Связь напряженности и потенциала

  Потенциал  – энергетическая характеристика ЭСП, в данной точке поля равная отношению

(14)

где  – потенциальная энергия пробного заряда , помещенного в данную точку ЭСП.

  В поле точечного заряда потенциал точки, находящейся на расстоянии   от заряда:

 ,                                                   (15)

где  – заряд, создающий поле.

  Потенциал  – алгебраическая величина, его знак равен знаку заряда , создающего поле (см. формулу (15)). Потенциал ЭСП, созданного в данной точке несколькими зарядами (точечными, а также и распределенными по длине или по поверхности заряженных тел) равен алгебраической сумме потенциалов  полей всех заряженных тел в этой точке:

                                                  (16)

  Работа по перемещению точечного заряда  из точки 1 в точку 2 в электростатическом поле определятся формулой:

                              (17)

где  – убыль потенциальной энергии заряда ;  – разность потенциалов начальной и конечной точек для заряда, перемещающегося в ЭСП.

  Потенциал связан с напряженностью ЭСП следующим соотношением:

,                                         (18)

где  – вектор градиента потенциала.

Проекция вектора напряженности  на направление вектора градиента потенциала

                                                (19)

Здесь  – модуль градиента потенциала.

  В однородном ЭСП, в котором вектор напряженности одинаков во всех точках поля, модуль напряженности

,                                        (20)

где  – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей;  – расстояние между этими поверхностями по нормали к ним, т. е. вдоль силовой линии ЭСП.

  Таким образом, имеется три способа расчета напряженности  электростатического поля:

  1) С помощью принципа суперпозиции, применяемого в следующих случаях:

а) для системы точечных зарядов – по формуле (6), (см. рис. 3);

б) поле создано несколькими заряженными телами, например: нить и точечный заряд; две плоскости; плоскость и нить и т. п., – также по формуле (6);

в) для распределенного заряда – по формуле (7).

  Этим методом удается найти, как правило, только значение напряженности  в одной выбранной точке; лишь в отдельных случаях, например, для ЭСП, созданного электрическим диполем, можно найти зависимость , т. е. напряженность поля  как функцию расстояния  от зарядов.

  2) С помощью теоремы Гаусса – по формуле (9), для полей, обладающих симметрией (сферической, осевой или зеркальной). Для таких полей метод позволяет найти функцию  – зависимость напряженности  от расстояния от центра (оси) симметрии поля.

  3) С использованием формулы связи – по формулам (19) и (20). Если известна зависимость , то можно, используя формулу (19), путем дифференцирования найти функцию . По формуле (20) находят численное значение напряженности , которое одинаково во всех точках однородного ЭСП.