План решения задач
1. При расчете силы Ампера, действующей на проводник с током в магнитном поле, решение следует начать с рисунка, на котором нужно отразить форму проводника и направление вектора магнитной индукции поля, в котором находится проводник.
2. Необходимо иметь в виду, что формула силы Ампера справедлива только для прямого проводника с током
длиной
, который находится в однородном магнитном поле с индукцией
. В случае неоднородного МП, а также для проводника криволинейной формы, проводник следует разделить на элементы тока
и показать на рисунке векторы сил
, действующих на элементы тока. Для этого необходимо выбрать два элемента тока, расположенных симметрично. Направление векторов
определяем по правилу векторного произведения или по правилу левой руки: располагаем руку так, чтобы линии магнитной индукции
входили в ладонь, четыре пальца направляем вдоль тока
, тогда отогнутый большой палец покажет направление силы
Сила, действующая на весь проводник, определяется как сумма векторов элементарных сил по всей длине проводника
:
.
3. Свободный замкнутый контур с током (рамка или виток) устанавливается в магнитном поле так, чтобы его магнитный момент был сонаправлен с вектором магнитной индукции
. При этом механический (вращающий) момент
, а силы Ампера
, действующие на элементы тока контура, растягивают его. Такое положение (
контура с током в однородном магнитном поле является состоянием устойчивого равновесия контура.
Задача 32. По трем параллельным прямым проводникам, находящимся на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 63 а) текут одинаковые токи
В двух проводниках направления токов совпадают. Вычислите для каждого проводника силу, действующую на единицу длины проводника.
Дано Решение
![]() ![]() ![]()
![]()
|
![]()
![]() а б в Рис. 63 |
Сначала рассмотрим взаимодействие двух проводников – первого и второго (рис. 63 б). На второй проводник с током действует магнитное поле с индукцией
, созданное током в первом проводе (соответственно, и на первый проводник действует магнитное поле
, созданное вторым проводом). Выберем на втором проводнике элемент тока
, проведем линию магнитной индукции
(это окружность радиусом
) и по касательной к ней направим вектор
. Сила Ампера, действующая на выбранный элемент тока второго проводника со стороны МП первого тока
(1)
Модуль этой силы
, (2)
где угол между векторами
и
(линия магнитного поля
расположена в плоскости, перпендикулярной проводу). Согласно формуле (2), сила, действующая со стороны первого провода на единицу длины второго провода:
(3)
В формуле (3) индукция МП, созданная прямым длинным проводом с током в точках на расстоянии
от провода, определяется следующим выражением:
(4)
Направление силы определяем по правилу левой руки, располагая ладонь в плоскости рисунка: элемент тока притягивается к первому проводнику. По третьему закону Ньютона, на элемент тока первого проводника будет действовать сила
, т. е. равная по модулю (см. формулу (3)) и противоположно направленная (см. рис. 63 б). Таким образом, параллельные токи одинакового направления притягиваются друг к другу. Изменим мысленно на рис. 63 б направление второго тока на противоположное (как ток
) и правило левой руки покажет, что сила, действующая на элемент тока
, направлена вправо, т. е. параллельные токи противоположных направлений взаимно отталкиваются.
На каждый из проводников действуют магнитные поля двух других токов. Величину каждой силы парного взаимодействия -того и -того проводов запишем, подставляя индукцию магнитного поля, определяемую формулой (4) (в данной задаче
), в формулу (3):
. (5)
В соответствии с полученным выражением (5), величина силы парного взаимодействия на единицу длины одинакова для каждого проводника.
Результирующую силу, действующую на каждый проводник, находим с помощью принципа суперпозиции сил:
(6)
Покажем эти силы магнитного взаимодействия токов на рис. 63 в, учитывая, во-первых, взаимное направление токов, и во-вторых, равенство модулей всех сил парного взаимодействия . На рисунке заменим элементарную силу
силой, действующей на весь i-тый провод со стороны
-того тока, так как эти силы сонаправлены:
.
Согласно формулам (6), сложим по два вектора сил, действующих на каждый проводник, геометрически: по правилу параллелограмма (треугольника) (см. рис. 63 в). Так как треугольники, имеющие сторонами векторы сил , равносторонние, то модули этих сил
(7)
Модуль силы найдем по теореме косинусов:
(8)
Силы, действующие на единицу длины провода, с учетом формулы (5), представятся выражениями, соответствующими формулам (7) и (8):
; (9)
(10)
Вычисляем силы: а) на единицу длины первого и второго провода:
.
б) на единицу длины третьего провода:
.
Задача 33. Квадратная проволочная рамка со стороной расположена в одной плоскости с длинным прямым поводом (рис. 64 а). Расстояние от провода до ближайшей стороны рамки
. Ток в проводе
, в рамке
. Определите силы
, действующие на каждую сторону рамки, и силу, действующую на всю рамку.
Дано Решение
![]()
2) |
![]()
![]() а б Рис. 64 |
Индукция магнитного поля, создаваемого длинным прямым проводом с током
в точке, находящейся на расстоянии
от провода, определяется следующей формулой:
. (1)
Величина уменьшается по мере увеличения расстояния
, следовательно, это магнитное поле неоднородное. Направление вектора
определяем по такому вращению буравчика, чтобы винт перемещался бы вдоль тока
. В области, где находится рамка, вектор
направлен перпендикулярно плоскости рамки «от нас» (рис. 64 б).
Найдем силу , действующую на сторону
, суммируя бесконечно малые силы
, действующие на элементы тока
:
; (2)
(3)
По правилу левой руки определяем, что все векторы , перпендикулярные вектору магнитной индукции
, лежат в плоскости рамки, а в этой плоскости они перпендикулярны стороне
. Силы
являются сонаправленными, причем, сторона
притягивается к проводу, так как ток
в ней одинакового направления с током
в проводе (см. рис. 64 б). Модуль силы
:
(4)
Здесь величина (в соответствии с формулой (1), в которой
для стороны
) одинакова во всех точках МП, где находится сторона рамки
. Тогда действующая на нее сила
(5)
Аналогичный расчет будет и для силы , действующей на сторону рамки
, так как вдоль этой стороны величина
также одинакова, но меньше, чем для стороны
, так как расстояние от провода больше:
. Соответственно
и модуль силы
:
(6)
Вектор также перпендикулярен стороне рамки
(
), но он направлен от провода с током
: токи
в проводе и
в стороне
противоположных направлений, поэтому они отталкиваются (см. рис. 64 б).
Силы , действующие на стороны
и
рамки с током, также перпендикулярны элементам тока
и вектору магнитной индукции
, в соответствии с векторным произведением в формуле (2), и направления их определяем также по правилу левой руки (см. рис. 64 б). Стороны рамки
и
расположены одинаково по отношению к проводу с током
, магнитное поле которого действует на ток в рамке. Следовательно, модули этих сил одинаковы:
.
Рассчитаем, например, силу , суммируя элементарные силы по длине стороны
:
. (7)
Здесь величина не одинакова вдоль стороны
, но уменьшается по мере удаления элемента тока
от провода, согласно формуле (1). В подинтегральном выражении (7) заменим
(см. рис. 64 б), чтобы перейти к одной переменной
– расстоянию элемента тока от провода; пределы по этой переменной:
, – соответствуют начальному и конечному элементам тока
на стороне
. Продолжим расчет силы
(8)
Вычислим модули сил, действующих на стороны рамки, по формулам (5), (6) и (8):
.
.
.
Найдем результирующую силу, действующую на рамку в целом, складывая векторы сил, действующих на стороны рамки:
(9)
Здесь , так как
и вектор
(см. рис. 64 б). Так как сила
, то модуль результирующей силы
Направление вектора результирующей силы совпадает с направлением большего из векторов сил – с вектором
.
Таким образом, в неоднородном магнитном поле на данную рамку с током действует сила в направлении градиента индукции МП:
, который направлен в область более сильного МП. Силы
растягивают рамку с током, что соответствует данному случаю
, где
– магнитный момент рамки с током.
Задача 34. На оси контура с током, магнитный момент которого , находится другой такой же контур. Магнитный момент второго контура перпендикулярен оси первого контура. Расстояние межу контурами
, причем, размеры контуров малы по сравнению с расстоянием
Определите механический момент
, действующий на второй контур.
|
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() Рис. 65 |
Магнитный момент контура с током – это вектор
, направленный по нормали к плоскости контура так, что направление вектора
связано с направлением тока в контуре правилом буравчика (правого винта). Первый контур с током создает магнитное поле с индукцией
. Величина
в точках на оси кругового контура рассчитана в решении задачи 27:
, (1)
где – расстояние от точек контура до точки в МП, в которой определяется величина
. Так как по условию задачи расстояние
велико по сравнению с радиусом контура, то величина
.
На второй контур с током в магнитном поле с индукцией действует механический (вращающий) момент
, величина которого определяется следующей формулой:
. (2)
Так как размеры второго контура тоже малы, то величина несущественно изменяется вдоль плоскости второго контура. Поэтому примем ее равной
, определяемой формулой (1), в которой
. Согласно векторному произведению в формуле (2), вектор
перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы
и
, т. е. он перпендикулярен плоскости рисунка (см. рис. 65). Этот механический момент будет стремиться повернуть второй контур до положения, в котором вектор
(при этом величина
обратится в нуль).
Модуль вращающего момента, согласно формуле (2),
, (3)
где – угол между векторами магнитного момента контура
и индукцией магнитного поля
. По условию задачи вектор
, а последний создает магнитное поле
, следовательно, вектор
(см. рис. 65) и
.
Подставляя величину магнитной индукции по формуле (1) в выражение (3), получаем следующую расчетную формулу:
. (4)
Вычисляем по формуле (4) механический момент, действующий на второй контур с током в магнитном поле, созданном первым контуром с током:
.
Задача 35. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии друг от друга. По проводникам в одном направлении текут токи
и
. Какую работу
(на единицу длины проводника) нужно совершить, чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния
?
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
Параллельные токи одинакового направления притягиваются друг к другу, т. е. второй проводник с током притягивается к первому силой Ампера
. Чтобы его отодвинуть от первого проводника, нужно приложить внешнюю силу
, незначительно превышающую силу притяжения проводников:
. Работа этой внешней силы
(1)
Найдем силу Ампера – силу магнитного взаимодействия проводников с током, как силу, с которой магнитное поле первого проводника действует на ток
во втором проводнике:
(2)
В уравнении (2) суммируются элементарные силы , действующие на элементы тока
, расположенные по всей длине второго проводника с током. Направление сил
определяем по правилу левой руки, размещая ладонь в плоскости рисунка (рис. 66), так как вектор магнитной индукции
перпендикулярен плоскости рисунка (он направлен «к нам»). Силы
, действующие на элементы тока
, сонаправлены, поэтому можем складывать их модули:
(3)
Здесь , так как вектор
;
– магнитная индукция поля, созданного прямым током
, она определяется формулой
, (4)
где – расстояние от проводника с током
до точки, в которой определяется индукция магнитного поля.
Подставим величину в подинтегральное выражение (3) и выполним интегрирование, отметив, что расстояние
всех элементов тока второго проводника от первого одинаково, так как проводники параллельные:
(5)
Сила Ампера, действующая на единицу длины проводника, в соответствии с формулой (5), представится следующим выражением:
(6)
Согласно полученной формуле, эта сила уменьшается с увеличением расстояния между проводниками, т. е. имеем дело с работой переменной силы, которая определяется, как сумма элементарных работ, интегралом (1). Работу на единицу длины проводника найдем, подставляя силу
по формуле (6) в подинтегральное выражение (1):
(7)
Вычислим работу, которую совершает внешняя сила при удалении от первого проводника с током
второго проводника с током
на единицу его длины, принимая, что магнитная проницаемость воздуха
:
.
Задача 36. Тонкий проводник в виде полукольца радиусом находится в однородном магнитном поле с индукцией
. Плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводящие провода расположены вдоль линий
. По проводнику протекает ток
. Определите силу
, действующую на проводник.
|
|
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]()
Рис. 67 |
Выделим на полукольце элемент тока и определим направление действующей на него силы Ампера
(1)
Для этого используем правило левой руки, располагая ладонь в плоскости рисунка (рис. 67). Так как элементы тока кольцевого проводника имеют различную ориентацию, то векторы , перпендикулярные элементам тока
, образуют «веер векторов» в плоскости полукольца. Для сложения таких векторов каждый элементарный вектор силы разложим на составляющие по осям
:
(2)
Силу, действующую на весь проводник длины , находим, суммируя по всей длине полукольца векторы сил, действующих на элементы тока:
(3)
Покажем на рисунке вектор , действующий на элемент тока
, расположенный симметрично элементу тока
. По рисунку видно, что вектор
, следовательно, они попарно компенсируются при суммировании и в результате этого
Составляющие силы Ампера
, действующие на все элементы тока, сонаправлены, поэтому векторное равенство (3) заменяем скалярным:
(4)
Здесь проекция силы (см. треугольник на рис. 67). Элементарная сила Ампера
, (5)
где – угол между векторами элемента тока
и магнитной индукции
; по условию задачи
, поэтому
Подставляя величину проекции силы в уравнение (4), перепишем его в следующем виде:
(6)
В подинтегральном выражении содержатся две переменные – элемент длины проводника и угол
. Связь этих переменных находим из малого треугольника с гипотенузой
(см. рис. 67):
. Перейдем к переменной
и запишем для нее пределы интегрирования. При сложении сил от всех элементов тока полукольца переменная
изменяется от нуля (т.
на рис. 67) до
(т.
на рис. 67), где
– радиус полукольца. Тогда интеграл (6) принимает следующий вид:
(7)
Вычислим модуль силы Ампера, действующей в магнитном поле на полукольцо с током:
Вектор , а величина
, следовательно, сила Ампера
направлена вдоль оси
(см. рис. 67).
Задача 37. Тонкий проводник в виде полукольца радиусом находится в однородном магнитном поле с индукцией
. Вектор
лежит в плоскости полукольца и перпендикулярен его диаметру (рис. 68). По проводнику течет ток
. Определите силу
, действующую на полукольцо.
|
![]() ![]() |
![]() Рис. 68 |
Сделаем чертеж (см. рис. 68), на котором покажем элемент тока , лежащий в плоскости рисунка. Сила Ампера, действующая на данный элемент тока, определяется по закону Ампера:
(1)
Силу, действующую на все элементы тока полукольца, найдем, суммируя элементарные силы:
. (2)
Согласно векторному произведению (1), сила перпендикулярна элементу тока
и магнитной индукции
. Так как оба вектора лежат в плоскости рисунка, то вектор силы
перпендикулярен плоскости рисунка и направлен «к нам». Для всех элементов тока векторы
сонаправлены, следовательно, и вектор силы
, действующей на полукольцо, также направлен перпендикулярно плоскости рисунка.
Модуль этого вектора находим, используя формулы (1) и (2):
(3)
Здесь – угол между векторами элемента тока
и магнитной индукции
(см. рис. 68). Подинтегральное выражение (3) содержит две переменные – элемент длины проводника
и угол
. Перейдем к одной переменной – к углу
, заменяя
. Пределы по этой переменной видны по рисунку (см. рис. 68). Суммируя силы по длине проводника, начинаем с первого элемента тока
, для которого
, и заканчиваем последним элементом тока
, – для него
. Соответственно, уравнение (3) принимает следующий вид:
.
Вычисляем силу, действующую на полукольцо с током в магнитном поле заданной ориентации:
Дата: 2018-11-18, просмотров: 505.