Используя уравнение (1) динамики движения электрона в атоме и формулу (2) первого постулата, Бор получил выражение для радиуса  стационарной орбиты (см. решение задачи 30) в следующем виде:

,                             (4)

где  – первый боровский радиус.

Формула (4) показывает, что радиусы орбит увеличиваются с ростом квантового числа  пропорционально его квадрату .

  Полная энергия  электрона в атоме водорода (и в любом другом атоме) равна сумме кинетической энергии  электрона и потенциальной энергии  его взаимодействия с зарядом ядра (в атоме водорода ):

.

Таким образом, величина полной энергии атома водорода в состоянии с главным квантовым числом

                            (5)

Здесь  – скорость электрона на  стационарной орбите, она определяется законом динамики (1);  – радиус этой орбиты (см. формулу (4)). Расчет энергии атома водорода по формуле (5) (см. решение задачи 32) приводит к следующему результату:

 .            (6)

Здесь  – энергия атома водорода в основном состоянии – с квантовым числом . Состояния атома с энергиями  , называют возбужденными. Величина  является минимальной энергией атома водорода. Максимальная энергия: , –соответствует ионизации атома путем отрыва электрона от ядра.

  Полная энергия атома водорода, согласно формуле (6), отрицательна; это означает, что электрон находится в связанном состоянии. Расчет по формуле (6), где  – целые числа, дает дискретный набор значений энергии атома, которые называют энергетические уровни. Схема энергетических уровней атома водорода и переходы с излучением энергии показаны на рис. 49. Эти переходы атома из одного состояния в другое

серия Лаймана 4 0 серия Бальмера серия Пашена Рис. 49

изображены вертикальными линиями, а направление перехода показано стрелкой. Атом переходит в возбужденное состояние при соударении с другим атомом, с заряженной частицей или при поглощении фотона. Время жизни атома в возбужденном состоянии порядка . Затем атом самопроизвольно переходит в основное состояние, излучая квант энергии.

  Частота  и длина волны  излучаемых фотонов определяются вторым постулатом Бора, который, с учетом формулы (6) для энергии атома, запишем в следующем виде:

.           (7)

  Формула (7) совпадает с сериальной формулой, полученной ранее экспериментально:

                                      (8)

где  – постоянная Ридберга;  –  квантовые числа стационарных состояний, причем .

  По формулам (7) и (8) можно вычислить длины волн спектральных линий всех серий в спектре излучения атома водорода: серия Лаймана ( ) принадлежит ультрафиолетовой области спектра; серия Бальмера ( ) – видимой области; серия Пашена ( ) и последующие серии ( ) – инфракрасной области спектра.  

Элементы квантовой механики