Пусть вязко – пластичная жидкость с плотностью , вязкостью η и динамическим напряжением сдвига τ₀ движется со скоростью  в трубопроводе с внутренним диаметром d, длиной l,произвольно расположен-ном пространстве, если в сечениях 1 и 2 давления равны соответственно Р₁ и Р₂

(рисунок 1.1). Сечения 1 и 2 могут представлять собой соответственно начало и конец трубопровода или любого произвольно выделенного участка.

Пространственное положение трубопровода может быть задано некоторым безразмерным параметром , например зенитным и азимутальным

углами для любой глубины. Параметр  может оставаться неизменным

по длине трубопровода либо изменяться по любой пространственной кривой.

Введение в рассмотрение (помимо зенитного) и азимутального угла может быть вызвано необходимостью учета Кориолисова ускорения в движущейся жидкости.

Запишем для рассматриваемого процесса следующее функциональное уравнение:

F ' (d, l, γ, t, ρ, η, τ₀, V, P₁, P₂,) = 0.                                                               (1.38)

В этом уравнении штрих при символе функциональной зависимости означает то, что вид ее, возможно, еще не окончательный, и ее предстоит уточнить. Это обычно бывает связано, с одной стороны, со стремлением сократить число параметров, а с другой – с тем, что не все параметры сразу же удается выбрать удачно ввиду малоизученности или сложности рассматриваемого процесса.

Уточнение может быть произведено постановкой предварительных, так называемых отсеивающих, экспериментов, но чаще  – путем тщательного анализа сути и содержания принятых в рассмотрение параметров. В последнем случае обычно пользуются так называемым методом последовательного развертывания и детализации параметров. Этот метод заключается в том, что некоторые сложные параметры, зависящие, в свою очередь, от других параметров (если таковые имеются), записываются в виде функций других, более простых параметров и вводятся в исходное уравнение (1.38). После этого исходное уравнение обычно становится переопределенным в том смысле, что некоторые параметры встречаются более одного раза. Далее повторяющиеся параметры исключаются, так что каждый параметр учитывается лишь один раз.

Необходимость в детализации параметров обычно бывает связана с тем, что составляющие сложного параметра различным образом влияют на исследуемый процесс, или же тогда, когда вновь вводимые параметры бывают в каких – то отношениях удобнее первоначально принятых, например, при измерениях или расчетах.

Покажем это на рассматриваемом примере.

Для задач из области гидравлики сокращение числа параметров обычно достигается заменой давлений P₁  и Р₂   их разностью, т.е. перепадом давления ΔP = P₁ – P₂. Однако это возможно не всегда. Замена давлений  и  на их разность означает исключение из рассмотрения давления  и, стало быть, уменьшение давления в гидравлической системе на эту величину. Это допустимо лишь в том случае, если нас интересует только гидродинамика процесса между сечениями 1 и 2, а величина абсолютного давления никакой роли не играет. Между тем она может интересовать нас, например, с точки зрения прочности трубопровода. Но если же по условию задачи это возможно, то дальнейшее сокращение числа параметров может быть достигнуто заменой перепада давления на градиент давления . При этом число параметров, как нетрудно заметить, сокращается сразу на две единицы.

В общем случае давление в начале трубопровода, т.е. суммарное давление, можно записать так:

,                                                                                 (1.39)

где – гидростатическое давление, определяемое разностью геометрических высот расположения сечений 2 и 1;

  – потери давления на участке трубопровода между сечениями 1 и 2.

Представим (1.39) в виде 

и поделим обе части этого уравнения на l . Тогда получим

,                                                                                    (1.40)

где члены правой части (1.40) суть градиенты соответствующих давлений.

Заметим, что в гидравлике  принято относить не к длине трубопровода, а к разности геометрических высот расположения его концевых участков, что называется гидравлическим уклоном.

Так как разность геометрических высот сечений 2 и 1 в рассматриваемой задаче равна ( ) (сечение 2 расположено ниже сечения 1), то

, и 

(1.40) принимает вид

,                                                                                    (1.41)

где ;                                                                                         (1.42)

  – гравитационная постоянная.

Сопоставляя полученные выражения (1.41) и (1.42) с исходным уравнением (1.38), а также с учетом того, что параметры в (1.38) уже присутствуют, приходим к выводу, что 3 параметра ,  и  в (1.38) можно заменить на 2 параметра:  и  в окончательном уравнении, если абсолютное давление интереса не представляет. В противном случае  необходимо оставить.

Здесь могут быть следующие две ситуации:

1) сечение 2 является концевым, и жидкость свободно вытекает в атмосферу. Тогда 

и      .                                                       (1.43)

Наибольшее давление в системе  здесь обусловлено только разностью высот расположения сечений 2 и 1 и потерями давления на участке трубопровода между ними;

2) сечение 2 не является концевым, и давление в нем не равно нулю, т.е. , причем  может представлять собой как сумму распределенных по длине потерь давления на участке любой протяженности за сечением 2, так и сосредоточенный перепад давления сразу же за сечением 2, или же то и другое одновременно.

Пусть абсолютное значение давления Р₁ представляет для нас интерес, что соответствует более общему случаю. Тогда функциональное уравнение окончательно запишется в виде

.                                                    (1.44)

Размерности параметров следующие: 

; ; ; ; ;

; ; ; [g] = [L] [T]^-2; [t] = [T];

В (1.44) 10 параметров связаны одним уравнением связи и должны дать 7 критериев подобия, форма записи которых будет зависеть от выбора основных единиц. Теоретически число таких возможностей равно числу сочетаний из 7 элементов по 3, т.е. . Но в действительности их будет меньше, ибо легко заметить, что некоторые тройки параметров взаимозависимы, например d , t , g; d , g , V  и др. Поэтому N < 35. Из них один безразмерный параметр γ  при любом выборе основных единиц  сразу же дает критерий подобия.

Выберем в качестве основных единиц d , ρ, V (в (1.44) они выделены дугообразной черточкой наверху) и запишем функциональное уравнение в критериальной форме:

,                               (1.45)

где индексы при Р и   в целях простоты опущены.

Обозначим:

; ;

Здесь и далее критерии подобия снабжены штрихами в связи с тем, что такая форма записи, возможно, не окончательная, и они нуждаются в другой, более привычной форме записи.

Если в качестве основных единиц взять тройку параметров d , V , η, то получим

.                                   (1.46)

Здесь .