Рассмотрим применение законов Кирхгофа для расчета схемы рис. 1.10.

Искомыми являются токи в ветвях схемы. Перед тем как составлять уравнения, необходимо:

1) произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме I₁… I₅;

2) выбрать положительные направления обхода контуров, например, по часовой стрелке, для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

По первому закону  Кирхгофа

составляют  число  уравнений, рав-

ное числу узлов без единицы.

        Рис. 10                                   

Для схемы рис. 1.10 при наличии четырех узлов число уравнений будет три.

По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу независимых контуров. Составляя уравнения, охватывают все ветви схемы, исключая ветви с источниками тока. При этом стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна но­вая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры. Такие контуры называются независимыми. Схема рис. 1.10 имеет два независимых контура.

 При записи уравнений по законам Кирхгофа необходимо учитывать:

1) токи, входящие в узел, берутся со знаком плюс, а выходящие - минус;

2) если ток или ЭДС по направлению не совпадают с направлением об­хода контура, то в уравнение (1.7) они войдут со знаком минус, а если совпа­дают – со знаком плюс.

Для схемы рис. 1.10 имеем:

Если в результате расчета токов в системе уравнений (1.8) какой-либо ток получился отрицательным, то это означает, что его истинное направление противоположно выбранному и обозначенному на схеме рис. 1.10.

Далее рассмотрим метод контурных токов, базирующийся на втором законе Кирхгофа. Искомыми являются контурные токи I₁₁ и I₂₂, протекающие соответственно по независимым первому и второму контурам схемы рис. 1.10 и имеющие направления обхода, совпадающие с направлением часовой стрелки. Токи в ветвях I₁… I₅ находятся через контурные токи. Из-за меньшего числа решаемых уравнений метод контурных токов менее трудоемок, чем метод на основе законов Кирхгофа. В данной схеме рис. 1.10 два независимых контура, поэтому имеем следующую систему уравнений:

         (1.9)

Здесь сопротивления с одинаковыми индексами R₁₁ и R₂₂ – суммарные сопротивления первого и второго контуров соответственно. Сопротивления с разными индексами – это взаимные сопротивления, входящие одновременно в состав двух контуров, например, R₁₂ = R₂₁ – это взаимное сопротивление между первым и вторым контурами;

I₁₁ и I₂₂ – контурные токи первого и второго контуров соответственно;

R_1К и R_2К – сопротивления первого и второго контуров, по которым соот­ветственно протекает ток от источника тока I_К;

Е₁₁и Е₂₂ – алгебраическая сумма ЭДС соответственно первого и второго контуров.

При составлении уравнений (1.9) необходимо учитывать:

1) если направление ЭДС совпадает с направлением контурного тока, то ЭДС берется со знаком плюс, а если не совпадает – со знаком минус;

2) знак взаимного сопротивления берется положительным, если направ­ления контурных токов на нем совпадают, а отрицательным, если не совпа­дают;

3) знак сопротивления какого-либо контура, по которому протекает ток от источника тока, берется положительным, если направление контурного тока совпадает с направлением тока от источника тока.

Для схемы рис. 1.10 имеем:

Решая систему уравнений (1.9) находим контурные токи I₁₁ и I₂₂. Истинные токи в ветвях I₁… I₅ находим через контурные. Ток в смежной ветви равен алгебраической сумме соответствующих контурных токов. Со знаком плюс берутся контурные токи, совпадающие с током этой ветви, со знаком минус – не совпадающие с ним.

Для схемы рис. 1.10 получим:

Метод эквивалентного источника (активного двухполюсника) применяется, когда необходимо определить ток в какой-либо одной выделенной ветви электрической схемы. По отношению к выделенной ветви остальную часть схемы условно изображают некоторым прямоугольником, который называется двухполюсником. Если двухполюсник имеет источник ЭДС или (и) тока, то такой двухполюсник называется активным (рис. 1.11).

                    Рис. 1.11                                     Рис. 1.12

По отношению к выделенной ветви ab (рис. 1.12) двухполюсник при расчете можно заменить эквивалентным источником, ЭДС которого Е_Э равна напряжению холостого хода U _{ab х.х} на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению R _ВХ двухполюсника. Определим по закону Ома ток I, протекающий по сопротивлению R выделенной ветви ab (рис. 1.12):

                               (1.10)

где I_{ab к.з} – ток короткого замыкания между зажимами a и b.

Входное сопротивление R _ВХ двухполюсника определяется относительно зажимов a и b .При этом источники питания, входящие в двухполюсник, заменяются их внутренними сопротивлениями. Кроме того, входное сопротивление R _ВХ можно рассчитать по напряжению холостого хода и току короткого замыкания между зажимами a и b выделенной ветви:

В качестве примера рассчитаем ток I ₁, протекающий по сопротивлению R₂, включенному между зажимами e и b (рис. 1.10):

Определим R _ВХ относительно зажимов e и b, используя для этого схему, рис. 1.13, полученную из схемы рис. 1.10, в которой внутреннее сопротивление источников ЭДС Е₁, Е₂ и Е₃ равно нулю, а источника тока I _К – бесконечности.

   Рис.1.13

                 (1.12)

Для расчета тока короткого замыкания I_{eb к.з} необходимо в схеме рис. 1.10 сопротивление R ₂ закоротить, т. е. на зажимы e и b установить перемычку. Ток I_{eb к.з} может быть рассчитан любым методом, например, контурных токов:

       (1.13)

Из системы уравнений (1.13) находится ток I₁₁= I_{eb к.з}. Далее, подставляя входное сопротивление R _ВХ (1.12) и ток I_{eb к.з} в уравнение (1.11) определяется искомый ток I₁. Вместо тока короткого замыкания между зажимами e и b I_{eb к.з} (рис. 1.10) можно определить напряжение холостого хода U _{е b х.х}. В этом случае между зажимами e и b цепь разрывается и определяется разность

потенциалов j_е - j _b = U_{ebx . x} в оставшейся схеме.

Метод двух узлов используется в том случае, когда электрическая цепь содержит только 2 узла или легко может быть преобразована в подобную цепь. При этом число параллельных ветвей не ограничено. На рис. 1.14,а показана схема с двумя узлами a и b, состоящая из 4 параллельных ветвей.

                         а)                                               б)                в)

                                                       Рис.1.14

Искомое межузловое напряжение U _{а b} может быть найдено по формуле:

                      (1.14)

где n – число ветвей, содержащих источники ЭДС,

m – число ветвей с источниками тока,

  p – число ветвей с сопротивлениями,

g _i = 1/R_i – проводимость i-той ветви.

Если источники ЭДС и тока направлены к узлу, который в индексе меж узлового напряжения записан первым, то в уравнение (1.14) они входят со знаком плюс и наоборот – со знаком минус. Применим формулу (1.14) для расчета U _{а b} в схеме рис. 1.14,а:

где

Проводимость ветви с источником тока I_К1 равна нулю, т. к. его внутреннее сопротивление бесконечно велико.

Если к зажимам ab подключить ветвь, содержащую только источник ЭДС Е₃, направленный к узлу a (рис. 1.14,б), то межузловое напряжение U _{а b} будет равно Е₃, т. к. в параллельных ветвях одинаковые напряжения. Для определения токов в ветвях I₁ , I₂ , I₃ (рис. 1.14,а) используется закон Ома для участка цепи, под которым понимается одна из параллельных ветвей. Токи I₁ и I₂ определяются по формуле (1.5):

а ток I₃ – по формуле (1.2):

Проверка правильности решения осуществляется по первому закону Кирхгофа, например, для узла a (рис. 1.14,а):

Иногда при расчете сложных схем необходимо заменить несколько параллельно включенных ветвей, содержащих источники ЭДС и источники тока (рис. 1.14,а), одной эквивалентной ветвью (рис. 1.14,в). Для схемы рис. 1.14,в имеем: