В классической механике частица движется по определенной траектории; при этом в любой момент времени можно точно определить ее координаты 
и импульс 
(проекции 
).
В микромире, который описывает квантовая механика, благодаря волновым свойствам частиц, проявляются ограничения для некоторых величин (см. далее п. 1, 1а и 2).
1) Соотношение неопределенностей Гейзенберга: микрочастица (например, электрон) не может одновременно иметь точные значения двух величин: координаты 
– соответствующей проекции импульса, (а также 
; 
). Неопределенности этих величин связаны следующими соотношениями:
(12)
Таким образом, произведение неопределенности координаты 
и неопределенности проекции импульса 
не может быть меньше, чем 
, т. е. при увеличении уменьшается .
То, что это обусловлено волновыми свойствами частиц, видно из опыта по дифракции пучка электронов на щели шириной 
(рис. 50).
|
Рис. 50 |
.
До щели электрон имел импульс 
– точное значение в параллельном пучке электронов, т. е. 
. Но при этом координата 
электрона в пучке была любая: 
(точнее 
.
После щели стала известна координата электрона, прошедшего щель: 
) (см. рис. 50), где 
, т. е. с точностью до ширины щели . Но на экране, по графику распределения интенсивности 
пучка электронов, видим дифракционное расхождение пучка, так как появилась составляющая импульса 
. Приравнивая значение 
(по треугольнику на рисунке) и по условию первого дифракционного минимума на щели: 
, где 
– длина волны электрона, получаем соотношение неопределенностей – 
.
1а) Неопределенность импульса частицы 
проявляется в неопределенности скорости частицы 
. Оценим минимальную неопределенность скорости частиц:
. (13)
Для пылинки массой 
, координата которой известна с неопределенностью 
, величина 
; такая неопределенность незаметна, так как даже для малой скорости 
величина 
.
Из формулы (13) следует, что неопределенность 
растет с уменьшением массы частицы и для электрона ( 
) величина 
. Так, для электронного луча, толщиной 
, распространяющегося вдоль оси 
, величина 
; эта поперечная лучу скорость 
. Следовательно, траектория электрона в пучке (его трек) – это линия, параллельная оси , она не размывается из-за волновых свойств электрона.
Иначе ведет себя электрон в атоме, где неопределенность координаты 
. Для такого электрона 
, а его скорость, например, в атоме водорода, 
, т. е. 
. Поскольку вектор 
, то траектория электрона в атоме не имеет определенной формы, она не является замкнутой линией.
2) Соотношение неопределенностей для энергии и времени:
(14)
где 
– неопределенность энергии какого-либо состояния частицы с энергией 
; 
– время существования этого энергетического состояния, или время жизни системы с энергией .
Атом в основном состоянии существует сколь угодно долго: 
, - поэтому 
(энергетический уровень основного состояния узкий). Но в возбужденном состоянии время жизни атома 
; тогда по формуле (14) получаем 
– это ширина размытого возбужденного уровня энергии. В результате энергия фотона, излучаемого при переходе электрона с такого уровня, имеет неопределенность
. (15)
Эта, так называемая, естественная ширина спектральной линии 
– частоты 
линий оптических спектров. Так как длина волны 
, то, дифференцируя, имеем 
; принимая, что 
и 
, получаем соотношение 
. Такова монохроматичность 
спектральной линии. По величине 
линии спектра, используя формулу (15), можно определить – время жизни атома в возбужденном состоянии.
Примеры решения задач
План решения задач по теме «Теория атома водорода по Бору»
1. Следует обратить внимание, что созданная Бором теория атома водорода – первая квантовая теория атома, согласно которой электрон в атоме может находиться только в определенных стационарных состояниях. Параметры электрона в атоме: радиус круговой орбиты, скорость и его момент импульса, период обращения, энергия электрона, – имеют в этих состояниях дискретные значения, которые определяются главным квантовым числом 
(номер орбиты). Эта зависимость отражается индексом величин: 
.
2. По мере увеличения номера орбиты ее радиус увеличивается 
, а скорость электрона уменьшается 
; в результате период обращения растет 
, возрастает момент импульса электрона 
и увеличивается его энергия 
.
3. Порядок величин параметров электрона в атоме водорода можно оценить по указанным зависимостям и значениям величин для основного состояния 
. В этом состоянии радиус орбиты 
, скорость электрона 
, период обращения 
, момент импульса 
, и полная энергия электрона 
Задача 30. Для электрона, находящегося на первой орбите ( 
) атома водорода, определите радиус орбиты 
, момент импульса электрона 
и его скорость 
.
Дано
Электрон
в атоме  :
.
| Решение
По теории Бора электрон в атоме водорода движется по окружности радиусом  . На орбите электрон удерживается кулоновской силой  притяжения к ядру, имеющему положительный заряд. Эта сила создает нормальное (центростремительное) ускорение, которое, в соответствии со вторым законом Ньютона:
|
. (1)
Здесь 
– масса и скорость электрона; 
– заряд электрона и ядра ( 
); 
– коэффициент пропорциональности в законе Кулона.
В уравнении (1) две неизвестные величины: 
. Другое уравнение, которое также содержит эти величины, – первый постулат Бора, определяющий условие квантования момента импульса электрона:
. (2)
Здесь 
– радиус 
стационарной орбиты; – главное квантовое число; 
– постоянная Планка.
Выразим из уравнения (2) скорость электрона:
(3)
Подставим это значение скорости 
в уравнение (1) и определим из него радиус орбиты электрона:
(4)
Полученную формулу представим в следующем виде:
, (5)
где 
– первый боровский радиус.
Вычисляем величину радиуса первой орбиты электрона в атоме водорода:
.
Момент импульса электрона 
вычисляем по уравнению (2) первого постулата Бора:
.
Скорость электрона на первой орбите в атоме водорода определим по величине момента импульса электрона (согласно уравнению (3)):
. (6)
Вычисляем скорость электрона на первой орбите в атоме водорода:
.
Задача 31. Для электрона, находящегося на третьей орбите ( 
) атома водорода, определите радиус орбиты 
, скорость электрона на этой орбите 
и период его обращения 
.
Дано
Электрон
в атоме :
.
| Решение
Запишем второй закон Ньютона для движения электрона по окружности радиусом вокруг ядра атома водорода, заряд которого (рис. 51). Сила Кулона направлена по радиусу окружности к ее центру и является центростремительной, поэтому уравнение закона Ньютона запишем в проекции на нормаль к траектории:
|
. (1)
Здесь – масса и скорость электрона; – заряд электрона и ядра; – кулоновская постоянная в системе единиц СИ.
Рис. 51 | Так как уравнение (1) содержит две неизвестные величины: скорость движения электрона и радиус его орбиты , – то используем еще одно уравнение, которое связывает эти величины, – первый постулат Бора (условие квантования момента импульса электрона):
 . (2)
Выразим скорость электрона из уравнения (2), подставим ее значение в уравнение (1), и определим из него радиус стационарной орбиты :
|
. (3)
Формулу (3) представим в следующем виде:
(4)
Здесь 
– первый боровский радиус (согласно формуле (4) 
). Вычисляем радиус третьей боровской орбиты электрона в атоме водорода:
.
Вычисляем скорость электрона на третьей орбите, используя первый постулат Бора, по формуле (3):
.
Период обращения 
электрона на орбите: время одного оборота, – определим по формуле пути 
для равномерного движения электрона со скорость 
:
(5)
Формулу (5) представим в следующем виде:
, (6)
, – период обращения электрона на первой орбите.
Вычисляем период обращения электрона на третьей боровской орбите атома водорода по формуле (6):
.
Полученная величина периода обращения показывает, что число оборотов в одну секунду, которое совершает электрон при движении в поле ядра атома водорода: 
.
Задача 32. Для атома водорода определите 1) полную энергию электрона 
на орбитах с главным квантовым числом 
и 2) длину волны λ фотона, излучаемого при переходе электрона с шестого энергетического уровня на первый – в серии Лаймана (ультрафиолетовой).
Дано
Электрон
в атоме :
 ;
 .
| Решение
Полная энергия электрона в атоме водорода (и в любом другом атоме) равна сумме кинетической энергии  электрона и потенциальной энергии его взаимодействия с зарядом ядра  :
 .
Таким образом, величина полной энергии атома водорода в состоянии с главным квантовым числом
|
. (1)
Здесь – масса электрона и его скорость на орбите; 
– кулоновская постоянная в системе единиц СИ; – заряд электрона и ядра 
; – радиус орбиты с номером .
Скорость электрона определим из закона динамики движения по круговой орбите (из второго закона Ньютона, записанного в проекции на нормаль):
. (2)
Подставим найденное значение 
в формулу энергии электрона (1):
(3)
Сравнивая уравнения (1) и (3), отметим соотношение энергий электрона, движущегося в атоме водорода:
1) потенциальная энергия 
;
2) кинетическая энергия 
.
Полная энергия электрона в атоме отрицательна; это означает, что электрон находится в связанном состоянии благодаря электростатическому взаимодействию с заряженным ядром атома.
Для получения расчетной формулы полной энергии электрона в формулу (3) подставим значение радиуса орбиты 
; при этом энергия электрона в состоянии с главным квантовым числом
(4)
где 
– энергия электрона в состоянии с квантовым числом (одна из искомых величин). Величина 
является минимальной энергией, которой обладает атом водорода в основном состоянии ( ). Максимальная энергия (согласно формуле (4) 
) соответствует ионизации атома путем отрыва электрона от ядра.
Вычислим по формуле (4) энергию атома в возбужденном состоянии, соответствующем движению электрона по шестой стационарной орбите:
.
Чтобы определить длину волны фотона, испускаемого при переходе электрона с 6-го энергетического уровня на 1-й, используем второй постулат Бора: при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается фотон с энергией, равной разности энергий электрона на этих орбитах:
(5)
Уравнение (5) дает следующую расчетную формулу длины волны излучаемого фотона:
(6)
Вычисляем по этой формуле длину волны спектральной линии, соответствующей переходу электрона в атоме водорода с 6-й стационарной орбиты на 1-ю (в основное состояние):
.
Это длина волны ультрафиолетового (УФ) излучения, так как величина 
.
План решения задач по теме «Элементы квантовой механики»
1. Длина волны де Бройля для частиц вычисляется по формуле , где импульс частицы 
. Если известна кинетическая энергия частицы 
, то импульс выражают через энергию: 
Если заряженная частица (электрон, протон, 
-частица) ускорена электрическим полем, совершившим работу 
, то кинетическая энергия определяется величиной ускоряющей разности потенциалов 
. Привычную формулу классической механики 
можно использовать для частиц, кинетическая энергия которых мала по сравнению с их энергией покоя 
: 
. Приведем значения энергии покоя некоторых частиц: для электрона 
; для протона 
; для -частицы 
.
2. Длину волны де Бройля можно определить из дифракционного эксперимента, используя для параллельного пучка частиц такие же условия максимумов и минимумов дифракции, как и для потока фотонов видимого или рентгеновского излучения. Приведем эти формулы:
1) для дифракции на щели: а) условие 
– 
;
б) условие 
– 
;
2) для дифракции на кристалле – формула Вульфа – Брэггов:
.
3. Для микрочастиц, находящихся в ограниченной области пространства (в атоме, в ядре, в узкой потенциальной яме), характерна ненулевая минимальная кинетическая энергия: 
и ненулевое значение минимального импульса: 
, так как такая частица, согласно соотношению неопределенностей, не может иметь точные нулевые значения. Поскольку неопределенность координаты частицы 
, – определяется характерным размером области, то, используя соотношение 
, можно получить формулу, связывающую минимальную кинетическую энергию частицы с размером области: 
.
Задача 33. Электрон движется со скоростью 
. Определите длину волны де Бройля 
электрона, учитывая зависимость его массы от скорости.
Дано
Электрон:
 ;
;
 .
| Решение
Длина волны де Бройля свободно движущейся частицы определяется формулой:
 , (1)
где – постоянная Планка;  – импульс частицы; – ее масса и скорость.
При скоростях, сравнимых со скоростью света  ,
|
масса частиц зависит от их скорости. Увеличение массы частицы в зависимости от ее скорости описывается формулой специальной теории относительности:
, (2)
где 
– масса покоя электрона; 
– скорость света в вакууме.
Подстановкой выражения (2) для массы электрона в формулу (1) получаем следующую расчетную формулу длины волны де Бройля релятивистского электрона:
(3)
Вычисляем величину :
.
Задача 34. Электрон прошел в электростатическом поле (ЭСП) ускоряющую разность потенциалов: 1) 
; 2) 
. Определите длины волн де Бройля 
электрона при 
.
Дано
Электрон:
 ;
1) ;
2) .
| Решение
Длина волны де Бройля свободно движущейся частицы определяется формулой:
, (1)
где – постоянная Планка; – импульс частицы;  – ее масса и скорость.
|
Пройдя в ЭСП ускоряющую разность потенциалов , электрон приобрел кинетическую энергию , равную работе электрического поля:
.
Величина работы, совершенной полем, 
.
Приравнивая две последние формулы, определяем кинетическую энергию:
(2)
Вычисляем кинетическую энергию электрона для обоих случаев:
.
Сравним найденные величины энергии с энергией покоя электрона
.
Отмечаем, что 
. Следовательно, электрон не является релятивистским и для его импульса и кинетической энергии справедливы формулы классической механики:
(3)
Проверим, что это так, вычислив скорость электрона при 
из равенства 
. Релятивистская поправка (множитель) в этом случае равна 
.
Используя для кинетической энергии формулу (2), определяем по формуле (3) импульс электрона:
(4)
Подстановкой полученной величины импульса электрона в формулу (1) получаем следующую расчетную формулу длины волны электрона:
(5)
Вычисляем 
по формуле (5):
.
Вычислим величину 
следующим путем: согласно формуле (5)
.
Задача 35. Параллельный пучок атомов водорода, падающий под углом скольжения 
к поверхности монокристалла, дает дифракционный максимум 1-го порядка при отражении от плоскостей с межатомным расстоянием 
. Определите длину волны де Бройля атомов водорода и их скорость .
Дано
Атом :
 ;
;
 ;
.
| Решение
Для дифракции на кристалле легких частиц: электронов, - частиц, протонов, нейтронов, атомов водорода и гелия и др., – справедлива формула Вульфа – Брэггов, полученная для дифракции рентгеновских лучей (потока фотонов):
 (1)
Осуществляя дифракцию атомов водорода на монокристалле с известным расстоянием 
|
между атомными плоскостями, и измеряя угол скольжения 
для максимума 1-го порядка, по формуле (1) определяем длину волны атомов водорода:
.
Эта величина атомов водорода попадает в диапазон длин волн мягких рентгеновских лучей.
Для определения скорости атомов водорода воспользуемся формулой длины волны де Бройля свободно движущейся частицы:
, (2)
где – постоянная Планка; – импульс частицы; – ее масса и скорость.
Из этой формулы получаем расчетную формулу скорости атомов водорода и вычисляем величину :
.
Задача 36. Электрон, имеющий кинетическую энергию 
, находится в металлической пылинке диаметром 
. Оцените относительную неопределенность (точность) 
, с которой можно найти скорость электрона .
Дано
Электрон:
;
;
.
| Решение
Рис. 52 |
Электрон, находящийся внутри пылинки, движется (так как имеет энергию 
) в области, ограниченной диаметром (рис. 52). При этом его координата известна с точностью до размеров пылинки, причем, 
(см. рис. 52). В таком случае проекция импульса электрона имеет неопределенность , величина которой следует из соотношения неопределенностей:
, (1)
где – постоянная Планка.
Неопределенность проекции импульса приводит к неопределенности проекции скорости частицы 
:
(2)
Используя формулу (1), определим неопределенность проекции скорости:
(3)
Чтобы найти относительную неопределенность скорости, найдем скорость электрона из его кинетической энергии:
(4)
С помощью формул (3) и (4) получаем расчетную формулу точности определения скорости электрона, находящегося в пылинке:
(5)
Здесь учтено, что величина – диаметру пылинки.
Вычисляем по формулу (5) отношение , показывающее точность определения скорости электрона:
; 
.
Полученная неопределенность скорости электрона в пылинке мала по сравнению с таковой для атома водорода , где 
. Это объясняется соотношением размеров областей, где находится электрон, и определяющих неопределенность координаты ; оно таково: 
; а произведение этих неопределенностей одинаково для данной частицы (электрона): 
.
Задача 37. Принимая, что минимальная энергия нуклона в ядре 
и используя соотношение неопределенностей 
, оцените линейный размер 
ядра.
Дано
Нуклон:
;
 ;
.
| Решение
Нуклоном называют частицу, входящую в состав ядра – это и протон, и нейтрон. Размер ядра определяет неопределенность координаты частицы  . Эту неопределенность найдем по соотношению неопределенностей:
|
, (1)
где – неопределенность проекции импульса нуклона.
Что известно об импульсе нуклона в ядре? В рамках капельной модели ядра нуклоны в нем колеблются (подобно колебаниям молекул в жидкости); при этом энергия нуклона, совершающего гармонические колебания, складывается из кинетической и потенциальной энергии частицы: 
. При прохождении нуклоном положения равновесия его потенциальная энергия 
, а кинетическая энергия 
; соответственно
. (2)
Но кинетическая энергия частицы связана с ее импульсом формулой:
. (3)
С учетом равенства (2) получаем значение импульса нуклона:
(3а)
Таким образом, импульс нуклона известен с неопределенностью
(4)
Подстановка этой величины в формулу (1) дает расчетную формулу для оценки линейного размера атомного ядра:
. (5)
Вычисляем величину :
.
Этот результат, полученный по соотношению неопределенностей, прекрасно согласуется с экспериментальной оценкой Резерфордом размера атомных ядер: 
, – по рассеянию альфа-частиц металлической фольгой.
Задача 38. Время жизни возбужденного атома 
. С какой наименьшей погрешностью 
может быть определена энергия фотона, излучаемого атомом?
Дано
;
| Решение
Возбужденные состояния атома короткоживущие и малое время жизни  приводит к заметной неопределенности энергии такого состояния: согласно соотношению неопределенностей
|
, (1)
где 
– время существования данного энергетического состояния.
|
означает, что энергетический уровень такого состояния имеет ширину , т. е. является размытым (рис. 53).
Рис. 53 |
Переходы электронов в различных атомах с размытого уровня, который занимает интервал энергий от 
(см. рис. 53), сопровождается излучением фотонов с различной энергией – в соответствии со вторым постулатом Бора. При переходе электрона атома из одного стационарного состояния в другое (с меньшей энергией) излучается фотон, энергия которого 
равна разности энергий соответствующих стационарных состояний:
а) при переходе электрона с нижней границы размытого уровня на первый с энергией 
:
; (2)
б) при переходе электрона с верхней границы размытого уровня, где энергия атома равна 
:
(3)
Вычитая уравнение (2) из 3-го, получаем наибольшую разность энергий фотонов , которая вносится размытием энергетического уровня возбужденного состояния атома:
(4)
Наибольшая разность энергий фотонов , излучаемых любыми двумя одинаковыми атомами при переходе электрона 
, – это и есть неопределенность энергии излучаемого фотона. Эта неопределенность, с учетом формулы (1):
(5)
Оценим ее величину:
.
Задача 39. Атом испустил фотон с длиной волны 
. Длительность излучения 
. Определите наибольшую точность 
, с которой может быть измерена длина волны излучения.
Дано
;
.
 ?
| Решение
В соответствии с соотношением неопределенностей уровень энергии возбужденного состояния атома имеет ненулевую ширину :
, (1)
где – неопределенность энергии атома в возбужденном
|
состоянии, равная ширине размытого уровня энергии (см. рис. 53); – время существования данного возбужденного состояния.
При переходах электронов в различных атомах с разных по высоте точек, находящихся в зоне возбужденного уровня, излучаются фотоны с энергией, лежащей в интервале от 
, частота которых находится в области от 
, (см. рис. 53). Запишем формулу Планка для энергии этих фотонов:
; (2)
(3)
Оценим неопределенность частоты излучаемых фотонов, вычитая уравнение (2) из уравнения (3):
(4)
Используя соотношение неопределенностей (1), определим ширину данной спектральной линии по шкале частот:
(5)
Относительная ширина спектральной линии
. (6)
Вычисляем: 
Покажем, что относительная ширина спектральной линии одинакова как по шкале частот, так и по длинам волн, т. е. 
. Так как, согласно сделанному выше расчету, 
, т. е. величина 
, то можно отождествить измеряемый разброс по частотам с бесконечно малым приращением 
: . Дифференцируем формулу связи длины волны и частоты 
:
. (7)
Следовательно, монохроматичность спектральной линии, или ее относительная ширина 
. Знак 
в формуле (7) опущен, так как он указывает только на то, что с увеличением частоты света убывает его длина волны .
Часть 4
ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
Теоретическая часть
Дата: 2018-11-18, просмотров: 544.
