Для схемы рис. 2.2,а запишем уравнение по второму закону Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС замкнутой цепи равна сумме напряжений на её участках:
(2.2)
где напряжение на резистивном элементе, имеющем сопротивлением R;
напряжение на индуктивном элементе, имеющем индуктивность L;
напряжение на емкостном элементе, электрическая ёмкость которого С.
Уравнение (2.2) составлено для мгновенных значений и является интегро-дифференциальным. Решение его относительно тока осуществляется символическим (комплексным) методом. Суть метода состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от интегро-дифференциальных уравнений к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход основан на представлении синусоидально изменяющейся величины(ЭДС, тока, напряжения) комплексным числом. Например, если мгновенное значение тока записано как
(2.3)
то комплексная амплитуда тока будет иметь вид:
Точка наверху комплексной амплитуды İ m обозначает изображение тока в комплексном виде. Максимальное значение тока Im и его начальная фаза ji, входящая в аргумент (wt + ji) показательной функции, берутся из мгновенной формы записи тока (2.3). Вектор , входящий также в аргумент показательной функции, указывает на комплексное число.
Комплексные числа – это вектора. С целью единообразия изображения комплексных чисел на комплексной плоскости (рис. 2.3) принимается wt=0. Тогда выражение (2.3) для комплексной амплитуды тока примет вид:
(2.4)
Например:
Любое комплексное число (2.5) можно записать в показательной, тригонометрической и алгебраической формах:
(2.5)
где комплексная амплитуда (модуль) числа;
действительная часть комплексного числа;
коэффициент мнимой части комплексного числа;
φ – начальная фаза (угол) комплексного числа.
Комплексное число , как показано на рис. 2.3, может находиться в любой из четырех четвертей комплексной плоскости. При переводе
из алгебраической формы в показательную, модуль М комплексного числа определяется одинаково для всех четвертей комплексной плоскости:
II ч . I ч .
III ч . IV ч .
Начальная фаза (угол) φ комплексного числа может быть отсчитана, как это показано на рис. 2.3, от действительной оси +1 против часовой стрелки, если она положительна (+φ), или по часовой стрелке, если она отрицательна (-φ). Для всех четырех четвертей комплексной плоскости (рис. 2.3) приведен расчет положительной начальной фазы (+φ). Аналогичные расчеты можно провести для отрицательной начальной фазы (-φ).
Для расчета цепей синусоидального тока комплексным методом наиболее часто используют комплексное действующее значение величины (ЭДС, тока, напряжения), которое в раз меньше комплексной амплитуды. Так, комплекс действующего значения тока İ запишется:
Например:
Следует отметить, что в представленном выше примере начальная фаза (угол) φ = -150˚ в комплексе действующего значения тока İ отсчитывается от действительной оси +1 по часовой стрелке, а угол φ = 360˚-150˚=210˚ отсчитывается от той же оси +1, но против часовой стрелки (рис. 2.3). Любая форма записи угла в токе İ верна.
С комплексными числами производят различные арифметические действия. В виде комплексных чисел записывают токи, напряжения, сопротивления, мощности и т.д.
Складывают и вычитают комплексные числа в алгебраической форме. Например, требуется сложить и вычесть два числа Ċ1 = 4 + j3 и Ċ2 = 5 - j5. Сумма Ċ3 и разность Ċ4 запишутся:
Ċ3 = Ċ1 + Ċ2 = 4 + j3 + 5 – j5 = 9 – j2;
Ċ4 = Ċ1 – Ċ2 = 4 + j3 – (5 – j5) = -1 + j8.
Как видно из записи чисел Ċ3 и Ċ4 действительные и мнимые их части получены алгебраическим сложением действительных и мнимых частей чисел Ċ1 и Ċ2 .
Умножают и делят комплексные числа в показательной форме записи. Например, требуется перемножить и разделить два числа Ċ5 = 24е j120˚ и Ċ6 = 6е -j40˚. Произведение этих чисел Ċ7 запишется:
Ċ7 = Ċ5 · Ċ6 = 24е j120˚ · 6е –j 40˚ = 144е j 80˚ .
Здесь перемножаются модули комплексных чисел 24·6 = 144 и складываются их аргументы j120˚- j40˚ = j80˚.
Частное Ċ8 от деления числа Ċ5 на число Ċ6 запишется как
Здесь модуль частного получен при делении модулей делимого и делителя 4 = 24/6, а аргумент частного – как разность аргументов делимого и делителя j160˚ = j120˚ - (-j40˚).
Следует отметить, что преобразование комплексного числа из алгебраической формы записи в показательную и наоборот осуществляется по формуле (2.5).
Рассмотрим умножение комплексного числа Ċ на j и на – j. В показательной форме записи Ċ = М е j φ, j = е j90˚, – j = е –j 90˚. Проведем умножение j·Ċ = М е j φ · е j90˚ = М е j (φ + 90˚), которое не изменило модуль М числа Ċ, но на 90˚увеличило его аргумент. Если число Ċ изобразить вектором на комплексной плоскости, то умножение Ċ на j поворачивает Ċ на угол 90˚ против часовой стрелки (в сторону опережения) без изменения модуля М.
Теперь проведем умножение –j·Ċ = М е j φ · е –j 90˚ = М е j (φ - 90˚), из которого видно, что модуль М комплексного числа Ċ не изменился, а его аргумент уменьшился на 90˚. Это приведет к повороту вектора Ċ на комплексной плоскости на угол 90˚ по часовой стрелке (в сторону отставания) без изменения модуля М.
Укажем, что символический метод расчета цепей позволяет применять для синусоидальных токов все методы расчета, известные из теории цепей постоянного тока.
Дата: 2019-12-10, просмотров: 279.