Расчет напряженности электростатического поля
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

С помощью теоремы Гаусса

План решения задач

     1) Выясните тип симметрии электростатического поля, который отображает симметрию заряженного тела, создающего поле:

  а) сферическая (центральная) симметрия характерна для полей равномерно заряженной сферы (нескольких концентрических сфер), равномерно заряженного по объему шара, металлического шара и т. п.

  б) цилиндрическая (осевая) симметрия имеется у полей, созданных равномерно заряженной по длине нитью или цилиндром (несколькими коаксиальными цилиндрами), равномерно заряженным по объему цилиндром и т. п.

  в) плоская (зеркальная) симметрия имеется у полей, созданных равномерно заряженной плоскостью, равномерно заряженной по объему пластиной и т. п.

  2) Изобразите на рисунке силовые линии поля, ход которых определяется симметрией заряженных тел.

  3) Выберите замкнутую вспомогательную поверхность, проходящую через выбранную точку поля (в которой требуется определить напряженность) и удобную для расчета потока вектора напряженности . Для удобной поверхности проекция вектора напряженности на нормаль к поверхности , т. е. вектор   в той точке, где определяем величину . Другие участки вспомогательной поверхности выбирают такими, чтобы . Заметим, что для определения проекции  принято проводить внешнюю нормаль к поверхности. Таким образом, для правильно выбранной вспомогательной поверхности поток  в левой части теоремы Гаусса записывается в следующем виде:

,                                          (1)

где  – напряженность поля на расстоянии , отсчитанном от центра (оси) симметрии заряда до точки, в которой определяем величину .

  4) Расчет напряженности поля с помощью теоремы Гаусса:

,                                  (2)

выполняйте по областям; их выбирайте так, чтобы в пределах каждой области правая часть уравнения (2) была неизменной. На границе двух соседних областей изменяется величина  – сумма зарядов, находящихся внутри выбранной вспомогательной поверхности, при этом функция  изменяется скачком.

   Задача 12. На двух концентрических сферах радиусами  равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями и , где . 1) Используя теорему Гаусса, найдите зависимость проекции вектора напряженности электростатического поля от расстояния  для трех областей:  (рис. 21). 2) Покажите направление вектора  и вычислите модуль  в точке на расстоянии  от центра сфер. 3) Постройте график зависимости .

Решение

     1) По условию задачи заряды, равномерно распределенные по сферам, находятся на одинаковых расстояниях от центра сфер:  и . Следовательно, центр сфер является центром симметрии системы зарядов, а ЭСП, созданное сферами, обладает центральной (сферической) симметрией. На рис. 22 показано расположение зарядов и силовые линии поля: 1) линии  начинаются а) на положительных зарядах первой сферы, б) либо на бесконечно большом расстоянии от сфер, и 2) силовые линии

        Дано                                                  Решение

; ;  . 1) в областях 2) 3) график .

3
2
1

     Рис. 21                              Рис. 22

идут к отрицательным зарядам второй сферы по радиальным линиям, так как такое поле является сферически симметричным. Заметим, что поле заряженной сферы на большом расстоянии от нее: , – совпадает с полем точечного заряда, также имеющим центральную симметрию.

  Вспомогательные поверхности для расчета потока  в теореме Гаусса выбираем также в виде сфер радиусом , так как на них одинакова величина проекции напряженности . Единичные нормали  к этим поверхностям идут по радиальным направлениям, поэтому проекции  и  совпадают. Соответственно, поток вектора  через сферическую поверхность радиусом   и площадью  определяется формулой:

                              (1)

  Расчет функции  выполняем по следующим областям:

  Область : . В этой области выбираем произвольную точку 1 и проводим через нее сферу радиусом  (см. рис. 22). Внутри данной вспомогательной сферы нет зарядов: . Следовательно, по теореме Гаусса определяем

                           (2)  

  Область : . В этой области проводим сферу радиусом  через произвольную точку 2. Внутри данной вспомогательной сферы находится заряд  – на поверхности первой заряженной сферы радиусом . Приравниваем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса:

,     где .

Отсюда выражаем зависимость  ,  т. е. .           (3)

  Область : . В этой области вспомогательная сфера радиусом  проходит через точку 3. Внутри данной сферы находятся заряды обеих сфер, следовательно

.                                                              
 Приравниваем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса:

;  .                  (4)

Таким образом, проекция вектора напряженности , а модуль величины , т. е. уменьшается с увеличением расстояния   

  2) Заданная точка для определения напряженности поля находится на расстоянии  от центра сфер, следовательно, она лежит в области , поэтому проекцию напряженности рассчитываем по формуле (4):

                               (5)

Здесь  – электрическая постоянная.

Вычисляем напряженность ЭСП сфер в заданной точке по формуле (5):

 .

Проекция напряженности  отрицательная, следовательно, вектор  в этой точке противоположен радиальному направлению, т. е. направлен к центру сфер, что соответствует показанному на рис. 22.

  3) Для построения графика зависимости  найдем значения проекции вектора напряженности на границах участков:


Рис. 23

;

;

.

 
Используя эти граничные значения, построим график зависимости проекции  вектора напряженности от расстояния  от центра сфер:  (рис. 23).

 

 

  Задача 13. На двух коаксиальных бесконечно длинных цилиндрах радиусами  равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями и , где . 1) Используя теорему Гаусса, найдите зависимость проекции вектора напряженности ЭСП от расстояния  для трех областей:  (рис. 24). 2) Покажите направление вектора  и вычислите модуль  в точке на расстоянии  от оси цилиндров. 3) Постройте график зависимости .

     Дано                                                      Решение

; ;  . 1) в областях 2) 3) график .
3
2
1
   
 
                   

             Рис. 24                              Рис. 25

     1) По условию задачи заряды, равномерно распределенные по поверхности цилиндров, находятся на одинаковых расстояниях от оси цилиндров:   и . Следовательно, ось цилиндров является осью симметрии данной системы зарядов, а ЭСП, созданное цилиндрами, обладает осевой симметрией. На рис. 25 показаны силовые линии поля. Линии вектора  начинаются на положительных зарядах второго цилиндра и идут к отрицательным зарядам первого цилиндра либо в бесконечность по радиальным линиям, так как такое поле является осесимметричным.

  Вспомогательные поверхности для расчета потока  в теореме Гаусса выбираем также в виде цилиндров радиусом , так как на их боковой поверхности одинакова величина проекции . Единичные нормали  к этим поверхностям идут по радиальным направлениям, поэтому проекции  и  совпадают. Чтобы боковая поверхность была замкнутой «закроем» основания (торцы) цилиндров дисками, плоскость которых ортогональна боковой поверхности цилиндра. В этом случае векторы  будут скользить вдоль плоскости оснований и проекция напряженности на нормаль к основаниям , следовательно, и поток   Поток вектора  через такой замкнутый цилиндр радиусом  и высотой  определяется следующей формулой:

                     (1)   

  Расчет функции  выполняем по следующим областям:

  Область : . В этой области выбираем произвольную точку 1 и проводим вспомогательный цилиндр радиусом  такой, чтобы точка 1 лежала на боковой поверхности цилиндра (см. рис. 25). Внутри этого цилиндра нет зарядов: . Следовательно, по теореме Гаусса получаем

                           (2)  

  Область : . В этой области проводим вспомогательный цилиндр радиусом , равным расстоянию от оси цилиндра до произвольной точки 2, чтобы эта точка оказалась на боковой поверхности цилиндра. Внутри данного вспомогательного цилиндра на поверхности первого цилиндра радиусом  находится заряд . Приравниваем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса:

,   где .

При этом произвольно выбранный параметр  сокращается, и получаем зависимость в виде:

 .                                           (3)

Таким образом, проекция вектора , а модуль , т. е. уменьшается с увеличением расстояния   

  Область : . В этой области боковую поверхность вспомогательного цилиндра проводим через точку 3. Внутри данного цилиндра находятся заряды обоих цилиндров, следовательно,

                                                             
 Приравниваем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса:

;  ,  т. е.  .             (4)

  2) Заданная в условии задачи точка для определения напряженности поля находится на расстоянии  от оси цилиндров, следовательно, она лежит в области , поэтому проекцию напряженности рассчитываем по формуле (4):

.                                       (5)

Здесь  – электрическая постоянная.

Вычисляем значение проекции напряженности ЭСП цилиндров в заданной точке по формуле (5):

 .

Проекция напряженности  положительная, следовательно, вектор  в этой точке направлен по радиальному направлению от оси цилиндров, что соответствует показанному на рис. 25.

  3) Для построения графика зависимости  найдем значения проекции вектора напряженности на границах участков:

  

Рис. 26

;

;

.

Используя эти граничные значения, построим график зависимости проекции  вектора напряженности от расстояния , отсчитанного  от оси цилиндров:  (рис. 26).

   Задача 14. На двух бесконечных параллельных плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями и , где . 1) Используя теорему Гаусса и принцип суперпозиции электрических полей, найдите зависимость проекции вектора напряженности электростатического поля от координаты  для трех областей:  (рис. 27). 2) Покажите направление вектора  и вычислите модуль  в точке, расположенной справа от плоскостей. 3) Постройте график зависимости .

   Дано                                                      Решение

; ;  . 1) в областях 2) в области 3) график .
 
   
 
 
1
   

  Рис. 27                            Рис. 28

  ЭСП, созданное двумя заряженными плоскостями, не обладает симметрией, в отличие от поля одной заряженной плоскости, которое имеет зеркальную симметрию. Поэтому с помощью теоремы Гаусса найдем напряженность поля, создаваемого одной заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда . Силовые линии этого поля перпендикулярны плоскости и направлены от плоскости в обе стороны (рис. 28) – такое поле симметрично относительно «плоскости-зеркала».

     1) Для расчета напряженности  выберем точки 1 и  справа и слева от плоскости на одинаковом расстоянии от нее; в силу симметрии поля в этих точках одинаков модуль векторов: . В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости. При этом нормали к основаниям  (см. рис. 28), следовательно, проекции  и слева, и справа от плоскости. Поток вектора  через боковую поверхность цилиндра равен нулю: , так как   и поэтому , поскольку линии напряженности не пересекают боковую поверхность. Заметим, что в качестве вспомогательной поверхности можно выбрать и прямую призму или параллелепипед, основания которых проходили бы через точки 1 и .

  Вычислим поток вектора  через такой замкнутый цилиндр:

                                 (1)

Заряд, находящийся внутри этой замкнутой поверхности, размещен на диске площадью  (см. рис. 28) и равен . Приравняем поток, определяемый формулой (1), по теореме Гаусса:

.

Из этого уравнения получаем зависимость

                                                 (2)

  Из формулы (2) следует, что напряженность  электростатического поля заряженной плоскости не зависит от расположения точки поля относительно плоскости и одинакова во всех точках поля – такое поле называется однородным. Это справедливо, пока плоскость можно считать бесконечно большой, т. е. на расстояниях от заряженной плоскости, достаточно малых по сравнению с ее размерами.

  Для электростатического поля двух плоскостей, заданного в условии задачи, найдем напряженность, используя принцип суперпозиции полей:

,                                             (3)

где  – векторы напряженности полей первой и второй плоскости, причем модули этих векторов определяются формулой (2):

;  .

Но сложение векторов в уравнении (3) необходимо выполнять с учетом их направлений, которые определяем, как обычно, помещая в выбранную точку поля пробный положительный заряд . Отрицательные заряды первой плоскости будут притягивать к себе пробный заряд силой , а положительные заряды второй плоскости будут отталкивать от себя заряд  силой . По направлениям этих сил направлены линии напряженности ЭСП:   и . В каждой области пространства покажем по одной линии напряженности поля заряженных пластин: линию   и линию  (рис. 29).

     
 


 
 
 

 

             Рис. 29

  Запишем проекцию  вектора напряженности поля плоскостей, проецируя уравнение (3) принципа суперпозиции на ось :

       (4)

Найдем проекцию  в каждой области:

Область  (слева от плоскостей):

                                             (5)

Область  (между плоскостями):

                          (6)

Область  (справа от плоскостей):

.                          (7)     

Заметим, что для определения проекции напряженности  в уравнения (5), (6) и (7) следует подставлять модули величин , так как их знак учтен  знаком проекций , которые соответствуют указанным направлениям векторов  для каждой плоскости.

  2) Рассчитаем проекцию вектора напряженности ЭСП в области  – справа от плоскостей, по уравнению (7):

.                              (8)

Проекция  отрицательна, следовательно, вектор  направлен противоположно положительному направлению оси .

  Вычисляем модуль вектора :

 

  3) Чтобы построить график зависимости проекции вектора напряженности  от координаты , найдем значения проекций в каждой области пространства по уравнениям (5), (6) и (7):

 
 
 
 
 

                 Рис. 30

; ;

; ;

; .

   Используя полученные значения, одинаковые в пределах каждой области, построим график зависимости проекции  вектора напряженности от координаты :  (рис. 30).  



Дата: 2018-11-18, просмотров: 253.