого проводника с током (п. 7.1, формула (8)):
, (9)
где – расстояние от провода до точки, в которой определяем величину
:
; углы
, т. е.
Подставляя найденные величины магнитной индукции второго и третьего участков провода (формулы (5) и (8)) в уравнение (6) принципа суперпозиции, получаем расчетную формулу индукции магнитного поля в точке :
(10)
Вычисляем магнитную индукцию поля, созданного в точке заданным проводником с током, по формуле (10), принимая для воздуха магнитную проницаемость
.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 512.