Приведение уравнений к каноническому виду

 

Дано уравнение:

                        (8.1)

Вычислим дискриминант

и решим уравнение:

                                            (8.2)

Получим один из трех случаев:

Если , то

Берем функции

находим

и составляем функции:

Тогда

Если , то

любая функция. Берем функции

 и  или

находим

и составляем функции:

Тогда

 

Если , то Берем функции , находим

и составляем:

Тогда

 
   

           

Решив получившееся уравнение, найдем функцию . Заменим  соответствующими функциями, получим окончательно .

Докажем справедливость всех трех утверждений.

1) Пусть .

(8.2) → получаем два решения: , ,

введем две функции:

из теоремы пункта 7 → эти функции удовлетворяют уравнению (7.4):

     (6.3), (6.5) →

(6.6) →  или                                              (а)

обозначим

(а) →

2) Пусть .                                                                                 (б)

(8.2) → получаем одно решение  введем функцию

Из теоремы пункта 7 → эта функция удовлетворяет уравнению (7.4):

                                                            (в)

(6.3) →                                                                           (г)

(б) →                                                      (д)

(4), (в) →                                                           (е)

(6.4), (д) →                            (ж)

(ж), (е) →                                                                       (з)

(6.6), (г), (з) →  или . Обозначим .

(з) →

3) Пусть .

(8.2) → получаем два комплексно-сопряженных решения:

введем две функции: ; из теоремы пункта 7 → эти функции удовлетворяют уравнению (7.4):

(6.3), (6.5) →  и .

(6.6) →  или                                 (и)

обозначим ,

(и) → .

Самостоятельная работа

 

Билет № 1

1. Привести к каноническому виду .

2. Преобразовать уравнение  перейдя к по-лярным координатам.

 

Билет № 2

1. Привести к каноническому виду .

2. Преобразовать уравнение , приняв за независимые переменные ,  и за новую функцию .

 

Билет № 3

1. Привести к каноническому виду

.

2. Преобразовать уравнение , приняв за новые не-зависимые переменные , и за новую функцию .

 

Билет № 4

1. Привести к каноническому виду

.

2. Преобразовать уравнение , перейдя к но-вым независимым переменным U, V, если , .

 

Билет № 5

1. Привести к каноническому виду .

2. Преобразовать уравнение , перейдя к новым независимым переменным U, V, если , .

 

Билет № 6

1. Привести к каноническому виду .

2. Преобразовать уравнение , перейдя к новым неза-висимым переменным U, V, U = y, .

 

Билет № 7

1. Привести к каноническому виду

.

2. Преобразовать выражение , перейдя к полярным координатам.

 

Билет № 8

1. Привести к каноническому виду .

2. Преобразовать уравнение , перейдя к новым неза-висимым переменным , .

 

Билет № 9

1. Привести к каноническому виду

.

2. Преобразовать уравнение , перейдя к новым независимым переменным , .

 

Билет № 10

1. Привести к каноническому виду .

2. Преобразовать выражение  к новым полярным коор-динатам.

Контрольная работа

 

Вариант № 1

1. Привести к каноническому виду дифференциальное урав-нение , где  = const.

2. Привести уравнение к каноническому виду в каждой из об-ластей, где сохраняется тип .

3. Принимая u и v за новые независимые переменные, преобразовать уравнение: , если  и .

4. Перейти к новым переменным u, v, w, где  в уравнении , если , , .

 

Вариант № 2

1. Привести к каноническому дифференциальное уравнение

.

2. Привести уравнение к каноническому виду в каждой из об-ластей, где сохраняется тип .

3. Преобразовать выражение: , полагая и .

4. Перейти к новым переменным u, v, w, где  в ура-внении , если , , .

 

Вариант № 3

1. Привести к каноническому дифференциальное уравнение

.

2. Привести уравнение к каноническому виду в каждой из об-ластей, где сохраняется тип .

3. Принимая  и  за новые независимые переменные, пре-образовать выражение:  если  и .

4. Перейти к новым переменным u, v, w, где  в урав-нении , если , , .

 

Вариант № 4

1. Привести к каноническому дифференциальное уравнение

.

2. Привести уравнение к каноническому виду в каждой из об-ластей, где сохраняется тип .

3. Принимая u и v за новые независимые переменные, преобра-зовать уравнение: , если  и .

4. Перейти к новым переменным u, v, w, где  в урав-нении , если , , .

 

Деформации и напряжения

 

Познакомимся с некоторыми понятиями из раздела физики, в котором изучаются упругие свойства твердых тел. Они нам понадо-бятся для вывода уравнений деформационных колебаний стержней и струн.

Рассмотрим ситуацию, когда возможны малые относительные смещения точек твердого тела. Предположим, что точка тела, которая имела координату х, смещается на величину U. Если бы смещение было одним и тем же для всех точек тела, мы получили бы просто параллельный перенос (трансляцию) тела. В этом случае не было бы деформаций тела. Поэтому мы предположим, что в соседней точке х + d х смещение немного отличается от U и равно U + dU.

Деформацией в точке х называется величина

                                         (9.1)

Когда направление dU совпадает с направлением dx, то мы име-ем либо деформацию растяжения при dU> 0, либо деформацию сжа-тия при dU< 0. А когда dU перпендикулярно dx, то мы имеем деформацию сдвига (рис. 9.1 и 9.2).

 

Рис. 9.1

 

                   Растяжение          Сдвиг

 

Рис. 9.2

 

В действительности возможны также любые промежуточные на-правления, и мы должны считать dU и dx векторами. В таком случае величина  устанавливает соотношение между двумя векторами и на-зывается тензором ранга, но нам нет необходимости входить в это общее рассмотрение.

Силы, которые производят эти деформации, называются растя-гивающими или сжимающими силами и силами сдвига. Напряжения, соответствующие этим видам сил, определяются как сила приходя-щаяся на единицу соответствующей площади.

                                         (9.2)

или, если сила распределена неравномерно по поверхности S, то

                                       (9.3)

Практика показывает, что при малых деформациях величины  и связаны законом Гука. А именно, для растяжения и сжатия:

                         (9.4)

для сдвига:

                               (9.5)

Коэффициенты Е и G называются соответственно модулем Юн-га и модулем сдвига. Их значения зависят от сорта материала, из ко-торого состоит твердое тело.

Если мы имеем тонкий стержень (или струну), то ввиду малости его поперечных сечений S внутренние силы напряжения распре-делены по любому сечению S практически равномерно. Поэтому

Итак, мы получили:

                     (9.6)

                                 (9.7)

 

Дата: 2018-09-13, просмотров: 13.