С помощью принципа суперпозиции
План решения задач
1.Изобразите на рисунке схему расположения точечных зарядов или заряженных тел в соответствии с условием задачи. На схеме: 1) покажите знаки зарядов и их символы с индексом, равным номеру заряда; 2) обозначьте точку, в которой нужно определить величины напряженности и потенциала ЭСП, например, точка 
.
2. Запишите принцип суперпозиции для расчета напряженности поля в следующем виде:
а) если ЭСП создается системой точечных зарядов или заряженных тел, то
(1)
где 
– вектор напряженности поля i-того заряда или заряженного тела; число слагаемых в уравнении (1) равно числу зарядов, создающих поле;
б) если ЭСП создается зарядом, распределенным равномерно, например, по длине заряженного тела, тогда
, (2)
где 
– бесконечно малый вектор напряженности, создаваемый элементарным зарядом 
, выделенным на заряженном теле.
3. Так как в уравнениях (1) и (2) записана сумма векторов, которые следует складывать геометрически, то необходимо показать на рисунке направления суммируемых векторов. Для этого мысленно помещают в исследуемую точку поля пробный положительный заряд 
и показывают направление сил 
, действующих на этот пробный заряд со стороны каждого i-того заряда (естественно, что векторы всех сил, приложенных к заряду , начинаются в точке ). Поскольку векторы напряженности 
, то обозначают изображенные векторы символами , где индекс величины 
совпадает с индексом заряда, создающего поле. Аналогично определяют направление векторов 
от бесконечно малых точечных зарядов и 
, которые выбирают, как правило, в точках заряженного тела, распложенных симметрично относительно его оси симметрии.
4. Сложение двух векторов обычно выполняют с помощью правила параллелограмма (или треугольника); при этом модуль определяемого результирующего вектора находят по теореме косинусов. Если число складываемых векторов равно трем и более, в том числе и при суммировании бесконечно малых векторов 
, то находят проекции результирующего вектора 
на координатные оси 
, проецируя на эти оси каждый из суммируемых векторов. В этом случае модуль результирующего вектора определяют с помощью теоремы Пифагора: 
. Оси направляют таким образом, чтобы удобно было записывать проекции 
, т. Е. чтобы были известны углы, образованные векторами с осями координат. Либо одну из осей проводят по предполагаемому направлению результирующего вектора 
, которое можно определить, используя симметрию в расположении зарядов, если таковая имеется.
5. Потенциал электростатического поля в исследуемой точке находят также с помощью принципа суперпозиции:
, (3)
алгебраически суммируя потенциалы, которые создаются в данной точке заряженными телами, в том числе, точечными зарядами 
или бесконечно малыми точечными зарядами . При этом суммировании знаки потенциалов 
равны знакам соответствующих 
-тых зарядов, в частности, отрицательный заряд создает в точке электростатическое поле с отрицательным значением потенциала.
Задача 4. Два точечных заряда 
и 
расположены в двух вершинах равностороннего треугольника со стороной 
. Определите напряженность электростатического поля и его потенциал в точке А, находящейся в третьей вершине.
|
|
|
|
;
;
Рис. 11 |
Расположение зарядов 
относительно точки показано на рис. 11.
1) Для расчета напряженности используем принцип суперпозиции ЭСП в виде:
(1)
где 
и 
– напряженности полей, создаваемых в точке зарядами 
соответственно.
Чтобы определить направление складываемых векторов, в точку мысленно помещаем пробный заряд и рассматриваем действующие на него силы: первый заряд 
отталкивает заряд силой 
, направленной по линии соединяющей заряды 
, а второй – отрицательный заряд 
притягивает к себе положительный заряд силой 
, также направленной по линии, соединяющей заряды 
. Напряженность поля, создаваемого i-тым зарядом, , т. е. совпадает по направлению с соответствующей силой.
Модуль результирующего вектора 
можно найти любым из двух способов: а) по теореме косинусов:
, (2)
где напряженности ЭСП, создаваемого точечными зарядами 
в точке , находящейся на расстоянии 
от каждого заряда:
; (3)
б) по проекциям принципа суперпозиции (1) на координатные оси :
; (4)
(5)
Ось 
направляем вдоль вектора , при этом вектор образует известные углы 
с осями (см. рис. 11). Следовательно, проекции результирующего вектора : 
, – на координатные оси 
, будут определяться выражениями:
В результате
(6)
Подставим формулы (3) для напряженностей 
в выражение (6) и, вынося одинаковый сомножитель 
за скобки и из радикала, получим следующую расчетную формулу величины :
(7)
Вычисляем по формуле (7) напряженность электростатического поля в точке , заметив, что при этом нужно подставлять модуль отрицательного заряда 
, поскольку знак его уже учтен в направлении вектора :
.
2) Расчет потенциала 
в точке электростатического поля выполняем, используя принцип суперпозиции:
, (8)
где потенциалы ЭСП, созданного точечными зарядами в точке , находящейся на расстоянии от каждого заряда, определяются следующими формулами:
(9)
С учетом этих формул равенство (8) запишется в виде:
(10)
В полученной расчетной формуле каждый заряд записывается с его знаком, так как только в этом случае получим алгебраическую сумму потенциалов полей, создаваемых отдельными зарядами. Вычислим потенциал в исследуемой точке электростатического поля по формуле (10):
.
Задача 5. Четыре точечных заряда , 
, 
и 
, расположены в вершинах квадрата со стороной 
. Определите напряженность электростатического поля и его потенциал в точке 
пересечения диагоналей квадрата.
Дано Решение
 ; ;
;
1) 2) |
Рис. 12 |
Расположение зарядов в вершинах квадрата показано на рис. 12.
1) Для расчета напряженности вектора в точке используем принцип суперпозиции электростатического поля в виде:
, (1)
где 
– напряженности полей, создаваемых в точке О зарядами 
соответственно.
Для определения направления суммируемых векторов в исследуемую точку поля О мысленно помещаем пробный положительный заряд и рассматриваем действующие на него силы: каждая сила направлена по линии, соединяющей пробный заряд и заряд и приложена к пробному заряду в точке . При этом положительные заряды 
отталкивают от себя , а отрицательный заряд притягивает к себе . По направлениям этих сил , действующих на пробный заряд, направлены соответствующие векторы напряженностей (см. рис. 12).
Векторы, направленные по одной прямой (коллинеарные) складываем попарно:
; так как 
, то модуль вектора 
; (2)
; так как 
, то модуль вектора 
(3)
Учитывая эти равенства, принцип суперпозиции (1) перепишем в следующем виде:
(4)
Так как векторы 
взаимно перпендикулярны, то их складываем по правилу параллелограмма (треугольника); при этом модуль результирующего вектора определяем с помощью теоремы Пифагора:
С учетом формул (2) и (3) модуль напряженности ЭСП в точке
(5)
Напряженность ЭСП, создаваемого точечным зарядом :
(6)
где 
– расстояние от точечного заряда до точки в ЭСП. Подставляя напряженности 
согласно формуле (6) в равенство (5) и вынося одинаковый сомножитель за скобки и из радикала, получим расчетную формулу для величины напряженности в следующем виде:
(7)
Вычисляя по формуле (7) напряженность поля в точке , заметим, что при этом в формулу следует подставить модуль отрицательного заряда , так как знак его уже учтен в изображении вектора на рис. 12.
.
2) Рассчитываем потенциал электростатического поля в точке с помощью принципа суперпозиции:
, (8)
где – потенциал поля, создаваемого точечным зарядом в точке , находящейся на расстоянии от заряда:
. (9)
Подставляя формулы (9) в равенство (8), получаем следующую расчетную формулу для потенциала ЭСП в точке :
(10)
Здесь заряды записываются с их знаками: так как отрицательный заряд создает поле с отрицательным потенциалом, то 
. Вычисляем потенциал точки электростатического поля по формуле (10):
.
Задача 6. В вершинах правильного шестиугольника со стороной 
находятся четыре положительных и два отрицательных точечных заряда; все заряды имеют одинаковый модуль 
. Определите напряженность электростатического поля и потенциал в центре шестиугольника при трех различных вариантах расположения этих зарядов.
Дано Решение
 ;
 ;
 ;
|
 
в вариантах 1, 2 и 3.
|
Рис. 13 |
Для расчета в центре шестиугольника (в точке 
) напряженности электростатического поля, создаваемого системой из шести точечных зарядов, используем принцип суперпозиции:
, (1)
где – вектор напряженности поля, создаваемого в точке i-тым зарядом ( 
; индекс вектора совпадает с индексом заряда 
.
Чтобы определить направления суммируемых векторов, в точку мысленно поместим пробный положительный заряд и покажем направления действующих на него сил со стороны i-тых зарядов: все силы направлены вдоль линий, соединяющих пробный заряд с зарядом . При этом положительные заряды 
отталкивают от себя пробный заряд, а отрицательные 
– притягивают к себе . По направлениям сил , действующих на пробный заряд, направлены соответствующие векторы напряженности (рис. 13).
Векторы, направленные вдоль одной прямой (коллинеарные), складываем попарно, учитывая, что модули всех векторов одинаковы:
. (2)
С учетом направления векторов в точке (см. рис. 13), перепишем равенство (1) в виде:
. (1а)
Так как вектор 
, то их сумма 
; сумма сонаправленных векторов: 
, и 
.
С учетом этих соотношений принцип суперпозиции (1а) перепишем в следующем виде:
. (3)
Векторы 
складываем по правилу параллелограмма (треугольника). Так как диагонали шестиугольника разделяют его площадь на равносторонние треугольники, то по рис. 13 видно, что 
. Тогда результирующий вектор напряженности ЭСП в точке
.
С учетом формулы (2) модуль этого вектора
. (4)
Вычисляем напряженность ЭСП в исследуемой точке :
.
Потенциал электростатического поля в точке определяется по принципу суперпозиции как алгебраическая сумма потенциалов полей, создаваемых шестью точечными зарядами:
, (5)
где – потенциал поля, создаваемого точечным зарядом в точке , находящейся на расстоянии 
от заряда; он определяется следующей формулой:
.
Поскольку все заряды одинаковы по модулю и находятся на одинаковом расстоянии 
от исследуемой точки поля , то слагаемые в уравнении (5) различаются только знаком; при этом, согласно условию задачи, имеем
;
.
В соответствии с уравнением (5) сумма этих потенциалов
(6)
Величина , определяемая уравнением (6), не изменяется при любом варианте размещения данных зарядов в вершинах шестиугольника.
Вычисляем потенциал электростатического поля в точке :
.
Рис. 14 |
|
, помещенный в точку , и . По принципу суперпозиции полей (1) складываем векторы напряженности , как рассмотрено выше, т. е. попарно:
, (7)
где модуль напряженности 
, – в соответствии с формулой (2).
Модуль результирующего вектора определяем из треугольника на рис. 14 по теореме косинусов, в соответствии с уравнением (7):
(8)
Сравнивая формулы (8) и (4), отмечаем, что в данном варианте размещения зарядов напряженность в 
раз больше, чем в первом случае:
.
Рис. 15 |
|
полей, созданных в точке каждым точечным зарядом, показаны на рис. 15. Складываем векторы , согласно принципу суперпозиции ЭСП (1); при этом выделяем пары векторов, которые направлены по одной линии:
В последнем уравнении векторы, заключенные в скобки, равны по модулю и противоположны по направлению; следовательно, их сумма равна нулю. Соответственно, и результирующий вектор 
, так как поля, созданные зарядами одинакового знака, в точке взаимно компенсируются.
Задача 7. Электростатическое поле создается нитью длиной 
, несущей заряд 
, равномерно распределенный по длине нити. Определите напряженность и потенциал в точке , лежащей на продолжении нити на расстоянии 
от ближайшего ее конца.
Дано Решение
;
;
 .
2) 
|
Рис. 16 |
)
1) Размер заряженного тела – длина нити 
, соизмерим с расстоянием от нити до исследуемой точки поля , следовательно, заряд нити не является точечным. В таких случаях мысленно разделяют заряд нити на элементарные заряды и суммируют создаваемые ими в точке поля напряженностью (рис. 16).
Чтобы определить направление векторов в точке , мысленно поместим в эту точку пробный положительный заряд и покажем векторы сил 
, действующих со стороны элементарных зарядов нити на пробный заряд. Векторы направлены по линии, соединяющей заряды 
, а векторы 
, следовательно, все бесконечно малые векторы напряженности полей элементарных зарядов нити направлены вдоль оси , т. е. параллельны друг другу.
Результирующий вектор , согласно принципу суперпозиции:
, (1)
в этом случае направлен вдоль оси , а его модуль равен сумме модулей складываемых векторов:
, (2)
где напряженность поля 
, создаваемого точечным зарядом , который находится на участке бесконечно малой длиной 
, определяется формулой
(3)
Здесь величина заряда 
, где 
– линейная плотность заряда нити; – расстояние от заряда до исследуемой точки поля .
Подставим формулу (3) в уравнение принципа суперпозиции (2), заменяя элемент длины участка нити равной ему величиной 
, – бесконечно малым приращением переменной . Определим пределы интегрирования по этой переменной. В уравнении (2) суммируются поля напряженностью всех элементарных зарядов нити , начиная с расположенного на расстоянии от точки поля и заканчивая зарядом, находящимся на другом конце нити, – на расстоянии 
от исследуемой точки. Проинтегрируем в указанных пределах:
; 
. (4)
Проверим полученную расчетную формулу путем экстраполяции зависимости (4): увеличим расстояние от конца нити до точки так, чтобы 
; при этом условии заряженную нить можно принять за точечный заряд, а в формуле (4) полагать расстояние 
, вследствие малости второго слагаемого. Таким образом, из формулы (4) получаем величину 
, равную напряженности поля, создаваемого точечным зарядом 
в точке поля, находящейся на расстоянии от заряда. Следовательно, полученная формула (4) верна.
Вычисляем напряженность поля нити в точке по формуле (4):
.
2) Рассчитаем потенциал электростатического поля в точке , используя принцип суперпозиции: суммируя бесконечно малые величины потенциала 
полей, создаваемых элементарными зарядами :
;
(5)
Полученную формулу (5) также проверим на предельный случай точечного заряда: нить на расстоянии ; при этом используем формулу приближенных вычислений 
, так как 
. Подставляя это значение логарифма в выражение (5) получаем формулу в виде 
– как для потенциала поля, созданного точечным зарядом . Следовательно, полученная формула (5) верна.
Вычисляем по формуле (5) потенциал поля в заданной точке :
.
Задача 8. Электростатическое поле создается нитью длиной 
, с зарядом 
, равномерно распределенным по длине. Определите напряженность и потенциал поля в точке (рис. 17), находящейся на расстоянии 
от нити и равноудаленной от ее концов.
Дано Решение
;
;
.
2)
|
|
1) Заряд , находящийся на нити, не является точечным, так как расстояние от заряда до точки соизмеримо с длиной заряженной нити. Поэтому мысленно разбиваем заряд нити на бесконечно малые заряды , каждый из которых создает в точке поле напряженностью . Направление вектора определяем, как обычно, помещая в точку пробный положительный заряд ; на него со стороны заряда будет действовать сила отталкивания , направленная вдоль линии, соединяющей заряды и , а вектор 
Вектор напряженности электростатического поля в точке найдем по принципу суперпозиции, суммируя векторы от всех зарядов , расположенных на нити:
. (1)
Векторы ориентированы различно, образуя «веер» векторов, лежащих в плоскости 
. Для сложения этих векторов разложим каждый на составляющие по осям 
:
(2)
С учетом последнего равенства уравнение (1) перепишем в виде:
(3)
Здесь проекции вектора находим из треугольника (см. рис. 17):
(4)
Подстановка формул (4) в уравнение (3) дает следующее равенство:
(5)
В подинтегральных выражениях уравнения (5) содержатся три переменных: расстояние , заряд и угол 
. Перейдем к одной переменной – к углу . Заряд 
, где – линейная плотность заряда нити; – элемент длины нити. Для двух малых треугольников (см. рис. 17) приравняем общую сторону:
.
Здесь и в равенстве (5) расстояние от точечного заряда до точки :
.
Заменим переменные 
в подинтегральных выражениях, преобразуя уравнение (5), и выполним интегрирование:
, (6)
где 
.
Первый интеграл в выражении (5), равный 
, обращается в нуль, так как составляющие 
от зарядов правой части нити компенсируются векторами 
от симметрично расположенных зарядов левой части нити. В результате результирующий вектор 
⇈ 
, т. е. вектор напряженности поля в точке направлен вдоль оси 
перпендикулярно нити. Модуль вектора напряженности найдем, подставляя в уравнение (6) значение 
:
(7)
Проверим полученную расчетную формулу (7) на следующие предельные случаи:
а) При 
(расстояние до точки велико по сравнению с размером нити, поэтому заряд нити можно считать точечным) в формуле (7) 
. Тогда 
; получена формула напряженности поля, создаваемого точечным зарядом , следовательно, формула (7) верна.
б) При 
(точка вблизи нити, которую в этом случае можно считать достаточно длинной) в формуле (7) 
. Тогда 
. Эта формула совпадает с формулой для напряженности поля длинной нити, выведенной с помощью теоремы Гаусса (см. раздел «Теоретическая часть», формула (12)). Следовательно, полученная расчетная формула (7) справедлива и в этом приближении.
Вычисляем напряженность ЭСП в точке по формуле (7):
.
2) Определим потенциал электростатического поля в точке , используя принцип суперпозиции: суммируя бесконечно малые величины потенциала полей, которые создаются элементарными зарядами :
. (8)
По таблице интегралов находим
.
Рассчитываем величину потенциала по формуле (8):
. (9)
Определим угол 
, для которого 
(см. рис. 17): 
; 
; тогда 
.
Вычисляем потенциал ЭСП в исследуемой точке по формуле (9):
.
Задача 9. Электростатическое поле создается нитью длиной 
, имеющей форму полукольца и несущей заряд 
, равномерно распределенный по длине нити. Определите напряженность электростатического поля и потенциал в точке в центре полукольца.
Дано Решение
;
 ;
2)
|
|
,
1) Заряд, распределенный по полукольцу, находится от точки на расстоянии 
– радиусу полукольца, и не является точечным, так как размер заряженной нити 
. Поэтому мысленно разобьем весь заряд тела на элементарные заряды и просуммируем создаваемые ими поля напряженностью . Заряженное полукольцо имеет ось симметрии – ось , поэтому целесообразно рассмотреть векторы напряженности полей 
, создаваемые симметрично расположенными элементарными зарядами 
соответственно (рис. 18).
Чтобы определить направление векторов , достаточно в точку мысленно поместить пробный положительный заряд и показать вектор силы , которой элементарный положительный заряд отталкивает пробный заряд (вектор направлен вдоль линии, соединяющей взаимодействующие заряды). Вектор напряженности , т. е. совпадает по направлению с силой . Все элементарные заряды полукольца создают «веер» векторов , расположенный в плоскости .
Запишем принцип суперпозиции для напряженности ЭСП в точке О:
. (1)
Каждый бесконечно малый вектор разложим по координатным осям : 
, – при этом уравнение (1) перепишем в виде:
. (2)
Для симметрично расположенных зарядов по рис. 18 видно, что вектор , а модули их одинаковы, следовательно, их сумма равна нулю. Таким образом, все векторы , создаваемые элементарными зарядами правой части полукольца, будут скомпенсированы векторами 
от зарядов левой части полукольца. В результате первый интеграл в уравнении (2) обращается в нуль; подтвердим это расчетом.
Модули векторов 
, необходимые для расчета , определим из треугольников (см. рис. 18):
. (3)
С учетом формул (3) принцип суперпозиции (2) преобразуется к виду:
. (4)
В подинтегральном выражении равенства (4) содержатся две переменные: угол и дифференциал заряда . В таком случае переходят к одной переменной, обычно к углу , записывая элементарный заряд
, (5)
где – линейная плотность заряда нити; 
, – элемент длины полукольца, радиус которого 
.
Подставим величину , определяемую формулой (5), в подинтегральные выражения уравнения (4), вынесем постоянные величины 
за знак интегралов, и вычислим интегралы:
(6)
Согласно полученному выражению (6), составляющая вектора напряженности по оси : 
, – что и показывала взаимная компенсация векторов 
. В результате вектор напряженности поля в точке сонаправлен орту оси : 
, – т. е. вектор направлен вдоль оси (см. рис. 18). Модуль вектора напряженности
(7)
Вычисляем: 
.
2) Определяем потенциал точки электростатического поля, созданного заряженным полукольцом, суммируя бесконечно малые величины полей элементарных зарядов :
(8)
Вычисляем потенциал ЭСП в исследуемой точке :
.
Задача 10. Тонкое кольцо радиусом 
, несет равномерно распределенный по длине заряд 
. Определите напряженность электростатического поля и его потенциал в точке , равноудаленной от всех точек кольца на расстояние 
.
Дано Решение
 ;
 ;
 .
|
Рис. 19 |
;
1) Размеры заряженного кольца соизмеримы с расстоянием от кольца до точки , поэтому заряд кольца не является точечным. Следовательно, как и в предыдущих задачах, мысленно разобьем весь заряд кольца на элементарные заряды и сложим создаваемые ими поля напряженностью , используя принцип суперпозиции:
(1)
Для определения направления векторов , как обычно, в исследуемую точку поля мысленно помещаем пробный заряд и показываем силу , действующую на него со стороны заряда . Сила направлена вдоль линии, соединяющей заряд с пробным, а вектор напряженности (рис. 19). Так как заряженное кольцо имеет ось симметрии: ось , – то покажем на рисунке и вектор 
от заряда , расположенного симметрично заряду 
Векторы от всех элементарных зарядов кольца образуют «конус векторов». Для их сложения разложим каждый вектор на две составляющие:
, (2)
где – составляющая вектора , направленная по оси ; 
– составляющая, перпендикулярная вектору . При подстановке величины , согласно равенству (2), в уравнение (1) результирующий вектор представится суммой двух интегралов:
. (3)
По рис. 19 видно, что вектор 
; вследствие этого в уравнении (3) второй интеграл: 
, – так как векторы от диаметрально противолежащих элементов заряда взаимно компенсируются. В результате, поскольку направления всех составляющих одинаково: вдоль положительного направления оси , – то модуль результирующего вектора напряженности в точке равен сумме модулей 
:
(4)
Здесь 
.
Вычисляем напряженность ЭСП кольца в точке по формуле (4):
.
2) Потенциал точки электростатического поля, созданного заряженным кольцом, определяем, суммируя бесконечно малые величины потенциала полей элементарных зарядов :
(5)
Вычисляем потенциал ЭСП в точке по формуле (5):
.
Задача 11. Электростатическое поле создано двумя бесконечно длинными нитями, скрещенными под прямым углом (рис. 20 а). Нити заряжены равномерно по длине с линейными плотностями 
и 
. Для точки , расположенной на расстояниях и 
от нитей (см. рис. 20 а), определите напряженность электростатического поля, созданного нитями, и силу 
, действующую на заряд 
, помещенный в точку А.
Дано Решение
;
;
 ;
 ;
1)  2) 
|
а б Рис. 20 |
1) Электрическое поле, созданное равномерно заряженной нитью, обладает осевой симметрией: силовые линии поля идут вдоль радиальных направлений (рис. 20 б). Напряженность такого ЭСП рассчитывается с помощью теоремы Гаусса и в точках, находящихся на расстоянии от нити, определяется формулой
, (1)
где 
– коэффициент пропорциональности; 
– линейная плотность заряда нити.
Напряженность результирующего поля двух нитей в точке находим по принципу суперпозиции:
, (2)
где и – напряженности полей, создаваемых первой и второй нитью.
Направление этих векторов (см. рис. 20 б) можно определить двумя способами: 1) провести от каждой нити одну из радиальных силовых линий ЭСП данной нити, проходящую через точку , либо 2) как обычно, поместить в точку пробный положительный заряд и показать вектор силы , действующей на этот заряд со стороны каждой нити; при этом вектор напряженности . По рис. 20 б видно, что векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому модуль результирующего вектора напряженности находим по теореме Пифагора:
(3)
Подставляя в формулу (3) величины напряженности электрического поля каждой нити по формуле (1), получаем расчетную формулу напряженности данного электростатического поля в точке :
. (4)
Вычисляем величину напряженности поля
.
2) Формулу для расчета силы, действующей на точечный заряд 
, находящийся в точке данного ЭСП, получим из определительной формулы напряженности электрического поля:
. (5)
Так как заряд положительный, то направление силы , согласно формуле (5), совпадает с направлением вектора напряженности поля в точке (см. рис. 20 б). Вычисляем модуль силы:
.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 495.
