Различные физические процессы, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д., образуют круг вопросов математической физики. Многие задачи математической физики при-водят к дифференциальным уравнениям в частных производных.

Дифференциальное уравнение в частных производных — это уравнение, в котором искомая функция  от двух или бо-лее переменных находится под знаком производной.

Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, назы-вают порядком дифференциального уравнения.

Для частных производных приняты следующие обозначения:

 и т.д.

В задачах математической физики наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения второго порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка,

 линейные относительно старших производных

Все дифференциальные уравнения в частных производных вто-рого порядка имеют следующую общую запись:

где — искомая функция.

Уравнение называют линейным относительно старших произ-водных, если оно имеет вид:

              (6.1)

где А, В, С— функция от х, у или константы.

С помощью обратимой замены переменных

                      (6.2)

получим новое уравнение, эквивалентное исходному (6.1). Для этого производные по старым переменным выразим через производные по новым переменным.

Подставим эти значения в (6.1):

Перегруппируем члены:

где

Введем обозначения:

                                (6.3)

               (6.4)

                                (6.5)

Получим:

                         (6.6)

Классификация дифференциальных уравнений

Второго порядка

Выберем такие новые переменные (6.2), чтобы часть коэффи-циентов а (6.6) обратились в нуль. Тогда уравнение (6.6) примет про-стейший, или канонический вид.

Правые части выражений (6.3) и (6.5) схожи. Поэтому естест-венно заняться решением уравнения вида:

                                  (7.1)

Если мы найдем его решения , то, положив  и подставив эти функции соответственно в (6.3) и (6.5), мы получим , , что приведет к упрощению урав-нения (6.6). Покажем, что решение уравнения в частных производных (7.1) сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравне-ний.

Теорема

Следующие утверждения равносильны:

Обыкновенные дифференциальные уравнения: (7.2) имеют одно из решений: (7.3)

Функция  удовлетворяет уравнению (7.4)

Доказательство сверху вниз Дано: уравнения       (а) одно из которых имеет реше-ние:                         (б) Равенство (б) задает в неявном виде функцию , произ-водная которой равна:                             (в) (а) → (в) → В этом уравнении участвует функция . Это означает, что функция  удовлет-воряет этому уравнению.

Доказательство снизу вверх Дано: функция                 (а) удовлетворяющая уравнению          (б) (а) → составим равенство                         (в) где С1— произвольная посто-янная. (в) →  или (б) →  где        (г) В этом уравнении участвует функция у = у (х), определяемая равенством (в). Это означает, что равенство (в) является решением одного из уравнений (г). Тео-рема доказана.

Уравнение (7.2) называется уравнением характеристик, а реше-ние (7.3) — характеристикой уравнения (6.1). Знак дискриминанта определяет тип уравнения (6.1):

· если , то (6.1) — уравнение гиперболического типа;

· если , то (6.1) — уравнение параболического типа;

· если , то (6.1) — уравнение эллиптического типа.

Области на плоскости Оху, где , ,  называют со-ответственно областями гиперболичности, параболичности, эллип-тичности. Областью  служит линия (L), называемая линией па-раболического вырождения.

На плоскости Оху возможны два случая:

1. Во всех точках, кроме линии (L),  сохраняет знак. Тогда (6.1) есть уравнение гиперболического или эллиптического типа с линией вырождения (L).

2.  меняет знак при переходе через (L). В этом случае (6.1) называется уравнением смешанного типа.