Радиоактивность – это самопроизвольное превращение некоторых ядер (радиоактивных) в другие ядра с испусканием излучения и элементарных частиц: 
-излучение, 
-излучение, 
-излучение. Различают естественную радиоактивность (ядер радиоактивных изотопов, существующих в природе) и искусственную (ядер, полученных в ядерных реакциях). Оба типа радиоактивных превращений описываются одинаковым законом, согласно которому число ядер 
, распавшихся за интервал времени 
, пропорционально времени и числу 
нераспавшихся ядер:
, (12)
где 
– постоянная радиоактивного распада (константа для данного радиоактивного вещества). Знак « 
» указывает, что величина 
, т. е., что число радиоактивных ядер уменьшатся при распаде.
После разделения переменных в уравнении (12) и интегрирования получаем
. (13)
Потенцируя равенство (13), получаем закон радиоактивного распада в следующем виде:
. (14)
Здесь 
– начальное число ядер (в момент времени 
); 
– число нераспавшихся ядер в момент времени 
. Как следует из формулы (14), число ядер уменьшается со временем по экспоненциальному закону.
Интенсивность (скорость) радиоактивного распада определяется величиной : 
. Наряду с постоянной распада для характеристики интенсивности распада используют две величины: период полураспада 
и среднее время жизни 
радиоактивного ядра.
Период полураспада – время, за которое распадается 
ядер. Тогда оставшееся число ядер 
и, согласно закону радиоактивного распада (13):
. (15)
Среднее время жизни радиоактивного ядра:
. (16)
Активность радиоактивного вещества
Активность 
радиоактивного вещества (нуклида) – это скорость его распада, т. е. число распадов за время 1 с:
. (17)
В СИ единица измерения активности – беккерель (Бк): 
. Кроме того, в ядерной физике используется внесистемная единица активности – кюри (Ки): 
.
С учетом закона радиоактивного распада (12) формулу (17) для величины активности можно записать в следующем виде:
. (18)
Таким образом, активность радиоактивного вещества в данный момент времени пропорциональна числу ядер , не распавшихся к этому моменту времени.
Примеры решения задач
План решения задач по теме «Атомное ядро, энергия связи, энергия ядерной реакции»
1. Обратите внимание на единицу энергии, которая используется для энергии связи 
ядра в ядерной физике: 1 МэВ, – соответственно, единица удельной энергии связи 
.
2. Чтобы получить энергию связи в мегаэлектрон-вольтах (при вычислении по формуле 
), массы атомов из справочной таблицы берут в атомных единицах массы (а.е.м.). Учитывая, что 
, получим:
.
Так как 
, то
.
Последняя формула является наиболее удобной для вычисления энергии связи ядра и энергии ядерной реакции в единицах 
; при этом дефект массы 
выражают в 
3. Отметим, что при вычислении дефекта массы ядра , а также разности масс при расчете энергии ядерной реакции по формуле (10), следует брать массы атомов с указанием всех значащих цифр, приведенных в справочной таблице. Но полученные значения 
и теплового эффекта ядерной реакции 
следует округлять, как обычно, до 3-х значащих цифр (так как с такой точностью найдено число 
в расчетной формуле).
4. При вычислении энергии ядерной реакции по формуле (10):
; 
знак величины определяется знаком разности масс : если 
, т. е. 
, то энергия выделяется и величина 
; если 
, то энергия ядерной реакции отрицательна – энергия поглощается в ходе реакции.
Задача 40. Вычислите энергию связи ядер атомов гелия 
и алюминия 
и их удельную энергию связи 
. Определите, какое ядро прочнее.
Дано
 ;
 ;
 ;
 .
Какое ядро прочнее?
| Решение
Определяем энергию связи ядра по формуле
 , (1)
где дефект массы при образовании ядра
 . (2)
Здесь  – масса атома водорода;  – масса атома;  – масса нейтрона;  – порядковый номер элемента в таблице Д.И. Менделеева; – массовое число.
|
1) Вычисляем для ядра атома гелия : 
.
Дефект массы – по формуле (2):
Энергия связи ядра гелия – по формуле (1):
.
Удельная энергия связи
.
2) Аналогично вычисляем для ядра алюминия : 
.
Дефект массы – по формуле (2):
Энергия связи ядра гелия – по формуле (1):
.
Удельная энергия связи
.
Определим, какое из этих двух ядер прочнее. Чтобы «развалить» ядро, достаточно отделить от него лишь один нуклон, – при этом образуется ядро другого атома, с массовым числом ( 
). Меньшая энергия для этого процесса 
потребуется ядру атома гелия, так как его удельная энергия связи 
.
Задача 41. Определите энергию , которая выделяется при реакции
.
Дано
 ;
;
 ;
.
| Решение
Определяем энергию ядерной реакции по формуле
 , (1)
где – разность масс исходных ядер и ядер продуктов реакции:
 . (2)
|
Разность масс ядер в уравнении (2) равна разности масс соответствующих атомов 
, так как, согласно закону сохранения электрического заряда: 
, – сумма зарядовых чисел исходных ядер и продуктов реакции одинакова. Для данной в задаче реакции уравнение (2) запишем в следующем виде:
. (3)
По этой формуле вычисляем разность масс атомов:
.
Величина , т. е. ; следовательно, и энергия выделяется. Энергию, которая выделяется при протекании реакции, вычисляем по формуле (1):
.
План решения задач по теме «Радиоактивность»
1. Скорость распада и активность радиоактивного вещества зависят от постоянной распада данного вещества; ее находят, используя табличное значение периода полураспада с помощью формулы
. (1)
2. Активность радиоактивного вещества в данный момент времени зависит также от концентрации нераспавшихся ядер 
, которую находят с помощью закона радиоактивного распада:
. (2)
3. Если необходимо найти число распавшихся ядер 
, то используют очевидное равенство для начального количества ядер в образце:
где – число нераспавшихся ядер, оно определяется законом распада (2).
Задача 42. Определите, какая доля радиоактивного изотопа йода
распадается в течение времени 
.
Дано
Йод :  ;
 .
| Решение
Доля распавшихся ядер – это отношение числа распавшихся ядер к начальному числу ядер :  . А закон радиоактивного распада дает число ядер  – оставшихся к моменту времени :
|
. (1)
Так как 
, то запишем 
и выразим долю:
. (2)
С учетом закона радиоактивного распада (2) получаем формулу:
. (3)
Здесь постоянная распада и период полураспада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:
. (4)
Подставляя величину по формуле (4) в уравнение (3), получаем расчетную формулу в виде:
.
Вычисляем по полученной формуле долю ядер, распавшихся к моменту времени :
. 
.
Задача 43. Для образца радиоактивного изотопа иридия 
, начальная масса которого 
, определите число ядер , распавшихся в течение времени: 1) 
; 2) 
Дано
 ;
;
;
 .
| Решение
Найдем начальное число атомов в образце, содержащем число молей  :
 , (1)
где  – масса и молярная масса иридия  ;  – число Авогадро (число атомов в одном моле вещества).
|
Закон радиоактивного распада ядер можно записать в двух формах:
1) В дифференциальной записи – для малого числа ядер 
, распавшихся за малое (по сравнению с периодом полураспада ) время 
:
. (2)
Эту формулу закона можно применить для промежутка времени 
.
2) В интегральной форме – для времени распада, соизмеримого с величиной :
. (3)
Здесь – начальное число ядер (в момент времени ); – число нераспавшихся ядер в момент времени ; – постоянная радиоактивного распада.
Закон распада в форме (3) применим для промежутка времени 
. Так как число распавшихся ядер 
, то, с учетом закона (3):
. (4)
В уравнениях (2) и (4) постоянная распада и период полураспада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:
. (5)
С учетом формул (1) и (5) преобразуем уравнения (2) и (4) в следующие расчетные формулы:
. (6)
. (7)
Вычислим начальное число ядер в образце:
.
Вычисляем по формуле (6) число ядер, распавшихся за время 
:
.
Полученное число 
, что подтверждает правомерность использования простой приближенной формулы (2) закона радиоактивного распада.
По формуле (7) вычисляем число ядер, распавшихся за время :
Здесь использовали формулу для приближенного вычисления при 
:
.
Задача 44. Активность образца некоторого изотопа за время 
уменьшилась на 20%. Определите период полураспада этого изотопа.
Дано
;
 .
 ?
| Решение
В задаче дано относительное уменьшение активности образца:
 , (1)
|
где 
– активность образца в начальный момент времени ; – активность того же образца в момент времени .
Активность радиоактивного вещества пропорциональна числу ядер, которые будут распадаться, т. е. числу нераспавшихся ядер:
. (2)
По закону радиоактивного распада число нераспавшихся ядер
. (3)
Следовательно, формула (2), с учетом закона (3), приводит к зависимости активности образца от времени в виде:
. (4)
Подставляя зависимость (4) в формулу (1), получаем следующую формулу:
Логарифмируя, находим
. (5)
Период полураспада и постоянная распада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:
. (6)
Подставляя в последнюю формулу выражение (5), получаем расчетную формулу в следующем виде:
.
Вычисляем период полураспада радиоактивного вещества:
.
Задача 45. Определите массу 
образца радиоактивного изотопа актиния 
, имеющего активность 
Дано
 ;
| Решение
Активность радиоактивного образца пропорциональна числу нераспавшихся ядер в этом образце:
, (1)
где – постоянная распада данного вещества.
|
Постоянная распада и период полураспада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:
. (2)
Из формулы (1) выразим число ядер в образце и учтем выражение (2):
. (3)
Число ядер равно числу атомов изотопа актиния, поэтому можно найти число молей 
радиоактивного вещества в образце по формуле:
, (4)
где – число Авогадро (число атомов в одном моле вещества). С другой стороны, число молей вещества можно выразить через его массу и молярную массу актиния 
:
. (5)
Приравнивая величину по формулам (4) и (5) и учитывая равенство (3), получаем расчетную формулу массы образца:
. (6)
Здесь период полураспада следует выразить в секундах, так как единица активности 
.
Вычисляем массу образца радиоактивного вещества по формуле (6):
.
Задача 46. Счетчик 
-частиц, установленный вблизи образца радиоактивного изотопа, при первом измерении зарегистрировал 
– частиц в минуту, а через время 
– 
. Определите период полураспада изотопа .
Дано
;
;
.
| Решение
В условии задачи дана скорость распада радиоактивного изотопа в два момента времени:  и . Скорость распада дает нам активность изотопа :
. (1)
Величина пропорциональна числу нераспавшихся ядер в этом образце:
. (2)
|
Число нераспавшихся ядер определяем по закону радиоактивного распада:
. (3)
Заменяя в уравнении (3) 
(в соответствии с формулами (2)), получаем соотношение активностей радиоактивного образца в виде:
. (4)
Здесь постоянная распада связана с периодом полураспада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:
. (5)
Найдем величину из уравнения (4) путем его логарифмирования:
. (6)
Подставляя найденную величину в формулу (5), получаем расчетную формулу периода полураспада :
. (7)
Вычисляем период полураспада радиоактивного изотопа, заменяя отношение активностей образца (на основании формулы (1)), отношением измеренных счетчиком скоростей -распада ядер радиоактивного изотопа:
.
Задача 47. Определите период полураспада изотопа , если известно, что из миллиона атомов 
этого радиоактивного изотопа за каждую секунду распадаются ядра 
атомов: 
.
Дано
 ;
.
| Решение
В условии задачи дана скорость распада радиоактивного изотопа, равная активности изотопа :
. (1)
Величина пропорциональна числу нераспавшихся ядер в этом образце:
|
. (2)
Приравнивая активности образца в формулах (1) и (2), получаем выражение для определения постоянной радиоактивного распада изотопа:
. (3)
Период полураспада и постоянная распада радиоактивного вещества связаны следующим соотношением:
. (4)
Подставляя в последнее равенство величину по формуле (3), получаем расчетную формулу периода полураспада радиоактивного изотопа:
.
Вычисляем величину периода полураспада:
.
Дата: 2018-11-18, просмотров: 628.
