Радиоактивность. Закон радиоактивного распада
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

  Радиоактивность – это самопроизвольное превращение некоторых ядер (радиоактивных) в другие ядра с испусканием излучения и элементарных частиц: -излучение, -излучение, -излучение. Различают естественную радиоактивность (ядер радиоактивных изотопов, существующих в природе) и искусственную (ядер, полученных в ядерных реакциях). Оба типа радиоактивных превращений описываются одинаковым законом, согласно которому число ядер , распавшихся за интервал времени , пропорционально времени  и числу  нераспавшихся ядер:

,                                            (12)

где  – постоянная радиоактивного распада (константа для данного радиоактивного вещества). Знак « » указывает, что величина , т. е., что число радиоактивных ядер уменьшатся при распаде.

  После разделения переменных в уравнении (12) и интегрирования получаем

.   (13)

Потенцируя равенство (13), получаем закон радиоактивного распада в следующем виде:

.                                          (14)

Здесь  – начальное число ядер (в момент времени );  – число нераспавшихся ядер в момент времени . Как следует из формулы (14), число ядер  уменьшается со временем по экспоненциальному закону.

  Интенсивность (скорость) радиоактивного распада определяется величиной : . Наряду с постоянной распада  для характеристики интенсивности распада используют две величины: период полураспада  и среднее время жизни  радиоактивного ядра.

  Период полураспада  – время, за которое распадается  ядер. Тогда оставшееся число ядер  и, согласно закону радиоактивного распада (13):

.                   (15)

  Среднее время жизни  радиоактивного ядра:

.                                                (16)

Активность радиоактивного вещества

  Активность  радиоактивного вещества (нуклида) – это скорость его распада, т. е. число распадов за время 1 с:

.                                              (17)

В СИ единица измерения активности – беккерель (Бк): . Кроме того, в ядерной физике используется внесистемная единица активности – кюри (Ки): .

  С учетом закона радиоактивного распада (12) формулу (17) для величины активности можно записать в следующем виде:

.                                                (18)

Таким образом, активность радиоактивного вещества в данный момент времени  пропорциональна числу ядер , не распавшихся к этому моменту времени.

Примеры решения задач

План решения задач по теме «Атомное ядро, энергия связи, энергия ядерной реакции»

  1. Обратите внимание на единицу энергии, которая используется для энергии связи  ядра в ядерной физике: 1 МэВ, – соответственно, единица удельной энергии связи .

  2. Чтобы получить энергию связи в мегаэлектрон-вольтах (при вычислении по формуле ), массы атомов из справочной таблицы берут в атомных единицах массы (а.е.м.). Учитывая, что , получим:

.

Так как , то

.

Последняя формула является наиболее удобной для вычисления энергии связи ядра и энергии ядерной реакции в единицах ; при этом дефект массы  выражают в  

  3. Отметим, что при вычислении дефекта массы ядра , а также разности масс  при расчете энергии ядерной реакции по формуле (10), следует брать массы атомов с указанием всех значащих цифр, приведенных в справочной таблице. Но полученные значения  и теплового эффекта ядерной реакции  следует округлять, как обычно, до 3-х значащих цифр (так как с такой точностью найдено число  в расчетной формуле).

  4. При вычислении энергии ядерной реакции по формуле (10):

знак величины  определяется знаком разности масс : если , т. е. , то энергия выделяется и величина ; если , то энергия ядерной реакции отрицательна – энергия поглощается в ходе реакции.

  Задача 40. Вычислите энергию связи  ядер атомов гелия  и алюминия и их  удельную  энергию  связи . Определите, какое ядро прочнее.

Дано ; ; ; .   Какое ядро прочнее? Решение   Определяем энергию связи ядра по формуле ,       (1)              где дефект массы при образовании ядра .  (2) Здесь  – масса атома водорода;  – масса атома;  – масса нейтрона;  – порядковый номер элемента в таблице Д.И. Менделеева;  – массовое число.

  1) Вычисляем для ядра атома гелия : .

Дефект массы – по формуле (2):

Энергия связи ядра гелия – по формуле (1):

.

Удельная  энергия  связи

.

  2) Аналогично вычисляем для ядра алюминия : .

Дефект массы – по формуле (2):

Энергия связи ядра гелия – по формуле (1):

.

Удельная  энергия  связи

.

  Определим, какое из этих двух ядер прочнее. Чтобы «развалить» ядро, достаточно отделить от него лишь один нуклон, – при этом образуется ядро другого атома, с массовым числом ( ). Меньшая энергия для этого процесса  потребуется ядру атома гелия, так как его удельная  энергия  связи .

  Задача 41. Определите энергию , которая выделяется при реакции

.

Дано ; ; ; . Решение   Определяем энергию ядерной реакции по формуле ,       (1)              где  – разность масс исходных ядер и ядер продуктов реакции: .        (2)

  Разность масс ядер в уравнении (2) равна разности масс соответствующих атомов , так как, согласно закону сохранения электрического заряда: , – сумма зарядовых чисел исходных ядер и продуктов реакции одинакова. Для данной в задаче реакции уравнение (2) запишем в следующем виде:

.                          (3)

По этой формуле вычисляем разность масс атомов:

.

Величина , т. е. ; следовательно,   и энергия выделяется. Энергию, которая выделяется при протекании реакции, вычисляем по формуле (1):

.

План решения задач по теме «Радиоактивность»

   1. Скорость распада и активность  радиоактивного вещества зависят от постоянной распада  данного вещества; ее находят, используя табличное значение периода полураспада  с помощью формулы

.                                                (1)

  2. Активность  радиоактивного вещества в данный момент времени  зависит также от концентрации нераспавшихся ядер , которую находят с помощью закона радиоактивного распада:

.                                            (2)

  3. Если необходимо найти число распавшихся ядер , то используют очевидное равенство для начального количества ядер в образце:

где  – число нераспавшихся ядер, оно определяется законом распада (2).

  Задача 42. Определите, какая доля радиоактивного изотопа йода
распадается в течение времени .

Дано Йод : ; . Решение   Доля распавшихся ядер – это отношение числа распавшихся ядер  к начальному числу ядер : . А закон радиоактивного распада дает число ядер  – оставшихся к моменту времени :

.                                           (1)

Так как , то запишем  и выразим долю:

.                                  (2)

С учетом закона радиоактивного распада (2) получаем формулу:

.                                               (3)

Здесь постоянная распада  и период полураспада  радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

.                                                 (4)

Подставляя величину  по формуле (4) в уравнение (3), получаем расчетную формулу в виде:

.

  Вычисляем по полученной формуле долю ядер, распавшихся к моменту времени :

. .

  Задача 43. Для образца радиоактивного изотопа иридия , начальная масса которого , определите число ядер , распавшихся в течение времени: 1) ; 2)  

Дано ; ; ; . Решение   Найдем начальное число атомов  в образце, содержащем число молей : ,                    (1) где  – масса и молярная масса иридия ;  – число Авогадро (число атомов в одном моле вещества).

  Закон радиоактивного распада ядер можно записать в двух формах:

1) В дифференциальной записи – для малого числа ядер , распавшихся за малое (по сравнению с периодом полураспада ) время :

.    (2)

Эту формулу закона можно применить для промежутка времени .

2) В интегральной форме – для времени распада, соизмеримого с величиной :

.                                              (3)

Здесь  – начальное число ядер (в момент времени );  – число нераспавшихся ядер в момент времени ;  – постоянная радиоактивного распада.

  Закон распада в форме (3) применим для промежутка времени . Так как число распавшихся ядер , то, с учетом закона (3):

.                          (4)

  В уравнениях (2) и (4) постоянная распада  и период полураспада  радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

.                                           (5)

С учетом формул (1) и (5) преобразуем уравнения (2) и (4) в следующие расчетные формулы:

.                                      (6)

.                                (7)

  Вычислим начальное число ядер в образце:

.

  Вычисляем по формуле (6) число ядер, распавшихся за время :

.

Полученное число , что подтверждает правомерность использования простой приближенной формулы (2) закона радиоактивного распада.

  По формуле (7) вычисляем число ядер, распавшихся за время :

Здесь использовали формулу для приближенного вычисления при :

.

  Задача 44. Активность  образца некоторого изотопа за время уменьшилась на 20%. Определите период полураспада   этого изотопа.

       Дано ; . ? Решение   В задаче дано относительное уменьшение активности образца: ,   (1)            

где  – активность образца в начальный момент времени ;  – активность того же образца в момент времени .     

  Активность радиоактивного вещества пропорциональна числу ядер, которые будут распадаться, т. е. числу  нераспавшихся ядер:

.                                  (2)

По закону радиоактивного распада число  нераспавшихся ядер

.                                             (3)

Следовательно, формула (2), с учетом закона (3), приводит к зависимости активности образца от времени  в виде:

.                           (4)

Подставляя зависимость (4) в формулу (1), получаем следующую формулу:

Логарифмируя, находим

.                     (5)

  Период полураспада  и постоянная распада  радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

.                                          (6)

Подставляя в последнюю формулу выражение (5), получаем расчетную формулу в следующем виде:

.

  Вычисляем период полураспада радиоактивного вещества:

.

  Задача 45. Определите массу образца радиоактивного изотопа актиния , имеющего активность  

Дано ; Решение   Активность  радиоактивного образца пропорциональна числу  нераспавшихся ядер в этом образце: ,                       (1) где  – постоянная распада данного вещества.

  Постоянная распада  и период полураспада  радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

.                                               (2)

Из формулы (1) выразим число ядер в образце и учтем выражение (2):

.                                 (3)

  Число ядер равно числу атомов изотопа актиния, поэтому можно найти число молей  радиоактивного вещества в образце по формуле:

,                                                 (4)

где  – число Авогадро (число атомов в одном моле вещества). С другой стороны, число молей вещества можно выразить через его массу  и молярную массу актиния :

.                                                 (5)

Приравнивая величину  по формулам (4) и (5) и учитывая равенство (3), получаем расчетную формулу массы образца:

.                                                 (6)

Здесь период полураспада следует выразить в секундах, так как единица активности .

  Вычисляем массу образца радиоактивного вещества по формуле (6):

.

  Задача 46. Счетчик -частиц, установленный вблизи образца радиоактивного изотопа, при первом измерении зарегистрировал  – частиц в минуту, а через время  – . Определите период полураспада изотопа .

Дано ; ; . Решение   В условии задачи дана скорость распада радиоактивного изотопа в два момента времени:  и . Скорость распада дает нам активность изотопа : .                              (1) Величина пропорциональна числу  нераспавшихся ядер в этом образце: .                 (2)

  Число  нераспавшихся ядер определяем по закону радиоактивного распада:

.                                             (3)

Заменяя в уравнении (3)  (в соответствии с формулами (2)), получаем соотношение активностей радиоактивного образца в виде:

.                                             (4)

  Здесь постоянная распада  связана с периодом полураспада  радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

.                                                (5)

Найдем величину  из уравнения (4) путем его логарифмирования:

.      (6)

Подставляя найденную величину  в формулу (5), получаем расчетную формулу периода полураспада :

.                                           (7)

  Вычисляем период полураспада  радиоактивного изотопа, заменяя отношение активностей образца (на основании формулы (1)), отношением измеренных счетчиком скоростей -распада ядер радиоактивного изотопа:

.

  Задача 47. Определите период полураспада изотопа , если известно, что из миллиона атомов  этого радиоактивного изотопа за каждую секунду распадаются ядра  атомов: .  

 

Дано ; . Решение   В условии задачи дана скорость распада радиоактивного изотопа, равная активности изотопа : .                                (1) Величина пропорциональна числу  нераспавшихся ядер в этом образце:

.                                                (2)

Приравнивая активности  образца в формулах (1) и (2), получаем выражение для определения постоянной  радиоактивного распада изотопа:

.                                                 (3)

  Период полураспада  и постоянная распада  радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:

.                                              (4)      

Подставляя в последнее равенство величину  по формуле (3), получаем расчетную формулу периода полураспада  радиоактивного изотопа:

.

  Вычисляем величину периода полураспада:

.

 

 

 


Дата: 2018-11-18, просмотров: 582.