Одной из основных проблем методики обучения решению задач на построение является методика введения и изучения этапов решения конструктивных задач. Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно.

Анализ

Анализ — это важный этап решения задачи, который мы понимаем, как поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру (если мы знаем, как строить искомую фигуру, то никакой анализ уже не нужен).

Анализ – подготовительный, предварительный этап решения задачи на построение.

Пример 3:

Постройте остроугольный треугольник АВС по сумме углов В и А, высоте В D и стороне АС.

Анализ: дан угол, представляющий сумму углов А и В, отрезок АС и отрезок В D. Требуется построить такой треугольник АВС, в котором угол С₁= 180⁰ – (угол А₁+ угол В₁), высота B ₁ D ₁ равна отрезку В D, сторона А₁С₁ равна отрезку АС. Допустим, что такой треугольник построен. Нам известна сумма углов А и В, следовательно, мы можем найти угол С₁. Затем построим ∆СВ D по катету и противолежащему углу. А потом достроим ∆АВС.

Построение

Второй этап решения задач на построение состоит из двух частей:

· перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи;

· непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов. Действительно, решить задачу с помощью тех или иных инструментов — значит указать конечную совокупность элементарных, допустимых для данных инструментов, построений, выполнение которых в определенной последовательности позволяет дать ответ на вопрос задачи.

Построение:

1. Построить прямую а.

2. Построить перпендикуляр (прямая b) к прямой а.

3. Отложить отрезок В₁ D ₁, равный В D.

4. Построить отдельно угол С₁= 180⁰ – (угол А₁+ угол В₁).

5. Построить угол В₁=90⁰ – угол С₁.

6. С₁ – точка пересечения.

7. На прямой b провести окружность R =АС и с центром С₁.

8. А₁ - точка пересечения.

9. А₁ и В₁ соединить.

10. _∆А₁В₁С₁ – искомый.

Доказательство

После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения. Одну и ту же задачу можно решать различными способами, в зависимости от намеченного при анализе плана построения, а поэтому, и доказательство в каждом случае будет свое.

Доказательство:

1. В D = B ₁ D ₁(по построению).

2. угол С₁= 180⁰ – (угол А₁+ угол В₁) (по построению).

3. А₁С₁ = АС (по построению).

4. _∆А₁В₁С₁ – искомый.

Исследование

При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (то есть при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание исследования.

Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

Исследование: Данная задача всегда имеет решение.