На этом этапе ученики усваивают суть приёма: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.
При введении большинства вычислительных приёмов важно использовать наглядность. В некоторых случаях это оперирование множествами. Например, прибавляя к 6 число 3, придвигаем к 6 квадратам 3 квадрата по одному.
В других случаях в качестве наглядности используется развернутая запись. Например, при введении приёма внетабличного умножения выполняется запись:

13х6=(10+3)х6=10х6+3х6=60+18=78

Выполнение каждой операции важно сопровождать пояснениями вслух.
Сначала эти пояснения выполняется под руководством учителя, а потом самостоятельно учащимися.

Закрепление знаний приёма и выработка вычислительного навыка.

На этом этапе ученики должны твердо усвоить систему операций, составляющие приём, и быстро выполнить эти операции; то есть овладеть вычислительным навыком.
На всех стадиях формирования вычислительных навыков решающую роль играют упражнения на применение вычислительных приёмов.
Важно, чтобы было достаточное число упражнений, чтобы они были разнообразными как по числовым данным, так и по форме.
Необходимое условие формирования вычислительных навыков - умение учителя организовать внимание детей.
Особенно важно организовать внимание в начале урока, так как это во многом определяет весь его дальнейший ход.
На формирование вычислительных навыков большое влияние оказывает навыки беглого устного счёта.
Проведение устного счёта в начале урока активизирует мыслительную деятельность, развивает память, внимание, автоматизирует навык.

Различные подходы к формированию представлений младших школьников о смысле действий умножения и деления. Система изучения дробей: доля величины, дробь. Методика организации учебной деятельности школьников по освоению частных случаев умножения и деления, законов и свойств действий над числами, решению задач с дробями.

1 . Знакомство с конкретным смыслом умножения. Конкретный смысл умножения раскрывается двумя способами. В большинстве учебников математики в основе разъяснения конкретного смысла умножения лежит теоретико-множественная трактовка конкретного смысла умножения.(a*b= а+а+а+а — b раз при b больше единицы. a*0=0. a*1=a), потому что это определение легко смоделировать на конкретных действиях. Например: учитель предлагает посчитать сколько вишенок. На рисунке четыре пары вишенок по 2 штучки в каждой паре. Записано равенство 2+2+2+2=2*4 первое число в произведение показывает, какое число берут слагаемых, и второе сколько раз берут слагаемые. 2ой способ: в учебниках построена на теории изучения величин, конкретный смысл умножения вводится по другому. Действие по переходу к новой мере называют умножением, а схему — схемой умножения. Мера в этом случае уменьшается. На столе у учеников ведро с водой , дети при помощи литровой банки узнают сколько в нем воды(5 банок), затем кружкой, учитель подсказывает, что в банке 6 кружек. Таким образом, дети умножают 6 на 5 и узнают количество кружек воды в ведре.

2. Знакомство с конкретным смыслом деления. Рассматривается 2мя способами: в учебниках, основанных на теории множеств, конкретный смысл деления связан с операцией разбиения множества на равночисленные подмножества. Ученики знакомятся с конкретным смыслом деления в ходе решения задач: на деление по содержанию и делению на равные части. Сначала изучаются задачи на деление по содержанию, а затем на равные части. 8 баранок раздали по 2 каждому ребенку. Сколько детей получили баранки.8-2-2-2-2не равно 4 и учитель вводит деление, записывая правильное выражение на доске 8:2=4. Постепенно переходят от предметной модели к условной (предметы, чем-то заменены). Суть этих моделей — ответы должны быть найдены пересчетом. На этапе усвоения можно дать задание, в котором даны три отрезка поделенные на 8 маленьких отрезков.

Понятие дроби связано с расширением множества целых чисел до множества рациональных чисел. Теоретически считается, что знакомство младших школьников с долями и дробями имеет целью расширение их представлений о числе, однако, практически этого не происходит, поскольку понятие дроби в том виде, в каком оно всегда рассматривалось в начальной школе, с множеством чисел фактически не связывается.

Дробь в классической методической трактовке курса математики для начальных классов — это скорее способ получения части объекта, при этом искомая часть необходимо удовлетворяет ряду специальных требований.

В математике рассматривается два подхода к определению понятия дроби — аксиоматический (через словесное определение и описание свойств) и практический — на основе измерения длин отрезков.

По определению дробь — это число вида м/n , где m и n — целые числа, причем n не равно 0.

Далее определяется ряд операций для чисел этого вида (что понимать под сложением и вычитанием дробей, что понимать под умножением и делением дробей, какую дробь считать большей, а какую — меньшей) и ряд свойств, которыми обладают дроби (например, основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число, при этом значение дроби не изменится).

Такой подход отражен в учебниках для 5—6 классов, что позволяет говорить о возможности формирования понятия дроби как числа.

В учебниках математики для начальных классов отражен другой подход к определению понятия рационального числа (дроби) — через измерение длины отрезка. Для описания результата этого процесса используют дробь.

Суть процесса состоит в следующем: если удается разделить некоторый объект А (например, отрезок) на b равных частей (т. е. взятую мерку b уложить по длине отрезка без остатка) и взять с таких частей, то, результат этой операции можно выразить так:

Получена с/б часть объекта А. При этом с/б не рассматривается как самостоятельное число, а только как « с/б - ая часть объекта А».

Например, для ученика начальных классов фактически не имеет смысла символ ¼ сам по себе, так как непонятно, что именно разделено на 4 равные части. В то же время словосочетание « 1/4 часть яблока» имеет смысл: из него ребенку ясно, что яблоко было разделено на 4 равные части и взята 1 часть.

Таким образом, программой начальных классов не предусмотрено формирование понятия дроби как числа. Сведения о дробях ребенок получает только через практические действия над реальными объектами, величинами, множествами и описание этих действий на языке специальных символов (дробей). Все эти действия считаются подготовкой к знакомству с дробями в 5—6 классе. Данный подход к формированию представлений о долях и дробях реализован во всех альтернативных учебниках математики для начальных классов.

Методическая проблема знакомства ребенка с дробями состоит в выборе учителем целесообразного множества исходных объектов и практических операций, которые ученик будет выполнять над ними. Понятие дроби будет отождествляться с результатом этой операции. Термин «целесообразное множество» подразумевает, что множество выбранных объектов должно делиться нацело, иначе нельзя воплотить требование «равные части», при этом в случае геометрической фигуры можно иметь в виду и равновеликие части

Сформированность представлений о дробях отражается в умении выполнять следующие операции:

1) записывать дробь, ориентируясь на объект или рисунок;

2) сравнивать дроби с опорой на объект или рисунок;

3) находить «дробь от числа» (делением объекта или множества на равные части);

4) восстанавливать число по известной его дроби (обратная операция).

Все эти умения формируются на основе принципа наглядности и неотрывности от предметного содержания.

Дроби (доли) в 3 классе

Словом «доля» в 3 классе называют дробь вида 1/К . Долю получают делением объекта на несколько равных частей.

Запись вида 1/2, 1/4 подразумевает, что объект разделили на две или четыре равных части и взяли одну из них. Запись такого вида в последней редакции учебника математики для 3 класса (2001) не рассматривается.

Детям сообщается словесное название полученной части: одна двенадцатая доля, одна шестая доля...

Используя рисунок круга, разделенного на несколько равных частей дети сравнивают доли, обозначая результат сравнения словом (а не знаком

В 4 классе

Работа над данным понятием идет исключительно в словесных обозначениях: детям сообщается термин и дается его практическая иллюстрация. Символьное обозначение дроби на данном этапе не рассматривается.

Далее предлагаются различные задания (в виде задач на нахождение нескольких долей числа) аналогичного характера.

Знакомство с символикой и операция сравнения дробей рассматривается на последних страницах учебника математики для 4 класса (часть 2).

Рассматривается способ записи дроби: ⁵/₆; ³/₅.

Правильный способ чтения этой записи и смысл каждого ее элемента: число, записанное под чертой, показывает, на сколько равных частей разделено целое число; число, записанное над чертой, показывает, сколько взято таких частей.

Слова «числитель» и «знаменатель» детям не сообщаются.

Сравнение дробей проводится с опорой на рисунок. Следует обращать внимание на то, что необходимо сравнивать соизмеримые части одного объекта, поскольку для ученика начальной школы дроби — это только части объекта или множества

Дроби величин

Задания, требующие нахождения дробей (долей) величин и величин по заданным долям используются для выработки умения находить доли от числа и число по доле не только с опорой на наглядную модель, но и с использованием смысла понятия доля.

Доля — это одна из нескольких равных частей величины.

Например:

6 листов составляют половину тетради. Сколько всего листов в тетради?

Задача может быть решена с опорой на рассуждение: половин в тетради может быть только две. Если в каждой по 6 листов, то вся тетрадь содержит 6 • 2 = 12 (листов).

В данном контексте следует рассматривать и действия с дробями, изучаемые в начальных классах по некоторым альтернативным программам (учебник И.И. Аргинской, учебник Л.Г. Петерсон). Задания «на действия с дробями» построены на том же принципе понимания ребенком дроби как доли (или нескольких долей) предмета или множества, они не предполагают произведения действий с дробями как таковыми по принципам, определенным аксиоматикой рациональных чисел (т. е. не имеются в виду специфические преобразования знаменателей и числителей и т. п., по специальным правилам, как это делается в 5—6 классах средней школы).