С помощью принципа суперпозиции
План решения задач
1.Изобразите на рисунке схему расположения точечных зарядов или заряженных тел в соответствии с условием задачи. На схеме: 1) покажите знаки зарядов и их символы с индексом, равным номеру заряда; 2) обозначьте точку, в которой нужно определить величины напряженности и потенциала ЭСП, например, точка .
2. Запишите принцип суперпозиции для расчета напряженности поля в следующем виде:
а) если ЭСП создается системой точечных зарядов или заряженных тел, то
(1)
где – вектор напряженности поля i-того заряда или заряженного тела; число слагаемых в уравнении (1) равно числу зарядов, создающих поле;
б) если ЭСП создается зарядом, распределенным равномерно, например, по длине заряженного тела, тогда
, (2)
где – бесконечно малый вектор напряженности, создаваемый элементарным зарядом
, выделенным на заряженном теле.
3. Так как в уравнениях (1) и (2) записана сумма векторов, которые следует складывать геометрически, то необходимо показать на рисунке направления суммируемых векторов. Для этого мысленно помещают в исследуемую точку поля пробный положительный заряд
и показывают направление сил
, действующих на этот пробный заряд со стороны каждого i-того заряда (естественно, что векторы всех сил, приложенных к заряду
, начинаются в точке
). Поскольку векторы напряженности
, то обозначают изображенные векторы символами
, где индекс величины
совпадает с индексом заряда, создающего поле. Аналогично определяют направление векторов
от бесконечно малых точечных зарядов
и
, которые выбирают, как правило, в точках заряженного тела, распложенных симметрично относительно его оси симметрии.
4. Сложение двух векторов обычно выполняют с помощью правила параллелограмма (или треугольника); при этом модуль определяемого результирующего вектора находят по теореме косинусов. Если число складываемых векторов равно трем и более, в том числе и при суммировании бесконечно малых векторов
, то находят проекции результирующего вектора
на координатные оси
, проецируя на эти оси каждый из суммируемых векторов. В этом случае модуль результирующего вектора определяют с помощью теоремы Пифагора:
. Оси направляют таким образом, чтобы удобно было записывать проекции
, т. Е. чтобы были известны углы, образованные векторами
с осями координат. Либо одну из осей проводят по предполагаемому направлению результирующего вектора
, которое можно определить, используя симметрию в расположении зарядов, если таковая имеется.
5. Потенциал электростатического поля в исследуемой точке находят также с помощью принципа суперпозиции:
, (3)
алгебраически суммируя потенциалы, которые создаются в данной точке заряженными телами, в том числе, точечными зарядами
или бесконечно малыми точечными зарядами
. При этом суммировании знаки потенциалов
равны знакам соответствующих
-тых зарядов, в частности, отрицательный заряд создает в точке
электростатическое поле с отрицательным значением потенциала.
Задача 4. Два точечных заряда и
расположены в двух вершинах равностороннего треугольника со стороной
. Определите напряженность
электростатического поля и его потенциал в точке А, находящейся в третьей вершине.
|
|
![]() |
![]() Рис. 11 |
Расположение зарядов относительно точки
показано на рис. 11.
1) Для расчета напряженности используем принцип суперпозиции ЭСП в виде:
(1)
где и
– напряженности полей, создаваемых в точке
зарядами
соответственно.
Чтобы определить направление складываемых векторов, в точку мысленно помещаем пробный заряд
и рассматриваем действующие на него силы: первый заряд
отталкивает заряд
силой
, направленной по линии соединяющей заряды
, а второй – отрицательный заряд
притягивает к себе положительный заряд
силой
, также направленной по линии, соединяющей заряды
. Напряженность поля, создаваемого i-тым зарядом,
, т. е. совпадает по направлению с соответствующей силой.
Модуль результирующего вектора можно найти любым из двух способов: а) по теореме косинусов:
, (2)
где напряженности ЭСП, создаваемого точечными зарядами в точке
, находящейся на расстоянии
от каждого заряда:
; (3)
б) по проекциям принципа суперпозиции (1) на координатные оси :
; (4)
(5)
Ось направляем вдоль вектора
, при этом вектор
образует известные углы
с осями
(см. рис. 11). Следовательно, проекции результирующего вектора
:
, – на координатные оси
, будут определяться выражениями:
В результате
(6)
Подставим формулы (3) для напряженностей в выражение (6) и, вынося одинаковый сомножитель
за скобки и из радикала, получим следующую расчетную формулу величины
:
(7)
Вычисляем по формуле (7) напряженность электростатического поля в точке , заметив, что при этом нужно подставлять модуль отрицательного заряда
, поскольку знак его уже учтен в направлении вектора
:
.
2) Расчет потенциала в точке
электростатического поля выполняем, используя принцип суперпозиции:
, (8)
где потенциалы ЭСП, созданного точечными зарядами в точке
, находящейся на расстоянии
от каждого заряда, определяются следующими формулами:
(9)
С учетом этих формул равенство (8) запишется в виде:
(10)
В полученной расчетной формуле каждый заряд записывается с его знаком, так как только в этом случае получим алгебраическую сумму потенциалов полей, создаваемых отдельными зарядами. Вычислим потенциал в исследуемой точке электростатического поля по формуле (10):
.
Задача 5. Четыре точечных заряда ,
,
и
, расположены в вершинах квадрата со стороной
. Определите напряженность
электростатического поля и его потенциал
в точке
пересечения диагоналей квадрата.
Дано Решение
![]() ![]()
![]()
1) 2) |
![]() Рис. 12 |
Расположение зарядов в вершинах квадрата показано на рис. 12.
1) Для расчета напряженности вектора в точке
используем принцип суперпозиции электростатического поля в виде:
, (1)
где – напряженности полей, создаваемых в точке О зарядами
соответственно.
Для определения направления суммируемых векторов в исследуемую точку поля О мысленно помещаем пробный положительный заряд и рассматриваем действующие на него силы: каждая сила направлена по линии, соединяющей пробный заряд и заряд
и приложена к пробному заряду в точке
. При этом положительные заряды
отталкивают от себя
, а отрицательный заряд
притягивает к себе
. По направлениям этих сил
, действующих на пробный заряд, направлены соответствующие векторы напряженностей
(см. рис. 12).
Векторы, направленные по одной прямой (коллинеарные) складываем попарно:
; так как
, то модуль вектора
; (2)
; так как
, то модуль вектора
(3)
Учитывая эти равенства, принцип суперпозиции (1) перепишем в следующем виде:
(4)
Так как векторы взаимно перпендикулярны, то их складываем по правилу параллелограмма (треугольника); при этом модуль результирующего вектора определяем с помощью теоремы Пифагора:
С учетом формул (2) и (3) модуль напряженности ЭСП в точке
(5)
Напряженность ЭСП, создаваемого точечным зарядом :
(6)
где – расстояние от точечного заряда до точки
в ЭСП. Подставляя напряженности
согласно формуле (6) в равенство (5) и вынося одинаковый сомножитель
за скобки и из радикала, получим расчетную формулу для величины напряженности
в следующем виде:
(7)
Вычисляя по формуле (7) напряженность поля в точке , заметим, что при этом в формулу следует подставить модуль отрицательного заряда
, так как знак его уже учтен в изображении вектора
на рис. 12.
.
2) Рассчитываем потенциал электростатического поля в точке
с помощью принципа суперпозиции:
, (8)
где – потенциал поля, создаваемого точечным зарядом
в точке
, находящейся на расстоянии
от заряда:
. (9)
Подставляя формулы (9) в равенство (8), получаем следующую расчетную формулу для потенциала ЭСП в точке :
(10)
Здесь заряды записываются с их знаками: так как отрицательный заряд создает поле с отрицательным потенциалом, то
. Вычисляем потенциал точки
электростатического поля по формуле (10):
.
Задача 6. В вершинах правильного шестиугольника со стороной находятся четыре положительных и два отрицательных точечных заряда; все заряды имеют одинаковый модуль
. Определите напряженность
электростатического поля и потенциал
в центре шестиугольника при трех различных вариантах расположения этих зарядов.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() |
![]() Рис. 13 |
Для расчета в центре шестиугольника (в точке ) напряженности
электростатического поля, создаваемого системой из шести точечных зарядов, используем принцип суперпозиции:
, (1)
где – вектор напряженности поля, создаваемого в точке
i-тым зарядом (
; индекс вектора
совпадает с индексом заряда
.
Чтобы определить направления суммируемых векторов, в точку мысленно поместим пробный положительный заряд
и покажем направления действующих на него сил со стороны i-тых зарядов: все силы направлены вдоль линий, соединяющих пробный заряд
с зарядом
. При этом положительные заряды
отталкивают от себя пробный заряд, а отрицательные
– притягивают к себе
. По направлениям сил
, действующих на пробный заряд, направлены соответствующие векторы напряженности
(рис. 13).
Векторы, направленные вдоль одной прямой (коллинеарные), складываем попарно, учитывая, что модули всех векторов одинаковы:
. (2)
С учетом направления векторов в точке
(см. рис. 13), перепишем равенство (1) в виде:
. (1а)
Так как вектор , то их сумма
; сумма сонаправленных векторов:
, и
.
С учетом этих соотношений принцип суперпозиции (1а) перепишем в следующем виде:
. (3)
Векторы складываем по правилу параллелограмма (треугольника). Так как диагонали шестиугольника разделяют его площадь на равносторонние треугольники, то по рис. 13 видно, что
. Тогда результирующий вектор напряженности ЭСП в точке
.
С учетом формулы (2) модуль этого вектора
. (4)
Вычисляем напряженность ЭСП в исследуемой точке :
.
Потенциал электростатического поля в точке определяется по принципу суперпозиции как алгебраическая сумма потенциалов полей, создаваемых шестью точечными зарядами:
, (5)
где – потенциал поля, создаваемого точечным зарядом
в точке
, находящейся на расстоянии
от заряда; он определяется следующей формулой:
.
Поскольку все заряды одинаковы по модулю и находятся на одинаковом расстоянии от исследуемой точки поля
, то слагаемые в уравнении (5) различаются только знаком; при этом, согласно условию задачи, имеем
;
.
В соответствии с уравнением (5) сумма этих потенциалов
(6)
Величина , определяемая уравнением (6), не изменяется при любом варианте размещения данных зарядов в вершинах шестиугольника.
Вычисляем потенциал электростатического поля в точке :
.
![]()
Рис. 14 |
|
, (7)
где модуль напряженности , – в соответствии с формулой (2).
Модуль результирующего вектора определяем из треугольника на рис. 14 по теореме косинусов, в соответствии с уравнением (7):
(8)
Сравнивая формулы (8) и (4), отмечаем, что в данном варианте размещения зарядов напряженность в раз больше, чем в первом случае:
.
![]() Рис. 15 |
|
В последнем уравнении векторы, заключенные в скобки, равны по модулю и противоположны по направлению; следовательно, их сумма равна нулю. Соответственно, и результирующий вектор , так как поля, созданные зарядами одинакового знака, в точке
взаимно компенсируются.
Задача 7. Электростатическое поле создается нитью длиной , несущей заряд
, равномерно распределенный по длине нити. Определите напряженность
и потенциал
в точке
, лежащей на продолжении нити на расстоянии
от ближайшего ее конца.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() Рис. 16 |
1) Размер заряженного тела – длина нити , соизмерим с расстоянием
от нити до исследуемой точки поля
, следовательно, заряд нити не является точечным. В таких случаях мысленно разделяют заряд нити на элементарные заряды
и суммируют создаваемые ими в точке
поля напряженностью
(рис. 16).
Чтобы определить направление векторов в точке
, мысленно поместим в эту точку пробный положительный заряд
и покажем векторы сил
, действующих со стороны элементарных зарядов нити
на пробный заряд. Векторы
направлены по линии, соединяющей заряды
, а векторы
, следовательно, все бесконечно малые векторы напряженности
полей элементарных зарядов нити
направлены вдоль оси
, т. е. параллельны друг другу.
Результирующий вектор , согласно принципу суперпозиции:
, (1)
в этом случае направлен вдоль оси , а его модуль равен сумме модулей складываемых векторов:
, (2)
где напряженность поля , создаваемого точечным зарядом
, который находится на участке бесконечно малой длиной
, определяется формулой
(3)
Здесь величина заряда , где
– линейная плотность заряда нити;
– расстояние от заряда
до исследуемой точки поля
.
Подставим формулу (3) в уравнение принципа суперпозиции (2), заменяя элемент длины участка нити равной ему величиной
, – бесконечно малым приращением переменной
. Определим пределы интегрирования по этой переменной. В уравнении (2) суммируются поля напряженностью
всех элементарных зарядов нити
, начиная с расположенного на расстоянии
от точки поля
и заканчивая зарядом, находящимся на другом конце нити, – на расстоянии
от исследуемой точки. Проинтегрируем в указанных пределах:
;
. (4)
Проверим полученную расчетную формулу путем экстраполяции зависимости (4): увеличим расстояние от конца нити до точки
так, чтобы
; при этом условии заряженную нить можно принять за точечный заряд, а в формуле (4) полагать расстояние
, вследствие малости второго слагаемого. Таким образом, из формулы (4) получаем величину
, равную напряженности поля, создаваемого точечным зарядом
в точке поля, находящейся на расстоянии
от заряда. Следовательно, полученная формула (4) верна.
Вычисляем напряженность поля нити в точке по формуле (4):
.
2) Рассчитаем потенциал электростатического поля в точке
, используя принцип суперпозиции: суммируя бесконечно малые величины потенциала
полей, создаваемых элементарными зарядами
:
;
(5)
Полученную формулу (5) также проверим на предельный случай точечного заряда: нить на расстоянии ; при этом используем формулу приближенных вычислений
, так как
. Подставляя это значение логарифма в выражение (5) получаем формулу в виде
– как для потенциала поля, созданного точечным зарядом
. Следовательно, полученная формула (5) верна.
Вычисляем по формуле (5) потенциал поля в заданной точке :
.
Задача 8. Электростатическое поле создается нитью длиной , с зарядом
, равномерно распределенным по длине. Определите напряженность
и потенциал
поля в точке
(рис. 17), находящейся на расстоянии
от нити и равноудаленной от ее концов.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
1) Заряд , находящийся на нити, не является точечным, так как расстояние от заряда до точки
соизмеримо с длиной заряженной нити. Поэтому мысленно разбиваем заряд нити на бесконечно малые заряды
, каждый из которых создает в точке
поле напряженностью
. Направление вектора
определяем, как обычно, помещая в точку
пробный положительный заряд
; на него со стороны заряда
будет действовать сила отталкивания
, направленная вдоль линии, соединяющей заряды
и
, а вектор
Вектор напряженности электростатического поля в точке
найдем по принципу суперпозиции, суммируя векторы
от всех зарядов
, расположенных на нити:
. (1)
Векторы ориентированы различно, образуя «веер» векторов, лежащих в плоскости
. Для сложения этих векторов разложим каждый на составляющие по осям
:
(2)
С учетом последнего равенства уравнение (1) перепишем в виде:
(3)
Здесь проекции вектора находим из треугольника (см. рис. 17):
(4)
Подстановка формул (4) в уравнение (3) дает следующее равенство:
(5)
В подинтегральных выражениях уравнения (5) содержатся три переменных: расстояние , заряд
и угол
. Перейдем к одной переменной – к углу
. Заряд
, где
– линейная плотность заряда нити;
– элемент длины нити. Для двух малых треугольников (см. рис. 17) приравняем общую сторону:
.
Здесь и в равенстве (5) расстояние от точечного заряда
до точки
:
.
Заменим переменные в подинтегральных выражениях, преобразуя уравнение (5), и выполним интегрирование:
, (6)
где .
Первый интеграл в выражении (5), равный , обращается в нуль, так как составляющие
от зарядов
правой части нити компенсируются векторами
от симметрично расположенных зарядов
левой части нити. В результате результирующий вектор
⇈
, т. е. вектор напряженности поля в точке
направлен вдоль оси
перпендикулярно нити. Модуль вектора напряженности найдем, подставляя в уравнение (6) значение
:
(7)
Проверим полученную расчетную формулу (7) на следующие предельные случаи:
а) При (расстояние до точки
велико по сравнению с размером нити, поэтому заряд нити можно считать точечным) в формуле (7)
. Тогда
; получена формула напряженности поля, создаваемого точечным зарядом
, следовательно, формула (7) верна.
б) При (точка
вблизи нити, которую в этом случае можно считать достаточно длинной) в формуле (7)
. Тогда
. Эта формула совпадает с формулой для напряженности поля длинной нити, выведенной с помощью теоремы Гаусса (см. раздел «Теоретическая часть», формула (12)). Следовательно, полученная расчетная формула (7) справедлива и в этом приближении.
Вычисляем напряженность ЭСП в точке по формуле (7):
.
2) Определим потенциал электростатического поля в точке
, используя принцип суперпозиции: суммируя бесконечно малые величины потенциала
полей, которые создаются элементарными зарядами
:
. (8)
По таблице интегралов находим
.
Рассчитываем величину потенциала по формуле (8):
. (9)
Определим угол , для которого
(см. рис. 17):
;
; тогда
.
Вычисляем потенциал ЭСП в исследуемой точке по формуле (9):
.
Задача 9. Электростатическое поле создается нитью длиной , имеющей форму полукольца и несущей заряд
, равномерно распределенный по длине нити. Определите напряженность
электростатического поля и потенциал
в точке
в центре полукольца.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
1) Заряд, распределенный по полукольцу, находится от точки на расстоянии
– радиусу полукольца, и не является точечным, так как размер заряженной нити
. Поэтому мысленно разобьем весь заряд тела на элементарные заряды
и просуммируем создаваемые ими поля напряженностью
. Заряженное полукольцо имеет ось симметрии – ось
, поэтому целесообразно рассмотреть векторы напряженности полей
, создаваемые симметрично расположенными элементарными зарядами
соответственно (рис. 18).
Чтобы определить направление векторов , достаточно в точку
мысленно поместить пробный положительный заряд
и показать вектор силы
, которой элементарный положительный заряд
отталкивает пробный заряд (вектор
направлен вдоль линии, соединяющей взаимодействующие заряды). Вектор напряженности
, т. е. совпадает по направлению с силой
. Все элементарные заряды полукольца создают «веер» векторов
, расположенный в плоскости
.
Запишем принцип суперпозиции для напряженности ЭСП в точке О:
. (1)
Каждый бесконечно малый вектор разложим по координатным осям
:
, – при этом уравнение (1) перепишем в виде:
. (2)
Для симметрично расположенных зарядов по рис. 18 видно, что вектор
, а модули их одинаковы, следовательно, их сумма равна нулю. Таким образом, все векторы
, создаваемые элементарными зарядами правой части полукольца, будут скомпенсированы векторами
от зарядов левой части полукольца. В результате первый интеграл в уравнении (2) обращается в нуль; подтвердим это расчетом.
Модули векторов , необходимые для расчета
, определим из треугольников (см. рис. 18):
. (3)
С учетом формул (3) принцип суперпозиции (2) преобразуется к виду:
. (4)
В подинтегральном выражении равенства (4) содержатся две переменные: угол и дифференциал заряда
. В таком случае переходят к одной переменной, обычно к углу
, записывая элементарный заряд
, (5)
где – линейная плотность заряда нити;
, – элемент длины полукольца, радиус которого
.
Подставим величину , определяемую формулой (5), в подинтегральные выражения уравнения (4), вынесем постоянные величины
за знак интегралов, и вычислим интегралы:
(6)
Согласно полученному выражению (6), составляющая вектора напряженности по оси :
, – что и показывала взаимная компенсация векторов
. В результате вектор напряженности поля в точке
сонаправлен орту оси
:
, – т. е. вектор
направлен вдоль оси
(см. рис. 18). Модуль вектора напряженности
(7)
Вычисляем: .
2) Определяем потенциал точки электростатического поля, созданного заряженным полукольцом, суммируя бесконечно малые величины
полей элементарных зарядов
:
(8)
Вычисляем потенциал ЭСП в исследуемой точке :
.
Задача 10. Тонкое кольцо радиусом , несет равномерно распределенный по длине заряд
. Определите напряженность
электростатического поля и его потенциал
в точке
, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние
.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]()
Рис. 19 |
1) Размеры заряженного кольца соизмеримы с расстоянием от кольца до точки , поэтому заряд кольца не является точечным. Следовательно, как и в предыдущих задачах, мысленно разобьем весь заряд кольца на элементарные заряды
и сложим создаваемые ими поля напряженностью
, используя принцип суперпозиции:
(1)
Для определения направления векторов , как обычно, в исследуемую точку поля
мысленно помещаем пробный заряд
и показываем силу
, действующую на него со стороны заряда
. Сила
направлена вдоль линии, соединяющей заряд
с пробным, а вектор напряженности
(рис. 19). Так как заряженное кольцо имеет ось симметрии: ось
, – то покажем на рисунке и вектор
от заряда
, расположенного симметрично заряду
Векторы
от всех элементарных зарядов кольца образуют «конус векторов». Для их сложения разложим каждый вектор
на две составляющие:
, (2)
где – составляющая вектора
, направленная по оси
;
– составляющая, перпендикулярная вектору
. При подстановке величины
, согласно равенству (2), в уравнение (1) результирующий вектор
представится суммой двух интегралов:
. (3)
По рис. 19 видно, что вектор ; вследствие этого в уравнении (3) второй интеграл:
, – так как векторы
от диаметрально противолежащих элементов заряда
взаимно компенсируются. В результате, поскольку направления всех составляющих
одинаково: вдоль положительного направления оси
, – то модуль результирующего вектора напряженности в точке
равен сумме модулей
:
(4)
Здесь .
Вычисляем напряженность ЭСП кольца в точке по формуле (4):
.
2) Потенциал точки электростатического поля, созданного заряженным кольцом, определяем, суммируя бесконечно малые величины потенциала
полей элементарных зарядов
:
(5)
Вычисляем потенциал ЭСП в точке по формуле (5):
.
Задача 11. Электростатическое поле создано двумя бесконечно длинными нитями, скрещенными под прямым углом (рис. 20 а). Нити заряжены равномерно по длине с линейными плотностями и
. Для точки
, расположенной на расстояниях
и
от нитей (см. рис. 20 а), определите напряженность
электростатического поля, созданного нитями, и силу
, действующую на заряд
, помещенный в точку А.
Дано Решение
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() а б Рис. 20 |
1) Электрическое поле, созданное равномерно заряженной нитью, обладает осевой симметрией: силовые линии поля идут вдоль радиальных направлений (рис. 20 б). Напряженность такого ЭСП рассчитывается с помощью теоремы Гаусса и в точках, находящихся на расстоянии от нити, определяется формулой
, (1)
где – коэффициент пропорциональности;
– линейная плотность заряда нити.
Напряженность результирующего поля двух нитей в точке
находим по принципу суперпозиции:
, (2)
где и
– напряженности полей, создаваемых первой и второй нитью.
Направление этих векторов (см. рис. 20 б) можно определить двумя способами: 1) провести от каждой нити одну из радиальных силовых линий ЭСП данной нити, проходящую через точку , либо 2) как обычно, поместить в точку
пробный положительный заряд
и показать вектор силы
, действующей на этот заряд со стороны каждой нити; при этом вектор напряженности
. По рис. 20 б видно, что векторы
и
взаимно перпендикулярны, поэтому модуль результирующего вектора напряженности
находим по теореме Пифагора:
(3)
Подставляя в формулу (3) величины напряженности электрического поля каждой нити по формуле (1), получаем расчетную формулу напряженности данного электростатического поля в точке
:
. (4)
Вычисляем величину напряженности поля
.
2) Формулу для расчета силы, действующей на точечный заряд , находящийся в точке
данного ЭСП, получим из определительной формулы напряженности электрического поля:
. (5)
Так как заряд положительный, то направление силы
, согласно формуле (5), совпадает с направлением вектора напряженности поля в точке
(см. рис. 20 б). Вычисляем модуль силы:
.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 532.