План решения задач
1. На рисунке покажите расположение электрических зарядов в соответствии с условием задачи. При этом укажите следующие величины: 1) знаки зарядов и их символы с индексом, равным номеру заряда; 2) обозначьте расстояния между зарядами; 3) покажите векторы сил, действующие: а) на один выбранный заряд (индекс силы совпадает с индексом заряда, со стороны которого действует сила), б) на два и более двух зарядов; в этом случае удобны индексы сил, состоящие из двух цифр, например, – сила, действующая на заряд
со стороны заряда
.
2. Если по условию задачи система зарядов (и каждый из них) неподвижна, то выполняются условия равновесия для каждого заряда: , – на основании первого закона Ньютона. При этом равнодействующую силу находят как геометрическую сумму всех сил, действующих на данный заряд. Заметим, что, в соответствии с опытным принципом суперпозиции сил (независимости их действия), присутствие третьего заряда
, в том числе и помещенного между зарядами
и
, не изменяет силу взаимодействия зарядов
и
.
3. Записанные условия равновесия проецируют на координатные оси x и y; оси проводят, как правило, так, чтобы линия действия одной из сил совпадала с осью. Из уравнений для проекций сил получают расчетную формулу определяемой величины.
Задача 1. Два положительных заряда и
находятся на расстоянии
друг от друга и могут перемещаться вдоль прямой, их соединяющей. Найдите точку на этой прямой, в которую нужно поместить отрицательный заряд
, чтобы эти три заряда находились в равновесии. Определите величину заряда
.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() Рис. 8 |
Покажем на рис. 8 силы и
взаимного отталкивания зарядов
и
. Чтобы заряды
и
были в равновесии, нужно скомпенсировать эти силы противоположно им направленными силами
– на первый заряд и
– на второй. Такие силы создает отрицательный заряд
, помещенный между зарядами
и
. На этот заряд
будут действовать силы
и
со стороны первого и второго зарядов соответственно.
Запишем условия равновесия зарядов: , – для каждого заряда.
Для :
; (1)
:
; (2)
:
. (3)
Отметим, что силы взаимодействия зарядов удовлетворяют третьему закону Ньютона:
;
;
; (4)
С учетом равенства модулей сил, входящих в третий закон Ньютона, и условий равновесия зарядов (1), (2) и (3) получаем, что модули всех сил парного взаимодействия зарядов одинаковы. Это очевидно и на рис. 8.
Обозначим расстояния: – заряда
от
;
– заряда
от
, при этом
, – и запишем модули сил, используя закон Кулона:
; (5)
; (6)
; (7)
Приравниваем формулы сил (5) и (6) в соответствии с условием (3) равновесия заряда :
, после сокращения получаем
. (8)
Решаем уравнение (8) с одной неизвестной величиной , извлекая из обеих частей равенства квадратный корень:
. (9)
Вычисляем Таким образом, заряд
следует поместить на расстоянии
от заряда
.
Величину заряда найдем, приравнивая модули сил
и
, согласно условию (1) равновесия заряда
:
, после сокращения имеем
.
Вычислим величину заряда
Задача 2. Два шарика одинаковых радиуса и массы
подвешены на нитях одинаковой длины
так, что они соприкасаются. После сообщения шарикам заряда
каждому, они оттолкнулись друг от друга, а нити образовали угол
. Найдите массу шарика и силу натяжения нити. Примите, что
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() Рис. 9 |
На каждый шарик действуют три силы (рис. 9): сила тяжести , сила натяжения нити
и сила отталкивания одноименных зарядов
. Учитывая, что размер шарика
, а расстояние между ними
близко к величине
, заключаем, что
, следовательно, шарики можно считать точечными зарядами, сила взаимодействия которых определяется законом Кулона:
, (1)
где – расстояние между шариками (
.
Запишем условие равновесия шарика:
. (2)
Представим уравнение (2) в проекциях на оси :
; (3)
. (4)
Система уравнений (3) и (4) содержит две неизвестных величины: . Исключим величину
путем деления одного уравнения на другое, предварительно записав их в следующем виде:
;
;
. (5)
Выразим определяемую величину массы шарика , учитывая закон Кулона (1):
(6) Вычисляем массу шарика
.
Силу натяжения нити находим из уравнения (4):
; Вычисляем
Задача 3. Два заряженных шарика одинаковых радиуса и массы
подвешены на нитях равной длины
и опущены в жидкий диэлектрик, плотность которого
и диэлектрическая проницаемость
. Определите плотность
материала шариков, если углы расхождения нитей в воздухе и в диэлектрике одинаковы. Примите, что
.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]()
а б Рис. 10 |
На каждый шарик в воздухе действуют три силы (рис. 10 а): сила тяжести , сила натяжения нити
и сила отталкивания одноименных зарядов шариков
. Учитывая, что размер шарика
, а расстояние между ними
близко к величине
, заключаем, что
; следовательно, шарики можно считать точечными зарядами, сила взаимодействия которых определяется законом Кулона:
(1)
где – расстояние между шариками (
).
Запишем условие равновесия шарика:
(2)
В проекциях на оси уравнение (2) представится в виде:
(3)
(4)
Исключая неизвестную величину путем деления уравнения (3) на уравнение (4), получаем выражение
(5)
В диэлектрике (рис. 10 б) в условие равновесия добавляется сила Архимеда , где
– плотность жидкости;
– объем шарика;
– ускорение свободного падения. При этом условие равновесия принимает следующий вид:
(6)
Запишем уравнение (6) в проекциях на оси :
; (7)
. (8)
По аналогии решением системы уравнений (3) и (4), исключаем силу натяжения нитей и получаем соотношение
(9)
Так как угол расхождения нитей одна и та же в уравнениях (5) и (9), приравниваем левые части этих уравнений:
. (10)
Сила взаимодействия зарядов в диэлектрике в раз меньше, чем в воздухе:
(11)
Массу шарика выразим через плотность материала и объем шарика
:
(12)
С учетом формул (11) и (12) равенство (10) перепишем в следующем виде:
;
; тогда
.
Из последнего выражения получаем расчетную формулу плотности материала шариков в виде:
; вычисляем
.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 484.