ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Сила тока. Плотность тока. Сопротивление проводника

  Сила тока , или ток, по определению

,                                                (1)

где  – бесконечно малый заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время .

Сила постоянного тока .

  Плотность тока  ,                                                                    (2)

где  – поперечное (перпендикулярное скорости движения носителей тока) сечение проводника.

  Сопротивление проводника длиной  и поперечным сечением :

                                                                                                   (3)

Здесь  – удельное сопротивление материала проводника. При увеличении температуры металлического проводника его удельное сопротивление возрастает по линейной зависимости:

                                        (4)

Здесь  – удельное сопротивление проводника при ;  – температура проводника по шкале Цельсия;  – температурный коэффициент сопротивления (ТКС) металла.

  Сопротивление последовательно соединенных проводников (рис. 38):

         
 
 


Рис. 38

                                                                             (5)

 

 

  Сопротивление параллельно соединенных проводников (рис. 39):

   

Рис. 39

 

                        (6)

 

 


Закон Ома. Правила Кирхгофа

  Закон Ома для неоднородного участка цепи (рис. 40 а):

                            (7)

где  – разность потенциалов на концах участка,  – ЭДС (электродвижущая сила) источника тока,  – сопротивление участка,  – напряжение на участке цепи,  – внутреннее сопротивление источника тока.

Для однородного участка цепи (не содержащего источника тока: ) (рис. 40 б) уравнение (37) принимает следующий вид:

                                             .                                           (8)

Для замкнутой цепи (точки цепи 1 и 2 совпадают, следовательно, ) (рис. 40 в) уравнение (7) преобразуется к виду:

                   ,                                           (9)

где  – сопротивление внешнего участка цепи,  – внутреннее сопротивление источника тока.

                 
 
 
 
 
 


 
      

                   а                                       б                                   в

Рис. 40

  Закон Ома в дифференциальной форме связывает плотность тока в любой точке электрической цепи с напряженностью  электрического поля в этой точке:

.                                                  (10)

  Правила Кирхгофа используются для расчета разветвленных цепей, содержащих несколько замкнутых контуров.

  Первое правило – алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

.                                               (11)

Здесь положительными считают токи, входящие в узел (приносящие заряд), а отрицательными – выходящие из узла (уносящие заряд).

  Второе правило – в любом замкнутом контуре, выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений токов  на сопротивления  на всех участках контура равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:

.                                        (12)         

4.3. Работа и мощность тока. Закон Джоуля Ленца

  Работа по переносу заряда при протекании тока в электрической цепи совершается электростатическим полем в проводнике и сторонними силами, действующими в источнике тока. Работа, совершаемая за время :

                                           ,                                                  (13)

где   сила тока и напряжение на участке цепи.

  Мощность тока ; с учетом формулы (13) и закона Ома (7) получают следующие формулы для расчета мощности:

.                            (14)           

  Закон Джоуля Ленца: количество теплоты , выделяемое в участке цепи за время , определяется следующими формулами:

.                                  (15)  

По закону сохранения энергии   в том случае, если проводник с током неподвижен (сравните формулы (13) и (14) с формулой (15)).


РЕКОМЕНДАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО РАЗДЕЛУ

«ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК»

   1) Изобразите на рисунке схему электрической цепи (или схемы цепей) в соответствии с условием задачи. Покажите на схемах направление токов на участках цепи. В том случае, если в контуре электрической цепи есть источник тока, то он определяет направления токов: от положительного полюса источника к отрицательному полюсу. Если же в электрической цепи нет источника тока, то направление токов на ее участках задают произвольно. Но при наличии узла в электрической цепи (точки, где сходятся три или более проводов), необходимо учесть, что в любом узле должны быть как входящие токи (приносящие положительный заряд в узел), так и выходящие из узла токи (они уносят положительный заряд). Иначе, в соответствии с законом сохранения заряда, будет изменяться заряд узла электрической цепи, а значит, и потенциал этой точки, что приведет к изменению тока в цепи, – согласно закону Ома.

  2) Следует иметь в виду, что напряжение, измеряемое вольтметром, на неоднородном участке цепи  (рис. 41) – это величина ,   

         
 
 
 
2


V

 

Рис. 41

 – ЭДС источника тока. В случае однородного участка цепи (не содержащего источника тока: ) величина измеряемого напряжения совпадает с разностью потенциалов ( ) на концах этого участка.

 

  3) Используя в решении задачи закон Ома, применяйте для однородного участка цепи формулу , либо в дифференциальной форме: , – а для замкнутой цепи используйте формулу .


ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

  Задача 21. При измерении мультиметром постоянного напряжения в диапазоне до  сопротивление прибора . Какие сопротивления используются в приборе и как они подсоединяются к сопротивлению  для переключения диапазона измерений на , равные 2; 20; 200 и 600 В?

       Дано                                                 Решение

; ; 2; 20; 200; 600 В.

V
V

 

            а                                        б

Рис. 42

  При подключении мультиметра на напряжение  через прибор протекает ток  (рис. 42 а); величина его, в соответствии с законом Ома:

                                             (1)

Значение  является наибольшим допустимым для данного прибора. При подключении этого мультиметра на напряжение в большем диапазоне  ток, согласно формуле (1), возрастал бы. Чтобы снизить его до , необходимо увеличить сопротивление цепи. Это делают путем подключения последовательно к сопротивлению  (сопротивлению прибора на минимальном диапазоне) добавочного сопротивления  (рис. 42 б); при этом ток в цепи, согласно закону Ома:

                                         (2)

  Приравнивая максимальный ток, идущий через прибор, определяемый формулами (1) и (2), получаем формулу для расчета величины добавочного сопротивления :

.           (3)

Вычисляем величины добавочных сопротивлений  для заданных диапазонов измеряемых напряжений  по формуле (3):

Для ;

; ;

.

  Задача 22. При измерении мультиметром постоянного тока в диапазоне до  сопротивление прибора . Какие сопротивления  используются в приборе и как они подключаются к сопротивлению  при переключении диапазона измерений на токи , равные 20; 200 мА и 10 А?

  Дано                                                      Решение

; ;  20; 200 мА; 10 А.
В
А
А

        а                                               б

Рис. 43

  При использовании мультиметра в режиме работы амперметра с диапазоном измеряемых токов до 2 мА через прибор может протекать максимальный ток  (рис. 43 а), равный, в соответствии с законом Ома:

.                                             (1)

Значение  является наибольшим из допустимых значений тока для данного прибора. Чтобы измерять этим мультиметром ток большего диапазона , необходимо часть тока, равную ( , отвести в другую ветвь электрической цепи (рис. 43 б). Сопротивление  этой ветви называют шунтирующим сопротивлением (или кратко – шунт). При этом через прибор будет протекать ток, равный  – максимальный при измеряемом токе, равном верхней границе диапазона , или кратный  – при измеряемых токах, меньших значения . Таким образом, шунтирующее сопротивление подключают параллельно сопротивлению прибора  на минимальном диапазоне.

  Соотношение токов  (через сопротивление ) и  (через шунт) найдем, записывая второе правило Кирхгофа для замкнутого контура электрической цепи (см. рис. 43 б), выбрав направление обхода контура – по часовой стрелке:

                                     (2)

Здесь в правой части уравнения записан нуль, так как в контуре нет ЭДС источника тока.

  Из уравнения (2) выразим искомое сопротивление шунта

                                           (3)

Соотношение между током  и измеряемым током  найдем, используя первое правило Кирхгофа для узла  электрической цепи (см. рис. 43 б):

                                         (4)

Величины  в сумме токов взяты со знаком «минус», так как эти токи уносят заряд из узла , в отличие от тока , приносящего заряд в узел  электрической цепи.

  Величину тока , согласно уравнению (4), подставим в формулу (3) и получим следующую расчетную формулу:

.                                    (5)            

Из последней формулы следует, что сопротивление , так как большую часть измеряемого тока нужно отвести в параллельную шунтирующую ветвь.

  Вычисляем сопротивления шунтов по формуле (5):

; ;

.

  Заметим, что шунтирование в электрических цепях применяется в электротехнических устройствах, а также бывает в электрической дуге, в частности, в дуговом газовом разряде, который применяется для сварки металлов, и в электродуговой печи для получения легированной стали.

  Задача 23. Допустимая рабочая величина плотности тока для медного проводника . Определите при данном токе следующие величины: 1) напряженность  электрического поля в этом проводнике; 2) напряжение  на концах проводника длиной  и площадью поперечного сечения ; 3) мощность , которая выделяется в этом проводнике.

       Дано                                                      Решение

; ; ; . 2)

     1) Плотность тока  в проводнике зависит от напряженности  электрического поля, которое имеется в каждой точке проводника при протекании в нем тока, в соответствии с законом Ома в дифференциальной форме:

 ,                                (1)

где  – удельное сопротивление материала проводника.

Из формулы закона (1) получаем расчетную формулу напряженности электрического поля в проводнике:

Вычисляем величину

  2) Считая, что электрическое поле внутри однородного проводника является однородным, используем для этого квазистатического поля формулу связи напряженности с разностью потенциалов, как для электростатического поля, в следующем виде:

.                            (2)    

Вычисляем напряжение, равное разности потенциалов на концах однородного участка цепи, по формуле (2):

.

  3) Электрическую мощность, которая выделяется в проводнике, можно рассчитать по формуле закона Джоуля – Ленца:

.

Заменяя в этой формуле ток, в соответствии с законом Ома: , получаем расчетную формулу величины мощности:

 ,                                                  (3)

где  – сопротивление проводника; для однородного проводника с постоянным сечением  справедлива формула

.                                                 (4)

  Выполним расчет по формуле (4), чтобы оценить порядок величины электрического сопротивления таких проводников, используемых, в частности, в бытовой технике:

.

  Вычисляем по формуле (3) электрическую мощность, выделяемую в проводнике при протекании в нем тока:

.

  Задача 24. При подключении сопротивления   к источнику тока в нем протекает ток  и на этом сопротивлении выделяется мощность , а при другой величине внешнего сопротивления, равной , ток в цепи  и на сопротивлении  выделяется мощность  Определите следующие величины: 1) внутреннее сопротивление источника тока ; 2) ЭДС источника тока ; 3) ток короткого замыкания источника тока ; 4) КПД источника тока при двух сопротивлениях внешней цепи, равных .

       Дано                                                      Решение

; ; ; 3)  

 
 
 

          а                          б                         в

Рис. 44

     1) Для замкнутых цепей (рис. 44 а и рис. 44 б) ток и ЭДС источника тока   связаны законом Ома в следующем виде:

                                  (1)

Из этих формул получаем следующие соотношения величин:

;

Приравнивая правые части записанных формул, исключаем неизвестную величину  и получаем расчетную формулу внутреннего сопротивления источника тока:

                                             (2)

  Чтобы найти сопротивления внешней цепи , используем закон Джоуля – Ленца – зависимость выделяемой мощности от величины сопротивления, в следующем виде:

.

Из этих формул определяем сопротивления: . Подставляя полученные значения сопротивлений в выражение (2), получаем расчетную формулу для величины в следующем виде:

.                                                (4)

Вычисляем внутреннее сопротивление источника тока:

.

  2) Электродвижущую силу источника тока  находим с помощью закона Ома (1):

.

Вычисляем величину ЭДС:

  3) Ток короткого замыкания – это максимальный ток, который можно получить от данного источника тока. Он протекает в электрической цепи (рис. 44 в) при отсутствии внешнего сопротивления и, согласно закону Ома (1), определяется следующей формулой:

; вычисляем

  4) Коэффициент полезного действия  источника тока равен отношению полезной мощности, которая выделяется на внешнем сопротивлении (сопротивлении нагрузки), к полной мощности, которая выделяется во всей цепи, в том числе и в источнике тока. Используя закон Джоуля – Ленца, определяем величину КПД источника тока:

.

Вычисляем значения КПД, используя формулы для сопротивлений нагрузки :

;

.

  Задача 25. Электродвижущая сила источника тока , ток короткого замыкания . Определите следующие величины: 1) сопротивление внешней цепи, при котором выделяется максимальная мощность ; 2) величину , которую можно получить от данного источника тока, и КПД  источника тока при этой мощности; 3) сопротивление нагрузки , при котором КПД .

       Дано                                                      Решение

; .  при 3)  при

А

            а                                      б

Рис. 45

  1) Мощность , выделяемая в сопротивлении  внешней цепи (рис. 45 а), определяется законом Джоуля Ленца:

                                               (1)

где  – ток в цепи, который найдем по закону Ома для замкнутой цепи:

                                                 (2)

Здесь  – внутреннее сопротивление цепи, или сопротивление источника тока.

  2) Подставляя величину тока по формуле (2) в уравнение (1), получаем следующую формулу:

.                                              (3)

Зависимость полезной мощности, выделяемой в сопротивлении нагрузки , от величины этого сопротивления, представленная формулой (3), имеет . Между этими нулевыми значениями есть максимальное  (так как величина ). Запишем условие максимума функции :

(4)

Таким образом, максимальная мощность развивается источником тока при сопротивлении нагрузки, равном сопротивлению источника тока.

  Сопротивление источника тока  обычно измеряют методом вольтметра – амперметра в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 45 б. Вольтметром измеряют ЭДС источника тока, в данной задаче она известна. Амперметром, сопротивление которого  обычно мало ( ), измеряют ток короткого замыкания . Из формулы (2) закона Ома определяем сопротивление источника тока:

                                     (5)

Тогда сопротивление нагрузки , при котором выделяется максимальная мощность  

.

  Для определения максимального значения мощности , которая выделяется на сопротивлении нагрузки , подставим в уравнение (3) сопротивления , найденные по формулам (4) и (5):

.

Вычисляем величину .

  Определим КПД источника тока как отношение мощностей:

.                (6)

Здесь – полезная мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении ; – мощность источника тока, развиваемая во всей цепи. После подстановки величин этих мощностей в формулу для КПД получаем следующую расчетную формулу:

                                                  (7)

По этой формуле находим, что при  выделении на нагрузке максимальной мощности   величина КПД

 ,   или

  3) С помощью формулы (7) найдем внешнее сопротивление , соответствующее заданному значению КПД :           

3
2
1
1,0
0,5
0
0

 

                    Рис. 46

.

Вычисляем величину сопротивления нагрузки при КПД :

.

  В заключение приведем примерные графики (рис. 46), которые показывают зависимости полезной мощности , выделяемой источником тока на внешнем сопротивлении , и КПД  источника тока от отношения сопротивлений .

  Задача 26. Нагреватель электрического чайника имеет две секции. При включении одной из них вода в чайнике закипает за время , а при включении другой секции – через . Через какой промежуток времени  закипит вода в чайнике, если соединить обе секции: а) последовательно, б) параллельно?

       Дано                                                      Решение

; а) последовательно: б) параллельно:    

 

 

а                                б

Рис. 47

  Для нагревания воды в чайнике до температуры кипения требуется определенное количество теплоты . Это необходимое количество теплоты выделяется на сопротивлении  нагревателя при протекании в нем электрического тока  за время   и, согласно закону Джоуля – Ленца, определяется следующей формулой:

                                             (1)

Так как токи через сопротивления  при последовательном (рис. 47 а) и параллельном (рис. 47 б) соединении этих сопротивлений различны, а одинаковая в этих двух случаях величина напряжения, на которое подключается нагреватель, то запишем ток по закону Ома:

                                                 (2)

Подставляя ток по формуле (2) в уравнение (1), получаем формулу для количества теплоты в следующем виде:

                                               (3)

  Выразим из уравнения (3) время , необходимое для сообщения чайнику с водой требуемого количества теплоты:

                                              (4)

Из формулы (4) следует, что время нагрева  пропорционально сопротивлению нагревателя. Поэтому заданные в условии задачи величины  выразим через сопротивления каждой секции нагревателя, соответственно , согласно формуле (4):

.                                     (5)

Из последних соотношений выразим сопротивления секций, которые будут нужны для расчета сопротивления последовательного и параллельного соединения секций:

.                                       (6)

  Представим искомые времена нагрева при двух соединениях сопротивлений   формулами, аналогичными соотношениям (5):

                              (7)

Здесь – сопротивление нагревателя при последовательном соединении секций сопротивлениями :

;                                           (8)

 – сопротивление нагревателя при параллельном соединении сопротивлений .

Так как

.                            ( 9)

  Подставляя значения сопротивлений нагревателя, представленные формулами (8) и (9), в соотношения (7), а затем, выражая величины  через заданные времена нагрева по формулам (6), получаем следующие расчетные формулы времени нагрева в двух случаях соединения секций нагревателя:

;             (10)

                     (11)

Вычисляем времена нагрева чайника при последовательном и параллельном соединениях секций по формулам (10) и (11):

;

.

  Таким образом, полученный результат показывает, что нагреватель, состоящий из двух секций с различными сопротивлениями, позволяет осуществлять нагрев с четырьмя различными скоростями.



 

 

 

 

 

 


 

ЧАСТЬ 3





ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Дата: 2018-11-18, просмотров: 296.