Пусть струна в состоянии покоя лежит на оси Ох, натянутая силой Т. Мы будем считать, что
· колебания малы, что означает малость угла α между осью Ох и любой касательной к струне, причем малость достаточная, чтобы использовать приближение cos α ≈ 1;
· колебания происходят в одной плоскости;
· поперечные сечения колеблются перпендикулярно оси Ох;
· струна идеально гибкая. Это означает, что во все моменты времени сила натяжения направлена по касательной к струне.
Теорема
Поперечные колебания однородной струны описываются уравнением:
(11.1)
где — смещение в момент времени t от оси Ох поперечного сечения, абсцисса которого х,
(11.2)
Т— сила натяжения, — объемная плотность, S— площадь попе-речного сечения, — внешняя сила, приходящаяся на единицу объема и направленная перпендикулярно оси Ох.
Доказательство.
В плоскости колебаний расположим систему координат Ох U, в которой U есть величина смещения точек струны от оси Ох. В общем случае значение U будет различным для каждой точки х и для каж-дого момента времени t. Если зафиксировать t, то график функции U (х, t) даст изображение струны («фотографию») в этот момент вре-мени (рис. 11.1). Нашей целью является получение уравнения дви-жения для каждого малого кусочка струны.
Выделим мысленно кусочек струны, проектирующийся на бес-конечно малый участок оси Ох (рис. 11.2). Его масса будет равна:
(11.3)
Рис. 11.1 Рис. 11.2
где — объемная плотность, S(x)— площадь поперечного сечения, абсцисса которого х (следовательно S— это линейная плотность струны). Ускорение в направлении OUравно:
(11.4)
Займемся нахождением суммарной силы, действующей на рассматриваемый кусочек. Вследствие малости:
1. dx = dlcos = |т. к. cos ≈ 1| ≈ dl , то есть во время колебаний участки струны не растягиваются. Следовательно, сила натяжения не зависит от времени t.
2. Силы Т (х)и T(x +dx),приложенные к концам выделенного кусочка, направлены практически горизонтально. Эти силы должны уравновешиваться, так как в горизонтальном направлении этот кусочек не получает ускорения. Таким образом,Т(х) = T(x +dx),то есть сила натяжения не зависит от х.
3.
Спроектируем на ось OUсилу натяжения Т, приложенную к сечению с абсциссой х. Получим:
(11.5)
В соседнем сечении x +dxвертикальная составляющая отличается от F(x)и равна F(x+dx) = F(x) + dF(x). Из (11.4) находим:
поэтому
(11.6)
Предположим, что на струну действует также и внешняя сила с плотностью Р(х, t), перпендикулярная к оси Ох. Спроектируем все силы на ось OUи найдем их сумму:
Подставим выражение (11.6). Получим:
(11.7)
С помощью формул (11.3), (11.4), (11.7) составим уравнение движения кусочка:
Упростим это выражение. Разделим обе части на Sdx :
и введем обозначения:
(11.8)
Получим:
Теорема доказана.
Примечание.Когда рассматривают струну, то обычно имеют дело с линейной плотностью вместо объемной, и с линейной внешней нагрузкой (сила, приходящаяся на единицу длины). Между линей-ными и объемными величинами существует следующая связь:
В этом случае формулы (11.8) принимают вид:
(11.9)
Дата: 2018-09-13, просмотров: 711.