Соотношение неопределенностей
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

  В классической механике частица движется по определенной траектории; при этом в любой момент времени можно точно определить ее координаты  и импульс  (проекции ).

  В микромире, который описывает квантовая механика, благодаря волновым свойствам частиц, проявляются ограничения для некоторых величин (см. далее п. 1, 1а и 2).

  1) Соотношение неопределенностей Гейзенберга: микрочастица (например, электрон) не может одновременно иметь точные значения двух величин: координаты  – соответствующей проекции импульса, (а также ; ). Неопределенности этих величин связаны следующими соотношениями:

                   (12)

Таким образом, произведение неопределенности координаты  и неопределенности проекции импульса  не может быть меньше, чем , т. е. при увеличении  уменьшается .

То, что это обусловлено волновыми свойствами частиц, видно из опыта по дифракции пучка электронов на щели шириной  (рис. 50).


.
 
экран
 

 

Рис. 50

 

  До щели электрон имел импульс  – точное значение в параллельном пучке электронов, т. е. . Но при этом координата  электрона в пучке была любая:  (точнее .

  После щели стала известна координата электрона, прошедшего щель: ) (см. рис. 50), где , т. е. с точностью до ширины щели . Но на экране, по графику распределения интенсивности  пучка электронов, видим дифракционное расхождение пучка, так как появилась составляющая импульса .  Приравнивая значение  (по треугольнику на рисунке) и по условию первого дифракционного минимума на щели: , где  – длина волны электрона, получаем соотношение неопределенностей – .

      1а) Неопределенность импульса частицы  проявляется в неопределенности скорости частицы  . Оценим минимальную неопределенность скорости частиц:

.                                             (13)

 Для пылинки массой , координата которой известна с неопределенностью , величина ; такая неопределенность незаметна, так как даже для малой скорости  величина .

  Из формулы (13) следует, что неопределенность  растет с уменьшением массы частицы и для электрона ( ) величина . Так, для электронного луча, толщиной , распространяющегося вдоль оси , величина ; эта поперечная лучу скорость . Следовательно, траектория электрона в пучке (его трек) – это линия, параллельная оси , она не размывается из-за волновых свойств электрона.

  Иначе ведет себя электрон в атоме, где неопределенность координаты . Для такого электрона , а его скорость, например, в атоме водорода, , т. е. . Поскольку вектор , то траектория электрона в атоме не имеет определенной формы, она не является замкнутой линией.

  2) Соотношение неопределенностей для энергии и времени:

                                         (14)

где  – неопределенность энергии какого-либо состояния частицы с энергией ;  – время существования этого энергетического состояния, или время жизни системы с энергией .

  Атом в основном состоянии существует сколь угодно долго: , - поэтому  (энергетический уровень основного состояния узкий). Но в возбужденном состоянии время жизни атома ; тогда по формуле (14) получаем  – это ширина размытого возбужденного уровня энергии. В результате энергия фотона, излучаемого при переходе электрона с такого уровня, имеет неопределенность

.                      (15)

Эта, так называемая, естественная ширина спектральной линии  – частоты  линий оптических спектров. Так как длина волны , то, дифференцируя, имеем ; принимая, что  и , получаем соотношение . Такова монохроматичность  спектральной линии. По величине  линии спектра, используя формулу (15), можно определить  – время жизни атома в возбужденном состоянии.


Примеры решения задач

План решения задач по теме «Теория атома водорода по Бору»

  1. Следует обратить внимание, что созданная Бором теория атома водорода – первая квантовая теория атома, согласно которой электрон в атоме может находиться только в определенных стационарных состояниях. Параметры электрона в атоме: радиус круговой орбиты, скорость и его момент импульса, период обращения, энергия электрона, – имеют в этих состояниях дискретные значения, которые определяются главным квантовым числом  (номер орбиты). Эта зависимость отражается индексом величин: .

  2. По мере увеличения номера орбиты  ее радиус увеличивается , а скорость электрона уменьшается ; в результате период обращения растет , возрастает момент импульса электрона  и увеличивается его энергия .

  3. Порядок величин параметров электрона в атоме водорода можно оценить по указанным зависимостям и значениям величин для основного состояния . В этом состоянии радиус орбиты , скорость электрона , период обращения , момент импульса , и полная энергия электрона

  Задача 30. Для электрона, находящегося на первой орбите ( ) атома водорода, определите радиус орбиты , момент импульса электрона  и его скорость .

Дано Электрон в атоме : . Решение   По теории Бора электрон в атоме водорода движется по окружности радиусом . На орбите электрон удерживается кулоновской силой  притяжения к ядру, имеющему положительный заряд. Эта сила создает нормальное (центростремительное) ускорение, которое, в соответствии со вторым законом Ньютона:

.                              (1)  

Здесь  – масса и скорость электрона;  – заряд электрона и ядра ( );  – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

  В уравнении (1) две неизвестные величины: . Другое уравнение, которое также содержит эти величины, – первый постулат Бора, определяющий условие квантования момента импульса электрона:

.                                          (2)

Здесь  – радиус  стационарной орбиты;  – главное квантовое число;  – постоянная Планка.

Выразим из уравнения (2) скорость электрона:

                                            (3)

Подставим это значение скорости  в уравнение (1) и определим из него радиус  орбиты электрона:

                         (4)

Полученную формулу представим в следующем виде:

,                                           (5) 

где  – первый боровский радиус.

Вычисляем величину радиуса первой орбиты электрона в атоме водорода:

.

  Момент импульса электрона  вычисляем по уравнению (2) первого постулата Бора:

.

  Скорость электрона на первой орбите в атоме водорода определим по величине момента импульса электрона (согласно уравнению (3)):

.                       (6)

Вычисляем скорость электрона на первой орбите в атоме водорода:

.

  Задача 31. Для электрона, находящегося на третьей орбите ( ) атома водорода, определите радиус орбиты , скорость электрона на этой орбите  и период его обращения .

Дано Электрон в атоме : . Решение   Запишем второй закон Ньютона для движения электрона по окружности радиусом  вокруг ядра атома водорода, заряд которого  (рис. 51). Сила Кулона  направлена по радиусу окружности к ее центру и является центростремительной, поэтому уравнение закона Ньютона запишем в проекции на нормаль к траектории:

.                              (1)    

Здесь  – масса и скорость электрона;  – заряд электрона и ядра;  – кулоновская постоянная в системе единиц СИ.

 
 

Рис. 51

  Так как уравнение (1) содержит две неизвестные величины: скорость  движения электрона и радиус его орбиты , – то используем еще одно уравнение, которое связывает эти величины, – первый постулат Бора (условие квантования момента импульса электрона):  .       (2) Выразим скорость электрона из уравнения (2), подставим ее значение в уравнение (1), и определим из него радиус  стационарной орбиты :

.            (3)      

  Формулу (3) представим в следующем виде:

                   (4)

Здесь – первый боровский радиус (согласно формуле (4) ). Вычисляем радиус  третьей боровской орбиты электрона в атоме водорода:

.

  Вычисляем скорость электрона на третьей орбите, используя первый постулат Бора, по формуле (3):

.

  Период обращения  электрона на  орбите: время одного оборота, – определим по формуле пути  для равномерного движения  электрона со скорость :

      (5)

Формулу (5) представим в следующем виде:

,                                               (6)

, – период обращения электрона на первой орбите.

Вычисляем период обращения электрона на третьей боровской орбите атома водорода по формуле (6):

.

Полученная величина периода обращения  показывает, что число оборотов в одну секунду, которое совершает электрон при движении в поле ядра атома водорода: .

  Задача 32. Для атома водорода определите 1) полную энергию электрона на орбитах с главным квантовым числом   и 2) длину волны λ фотона, излучаемого при переходе электрона с шестого энергетического уровня на первый – в серии Лаймана (ультрафиолетовой).

Дано Электрон в атоме : ; . Решение   Полная энергия  электрона в атоме водорода (и в любом другом атоме) равна сумме кинетической энергии  электрона и потенциальной энергии его взаимодействия с зарядом ядра : . Таким образом, величина полной энергии  атома водорода в состоянии с главным квантовым числом

.                                (1) 

Здесь  – масса электрона и его скорость на  орбите;  – кулоновская постоянная в системе единиц СИ;  – заряд электрона и ядра ;  – радиус орбиты с номером .

  Скорость электрона определим из закона динамики движения по круговой орбите (из второго закона Ньютона, записанного в проекции на нормаль):

.                            (2)

  Подставим найденное значение  в формулу энергии электрона (1):

                               (3)

Сравнивая уравнения (1) и (3), отметим соотношение энергий электрона, движущегося в атоме водорода:

1) потенциальная энергия ;

2) кинетическая энергия .

Полная энергия  электрона в атоме отрицательна; это означает, что электрон находится в связанном состоянии благодаря электростатическому взаимодействию с заряженным ядром атома. 

  Для получения расчетной формулы полной энергии электрона  в формулу (3) подставим значение радиуса орбиты ; при этом энергия электрона в состоянии с главным квантовым числом

                        (4)

где  – энергия электрона в состоянии с квантовым числом  (одна из искомых величин). Величина  является минимальной энергией, которой обладает атом водорода в основном состоянии ( ). Максимальная энергия (согласно формуле (4) ) соответствует ионизации атома путем отрыва электрона от ядра.

  Вычислим по формуле (4) энергию атома в возбужденном состоянии, соответствующем движению электрона по шестой стационарной орбите:

.

  Чтобы определить длину волны фотона, испускаемого при переходе электрона с 6-го энергетического уровня на 1-й, используем второй постулат Бора: при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается фотон с энергией, равной разности энергий электрона на этих орбитах:

                      (5)

Уравнение (5) дает следующую расчетную формулу длины волны излучаемого фотона:

                                              (6)

  Вычисляем по этой формуле длину волны спектральной линии, соответствующей переходу электрона в атоме водорода с 6-й стационарной орбиты на 1-ю (в основное состояние):

.

Это длина волны ультрафиолетового (УФ) излучения, так как величина .

План решения задач по теме «Элементы квантовой механики»

  1. Длина волны де Бройля для частиц вычисляется по формуле , где импульс частицы . Если известна кинетическая энергия частицы , то импульс выражают через энергию:  

Если заряженная частица (электрон, протон, -частица) ускорена электрическим полем, совершившим работу , то кинетическая энергия определяется величиной ускоряющей разности потенциалов . Привычную формулу классической механики  можно использовать для частиц, кинетическая энергия которых мала по сравнению с их энергией покоя : . Приведем значения энергии покоя некоторых частиц: для электрона ; для протона ; для -частицы .

  2. Длину волны де Бройля можно определить из дифракционного эксперимента, используя для параллельного пучка частиц такие же условия максимумов и минимумов дифракции, как и для потока фотонов видимого или рентгеновского излучения. Приведем эти формулы:

 1) для дифракции на щели: а) условие  – ;

                                            б) условие  – ;

 2) для дифракции на кристалле – формула Вульфа – Брэггов:

.

   3. Для микрочастиц, находящихся в ограниченной области пространства (в атоме, в ядре, в узкой потенциальной яме), характерна ненулевая минимальная кинетическая энергия: и ненулевое значение минимального импульса: , так как такая частица, согласно соотношению неопределенностей, не может иметь точные нулевые значения. Поскольку неопределенность координаты частицы , – определяется характерным размером области, то, используя соотношение , можно получить формулу, связывающую минимальную кинетическую энергию частицы с размером области: .

  Задача 33. Электрон движется со скоростью . Определите длину волны де Бройля  электрона, учитывая зависимость его массы от скорости.

     Дано Электрон: ; ; . Решение Длина волны де Бройля  свободно движущейся частицы определяется формулой: ,                  (1) где –  постоянная Планка;  – импульс частицы;  –  ее масса и скорость. При скоростях, сравнимых со скоростью света ,

масса частиц зависит от их скорости. Увеличение массы частицы в зависимости от ее скорости  описывается формулой специальной теории относительности:

 ,                                            (2)

где  –  масса покоя электрона;  –  скорость света в вакууме.

Подстановкой выражения (2) для массы электрона в формулу (1) получаем следующую расчетную формулу длины волны де Бройля релятивистского электрона:

                                          (3)

Вычисляем величину :

.

  Задача 34. Электрон прошел в электростатическом поле (ЭСП) ускоряющую разность потенциалов: 1) ; 2) . Определите длины волн де Бройля электрона при .

Дано Электрон: ; 1) ; 2) . Решение Длина волны де Бройля  свободно движущейся частицы определяется формулой:  ,                                (1) где –  постоянная Планка;  – импульс частицы;  – ее масса и скорость.

  Пройдя в ЭСП ускоряющую разность потенциалов , электрон приобрел кинетическую энергию , равную работе электрического поля:

.

Величина работы, совершенной полем, .

Приравнивая две последние формулы, определяем кинетическую энергию:

                      (2)

Вычисляем кинетическую энергию электрона для обоих случаев:

.

  Сравним найденные величины энергии с энергией покоя электрона

.

Отмечаем, что . Следовательно, электрон не является релятивистским и для его импульса и кинетической энергии справедливы формулы классической механики:

                            (3)

  Проверим, что это так, вычислив скорость электрона при  из равенства . Релятивистская поправка (множитель) в этом случае равна .

  Используя для кинетической энергии формулу (2), определяем по формуле (3) импульс электрона:

                         (4)    

Подстановкой полученной величины импульса электрона в формулу (1) получаем следующую расчетную формулу длины волны электрона:

                                              (5)

   Вычисляем по формуле (5):

.

Вычислим величину  следующим путем: согласно формуле (5)

.

  Задача 35. Параллельный пучок атомов водорода, падающий под углом скольжения  к поверхности монокристалла, дает дифракционный максимум 1-го порядка при отражении от плоскостей с межатомным расстоянием . Определите длину волны де Бройля  атомов водорода и их скорость .

Дано Атом : ; ; ; . Решение   Для дифракции на кристалле легких частиц: электронов, - частиц, протонов, нейтронов, атомов водорода и гелия и др., – справедлива формула Вульфа – Брэггов, полученная для дифракции рентгеновских лучей (потока фотонов):                         (1)   Осуществляя дифракцию атомов водорода на монокристалле с   известным расстоянием   

между атомными плоскостями, и измеряя угол скольжения  для максимума 1-го порядка, по формуле (1) определяем длину волны атомов водорода:

.

Эта величина  атомов водорода попадает в диапазон длин волн мягких рентгеновских лучей.

  Для определения скорости атомов водорода воспользуемся формулой длины волны де Бройля свободно движущейся частицы:

 ,                                 (2)

где –  постоянная Планка;  – импульс частицы;  – ее масса и скорость.

Из этой формулы получаем расчетную формулу скорости атомов водорода и вычисляем величину :

.

  Задача 36. Электрон, имеющий кинетическую энергию , находится в металлической пылинке диаметром . Оцените относительную неопределенность (точность) , с которой можно найти скорость электрона .

Дано Электрон: ; ; . Решение
   

Рис. 52

  Электрон, находящийся внутри пылинки, движется (так как имеет энергию ) в области, ограниченной диаметром  (рис. 52). При этом его координата  известна с точностью до размеров пылинки, причем,  (см. рис. 52). В таком случае проекция импульса электрона имеет неопределенность , величина которой следует из соотношения неопределенностей:

,                    (1)   

где –  постоянная Планка.

  Неопределенность проекции импульса приводит к неопределенности проекции скорости частицы :

        (2)

Используя формулу (1), определим неопределенность проекции скорости:

                                 (3)

  Чтобы найти относительную неопределенность скорости, найдем скорость электрона  из его кинетической энергии:

                       (4)

С помощью формул (3) и (4) получаем расчетную формулу точности определения скорости электрона, находящегося в пылинке:

              (5)

Здесь учтено, что величина  – диаметру пылинки.

  Вычисляем по формулу (5) отношение , показывающее точность определения скорости электрона:

; .

  Полученная неопределенность скорости электрона в пылинке мала по сравнению с таковой для атома водорода , где . Это объясняется соотношением размеров областей, где находится электрон, и определяющих неопределенность координаты ; оно таково: ; а произведение этих неопределенностей одинаково для данной частицы (электрона):

   Задача 37. Принимая, что минимальная энергия нуклона в ядре   и используя соотношение неопределенностей , оцените линейный размер ядра.

Дано Нуклон: ; ; . Решение   Нуклоном называют частицу, входящую в состав ядра – это и протон, и нейтрон. Размер ядра  определяет неопределенность координаты частицы . Эту неопределенность найдем по соотношению неопределенностей:

,                (1)

где  – неопределенность проекции импульса нуклона.

  Что известно об импульсе нуклона в ядре? В рамках капельной модели ядра нуклоны в нем колеблются (подобно колебаниям молекул в жидкости); при этом энергия нуклона, совершающего гармонические колебания, складывается из кинетической и потенциальной энергии частицы: . При прохождении нуклоном положения равновесия его потенциальная энергия , а кинетическая энергия ; соответственно

.                                            (2)

   Но кинетическая энергия частицы связана с ее импульсом формулой:

.      (3)             

С учетом равенства (2) получаем значение импульса нуклона:

                                       (3а)

Таким образом, импульс нуклона известен с неопределенностью

                                   (4)

  Подстановка этой величины  в формулу (1) дает расчетную формулу для оценки линейного размера  атомного ядра:

 .                                           (5)

Вычисляем величину

.

  Этот результат, полученный по соотношению неопределенностей, прекрасно согласуется с экспериментальной оценкой Резерфордом размера атомных ядер: , – по рассеянию альфа-частиц металлической фольгой.

  Задача 38. Время жизни возбужденного атома . С какой наименьшей погрешностью  может быть определена энергия фотона, излучаемого атомом?

Дано ; Решение   Возбужденные состояния атома короткоживущие и малое время жизни  приводит к заметной неопределенности  энергии такого состояния: согласно соотношению неопределенностей

 ,                             (1)

где  – время существования данного энергетического состояния.

Существование неопределенности  означает, что энергетический уровень такого состояния имеет ширину , т. е. является размытым (рис. 53).

энергетический уровень основного состояния (  
энергетический уровень возбужденного состояния (

Рис. 53

  Переходы электронов в различных атомах с размытого уровня, который занимает интервал энергий от  (см. рис. 53), сопровождается излучением фотонов с различной энергией – в соответствии со вторым постулатом Бора. При переходе электрона атома из одного стационарного состояния в другое (с меньшей энергией) излучается фотон, энергия которого  равна разности энергий соответствующих стационарных состояний:

а) при переходе электрона с нижней границы размытого уровня  на первый с энергией :

;                                          (2)

б) при переходе электрона с верхней границы размытого уровня, где энергия атома равна :

                               (3)

Вычитая уравнение (2) из 3-го, получаем наибольшую разность энергий фотонов , которая вносится размытием энергетического уровня возбужденного состояния атома:

                                     (4)

  Наибольшая разность энергий фотонов , излучаемых любыми двумя одинаковыми атомами при переходе электрона , – это и есть неопределенность энергии излучаемого фотона. Эта неопределенность, с учетом формулы (1):

                                              (5)

Оценим ее величину:

.

  Задача 39. Атом испустил фотон с длиной волны . Длительность излучения . Определите наибольшую точность , с которой может быть измерена длина волны излучения.

Дано ; . ? Решение   В соответствии с соотношением неопределенностей уровень энергии возбужденного состояния атома имеет ненулевую ширину : ,                 (1) где  – неопределенность энергии атома в возбужденном

состоянии, равная ширине размытого уровня энергии (см. рис. 53);  – время существования данного возбужденного состояния.

  При переходах электронов в различных атомах с разных по высоте точек, находящихся в зоне возбужденного уровня, излучаются фотоны с энергией, лежащей в интервале от , частота которых находится в области от , (см. рис. 53). Запишем формулу Планка для энергии этих фотонов:

;                                                 (2)

                                     (3)

  Оценим неопределенность  частоты излучаемых фотонов, вычитая уравнение (2) из уравнения (3):

                               (4)

Используя соотношение неопределенностей (1), определим ширину данной спектральной линии по шкале частот:

                                              (5)

  Относительная ширина спектральной линии

 .                  (6)

Вычисляем:   

  Покажем, что относительная ширина спектральной линии одинакова как по шкале частот, так и по длинам волн, т. е. . Так как, согласно сделанному выше расчету, , т. е. величина , то можно отождествить измеряемый разброс по частотам  с бесконечно малым приращением : . Дифференцируем формулу связи длины волны и частоты :

 .         (7)

  Следовательно, монохроматичность спектральной линии, или ее относительная ширина . Знак  в формуле (7) опущен, так как он указывает только на то, что с увеличением частоты света  убывает его длина волны .

 

 

Часть 4

ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА

Теоретическая часть

Дата: 2018-11-18, просмотров: 560.