План решения задач
1. При расчете силы Ампера, действующей на проводник с током в магнитном поле, решение следует начать с рисунка, на котором нужно отразить форму проводника и направление вектора магнитной индукции 
поля, в котором находится проводник.
2. Необходимо иметь в виду, что формула силы Ампера 
справедлива только для прямого проводника с током 
длиной 
, который находится в однородном магнитном поле с индукцией . В случае неоднородного МП, а также для проводника криволинейной формы, проводник следует разделить на элементы тока 
и показать на рисунке векторы сил 
, действующих на элементы тока. Для этого необходимо выбрать два элемента тока, расположенных симметрично. Направление векторов 
определяем по правилу векторного произведения или по правилу левой руки: располагаем руку так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, четыре пальца направляем вдоль тока , тогда отогнутый большой палец покажет направление силы 
Сила, действующая на весь проводник, определяется как сумма векторов элементарных сил по всей длине проводника :
.
3. Свободный замкнутый контур с током (рамка или виток) устанавливается в магнитном поле так, чтобы его магнитный момент 
был сонаправлен с вектором магнитной индукции . При этом механический (вращающий) момент 
, а силы Ампера , действующие на элементы тока контура, растягивают его. Такое положение ( 
контура с током в однородном магнитном поле является состоянием устойчивого равновесия контура.
Задача 32. По трем параллельным прямым проводникам, находящимся на одинаковом расстоянии 
друг от друга (рис. 63 а) текут одинаковые токи 
В двух проводниках направления токов совпадают. Вычислите для каждого проводника силу, действующую на единицу длины проводника.
Дано Решение
 ;
 ;
 .
|
а б в Рис. 63 |
Сначала рассмотрим взаимодействие двух проводников – первого и второго (рис. 63 б). На второй проводник с током 
действует магнитное поле с индукцией 
, созданное током в первом проводе (соответственно, и на первый проводник действует магнитное поле 
, созданное вторым проводом). Выберем на втором проводнике элемент тока 
, проведем линию магнитной индукции (это окружность радиусом 
) и по касательной к ней направим вектор . Сила Ампера, действующая на выбранный элемент тока второго проводника со стороны МП первого тока
(1)
Модуль этой силы
, (2)
где угол между векторами 
и 
(линия магнитного поля расположена в плоскости, перпендикулярной проводу). Согласно формуле (2), сила, действующая со стороны первого провода на единицу длины второго провода:
(3)
В формуле (3) индукция МП, созданная прямым длинным проводом с током в точках на расстоянии от провода, определяется следующим выражением:
(4)
Направление силы определяем по правилу левой руки, располагая ладонь в плоскости рисунка: элемент тока притягивается к первому проводнику. По третьему закону Ньютона, на элемент тока первого проводника будет действовать сила 
, т. е. равная по модулю (см. формулу (3)) и противоположно направленная (см. рис. 63 б). Таким образом, параллельные токи одинакового направления притягиваются друг к другу. Изменим мысленно на рис. 63 б направление второго тока на противоположное (как ток 
) и правило левой руки покажет, что сила, действующая на элемент тока 
, направлена вправо, т. е. параллельные токи противоположных направлений взаимно отталкиваются.
На каждый из проводников действуют магнитные поля двух других токов. Величину каждой силы парного взаимодействия -того и 
-того проводов запишем, подставляя индукцию магнитного поля, определяемую формулой (4) (в данной задаче 
), в формулу (3):
. (5)
В соответствии с полученным выражением (5), величина силы парного взаимодействия на единицу длины одинакова для каждого проводника.
Результирующую силу, действующую на каждый проводник, находим с помощью принципа суперпозиции сил:
(6)
Покажем эти силы магнитного взаимодействия токов на рис. 63 в, учитывая, во-первых, взаимное направление токов, и во-вторых, равенство модулей всех сил парного взаимодействия 
. На рисунке заменим элементарную силу 
силой, действующей на весь i-тый провод со стороны -того тока, так как эти силы сонаправлены: 
.
Согласно формулам (6), сложим по два вектора сил, действующих на каждый проводник, геометрически: по правилу параллелограмма (треугольника) (см. рис. 63 в). Так как треугольники, имеющие сторонами векторы сил 
, равносторонние, то модули этих сил
(7)
Модуль силы 
найдем по теореме косинусов:
(8)
Силы, действующие на единицу длины провода, с учетом формулы (5), представятся выражениями, соответствующими формулам (7) и (8):
; (9)
(10)
Вычисляем силы: а) на единицу длины первого и второго провода:
.
б) на единицу длины третьего провода:
.
Задача 33. Квадратная проволочная рамка со стороной 
расположена в одной плоскости с длинным прямым поводом (рис. 64 а). Расстояние от провода до ближайшей стороны рамки 
. Ток в проводе 
, в рамке 
. Определите силы 
, действующие на каждую сторону рамки, и силу, действующую на всю рамку.
Дано Решение
|
.
2) |
;
а б Рис. 64 |
,
Индукция магнитного поля, создаваемого длинным прямым проводом с током 
в точке, находящейся на расстоянии 
от провода, определяется следующей формулой:
. (1)
Величина 
уменьшается по мере увеличения расстояния , следовательно, это магнитное поле неоднородное. Направление вектора определяем по такому вращению буравчика, чтобы винт перемещался бы вдоль тока . В области, где находится рамка, вектор направлен перпендикулярно плоскости рамки «от нас» (рис. 64 б).
Найдем силу 
, действующую на сторону 
, суммируя бесконечно малые силы 
, действующие на элементы тока 
:
; (2)
(3)
По правилу левой руки определяем, что все векторы , перпендикулярные вектору магнитной индукции , лежат в плоскости рамки, а в этой плоскости они перпендикулярны стороне . Силы являются сонаправленными, причем, сторона притягивается к проводу, так как ток в ней одинакового направления с током в проводе (см. рис. 64 б). Модуль силы :
(4)
Здесь величина 
(в соответствии с формулой (1), в которой 
для стороны ) одинакова во всех точках МП, где находится сторона рамки . Тогда действующая на нее сила
(5)
Аналогичный расчет будет и для силы 
, действующей на сторону рамки 
, так как вдоль этой стороны величина также одинакова, но меньше, чем для стороны , так как расстояние от провода больше: 
. Соответственно 
и модуль силы :
(6)
Вектор также перпендикулярен стороне рамки ( 
), но он направлен от провода с током : токи в проводе и в стороне противоположных направлений, поэтому они отталкиваются (см. рис. 64 б).
Силы 
, действующие на стороны 
и 
рамки с током, также перпендикулярны элементам тока 
и вектору магнитной индукции , в соответствии с векторным произведением в формуле (2), и направления их определяем также по правилу левой руки (см. рис. 64 б). Стороны рамки и расположены одинаково по отношению к проводу с током , магнитное поле которого действует на ток в рамке. Следовательно, модули этих сил одинаковы: 
.
Рассчитаем, например, силу 
, суммируя элементарные силы по длине стороны :
. (7)
Здесь величина не одинакова вдоль стороны , но уменьшается по мере удаления элемента тока от провода, согласно формуле (1). В подинтегральном выражении (7) заменим 
(см. рис. 64 б), чтобы перейти к одной переменной – расстоянию элемента тока от провода; пределы по этой переменной: 
, – соответствуют начальному и конечному элементам тока на стороне . Продолжим расчет силы 
(8)
Вычислим модули сил, действующих на стороны рамки, по формулам (5), (6) и (8):
.
.
.
Найдем результирующую силу, действующую на рамку в целом, складывая векторы сил, действующих на стороны рамки:
(9)
Здесь 
, так как и вектор 
(см. рис. 64 б). Так как сила 
, то модуль результирующей силы
Направление вектора результирующей силы 
совпадает с направлением большего из векторов сил – с вектором .
Таким образом, в неоднородном магнитном поле на данную рамку с током действует сила в направлении градиента индукции МП: 
, который направлен в область более сильного МП. Силы 
растягивают рамку с током, что соответствует данному случаю 
, где – магнитный момент рамки с током.
Задача 34. На оси контура с током, магнитный момент которого 
, находится другой такой же контур. Магнитный момент второго контура перпендикулярен оси первого контура. Расстояние межу контурами 
, причем, размеры контуров малы по сравнению с расстоянием 
Определите механический момент 
, действующий на второй контур.
|
 ;
;
.
|
Рис. 65 |
Магнитный момент контура с током – это вектор , направленный по нормали к плоскости контура так, что направление вектора связано с направлением тока в контуре правилом буравчика (правого винта). Первый контур с током создает магнитное поле с индукцией . Величина в точках на оси кругового контура рассчитана в решении задачи 27:
, (1)
где 
– расстояние от точек контура до точки в МП, в которой определяется величина 
. Так как по условию задачи расстояние велико по сравнению с радиусом контура, то величина 
.
На второй контур с током в магнитном поле с индукцией действует механический (вращающий) момент , величина которого определяется следующей формулой:
. (2)
Так как размеры второго контура тоже малы, то величина несущественно изменяется вдоль плоскости второго контура. Поэтому примем ее равной , определяемой формулой (1), в которой 
. Согласно векторному произведению в формуле (2), вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы 
и , т. е. он перпендикулярен плоскости рисунка (см. рис. 65). Этот механический момент будет стремиться повернуть второй контур до положения, в котором вектор 
(при этом величина 
обратится в нуль).
Модуль вращающего момента, согласно формуле (2),
, (3)
где 
– угол между векторами магнитного момента контура и индукцией магнитного поля . По условию задачи вектор 
, а последний создает магнитное поле 
, следовательно, вектор 
(см. рис. 65) и .
Подставляя величину магнитной индукции по формуле (1) в выражение (3), получаем следующую расчетную формулу:
. (4)
Вычисляем по формуле (4) механический момент, действующий на второй контур с током в магнитном поле, созданном первым контуром с током:
.
Задача 35. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии 
друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи 
и 
. Какую работу 
(на единицу длины проводника) нужно совершить, чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния 
?
Дано Решение
;
;
;
.
|
 Рис. 66
|
Параллельные токи одинакового направления притягиваются друг к другу, т. е. второй проводник с током притягивается к первому силой Ампера . Чтобы его отодвинуть от первого проводника, нужно приложить внешнюю силу 
, незначительно превышающую силу притяжения проводников: 
. Работа этой внешней силы
(1)
Найдем силу Ампера – силу магнитного взаимодействия проводников с током, как силу, с которой магнитное поле первого проводника действует на ток во втором проводнике:
(2)
В уравнении (2) суммируются элементарные силы , действующие на элементы тока , расположенные по всей длине второго проводника с током. Направление сил определяем по правилу левой руки, размещая ладонь в плоскости рисунка (рис. 66), так как вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рисунка (он направлен «к нам»). Силы , действующие на элементы тока , сонаправлены, поэтому можем складывать их модули:
(3)
Здесь 
, так как вектор 
; – магнитная индукция поля, созданного прямым током , она определяется формулой
, (4)
где – расстояние от проводника с током до точки, в которой определяется индукция магнитного поля.
Подставим величину в подинтегральное выражение (3) и выполним интегрирование, отметив, что расстояние всех элементов тока второго проводника от первого одинаково, так как проводники параллельные:
(5)
Сила Ампера, действующая на единицу длины проводника, в соответствии с формулой (5), представится следующим выражением:
(6)
Согласно полученной формуле, эта сила уменьшается с увеличением расстояния между проводниками, т. е. имеем дело с работой переменной силы, которая определяется, как сумма элементарных работ, интегралом (1). Работу на единицу длины проводника найдем, подставляя силу 
по формуле (6) в подинтегральное выражение (1):
(7)
Вычислим работу, которую совершает внешняя сила при удалении от первого проводника с током второго проводника с током на единицу его длины, принимая, что магнитная проницаемость воздуха 
:
.
Задача 36. Тонкий проводник в виде полукольца радиусом 
находится в однородном магнитном поле с индукцией 
. Плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода расположены вдоль линий . По проводнику протекает ток 
. Определите силу , действующую на проводник.
|
|
 ;
;
.
|
Рис. 67 |
,
,
Выделим на полукольце элемент тока и определим направление действующей на него силы Ампера
(1)
Для этого используем правило левой руки, располагая ладонь в плоскости рисунка (рис. 67). Так как элементы тока кольцевого проводника имеют различную ориентацию, то векторы , перпендикулярные элементам тока 
, образуют «веер векторов» в плоскости полукольца. Для сложения таких векторов каждый элементарный вектор силы разложим на составляющие по осям 
:
(2)
Силу, действующую на весь проводник длины , находим, суммируя по всей длине полукольца векторы сил, действующих на элементы тока:
(3)
Покажем на рисунке вектор 
, действующий на элемент тока 
, расположенный симметрично элементу тока . По рисунку видно, что вектор 
, следовательно, они попарно компенсируются при суммировании и в результате этого 
Составляющие силы Ампера 
, действующие на все элементы тока, сонаправлены, поэтому векторное равенство (3) заменяем скалярным:
(4)
Здесь проекция силы 
(см. треугольник на рис. 67). Элементарная сила Ампера
, (5)
где – угол между векторами элемента тока и магнитной индукции ; по условию задачи 
, поэтому 
Подставляя величину проекции силы 
в уравнение (4), перепишем его в следующем виде:
(6)
В подинтегральном выражении содержатся две переменные – элемент длины проводника 
и угол 
. Связь этих переменных находим из малого треугольника с гипотенузой (см. рис. 67): 
. Перейдем к переменной 
и запишем для нее пределы интегрирования. При сложении сил от всех элементов тока полукольца переменная изменяется от нуля (т. 
на рис. 67) до 
(т. 
на рис. 67), где 
– радиус полукольца. Тогда интеграл (6) принимает следующий вид:
(7)
Вычислим модуль силы Ампера, действующей в магнитном поле на полукольцо с током:
Вектор 
, а величина 
, следовательно, сила Ампера направлена вдоль оси 
(см. рис. 67).
Задача 37. Тонкий проводник в виде полукольца радиусом 
находится в однородном магнитном поле с индукцией 
. Вектор лежит в плоскости полукольца и перпендикулярен его диаметру (рис. 68). По проводнику течет ток . Определите силу , действующую на полукольцо.
|
 
|
Рис. 68 |
Сделаем чертеж (см. рис. 68), на котором покажем элемент тока , лежащий в плоскости рисунка. Сила Ампера, действующая на данный элемент тока, определяется по закону Ампера:
(1)
Силу, действующую на все элементы тока полукольца, найдем, суммируя элементарные силы:
. (2)
Согласно векторному произведению (1), сила перпендикулярна элементу тока и магнитной индукции . Так как оба вектора лежат в плоскости рисунка, то вектор силы перпендикулярен плоскости рисунка и направлен «к нам». Для всех элементов тока векторы сонаправлены, следовательно, и вектор силы , действующей на полукольцо, также направлен перпендикулярно плоскости рисунка.
Модуль этого вектора находим, используя формулы (1) и (2):
(3)
Здесь – угол между векторами элемента тока и магнитной индукции (см. рис. 68). Подинтегральное выражение (3) содержит две переменные – элемент длины проводника и угол . Перейдем к одной переменной – к углу , заменяя 
. Пределы по этой переменной видны по рисунку (см. рис. 68). Суммируя силы по длине проводника, начинаем с первого элемента тока 
, для которого 
, и заканчиваем последним элементом тока , – для него 
. Соответственно, уравнение (3) принимает следующий вид:
.
Вычисляем силу, действующую на полукольцо с током в магнитном поле заданной ориентации:
Дата: 2018-11-18, просмотров: 409.
