Дифференцируя по времени линейную скорость:

 или .

Каждая материальная точка вращающегося тела движется по окружности, при этом возникает нормальное (центростремительное) уско­рение, направленное по радиусу вращения к центру (оси) вра­щения:

= ω² r.

1.1.Какая величина называется[1]:

а) средней скоростью движения,

б) средней путевой скоростью движения,

в) мгновенной скоростью движения,

г) ускорением,

д) угловой скоростью,

е) угловым ускорением?

1.2.Как связаны линейные и угловые кинематические параметры?

1.3.Частица из состояния покоя начала двигаться по дуге окружности радиуса с постоянным угловым ускорением. Чему равно отношение нормального ускорения к тангенциальному через одну секунду поле начала наблюдения?

1.4.Движение материальной точки в плоскости xy записывается уравнениями:   x = ct ² ; y = bt ², где с и b – положительные постоянные. Найдите: 1) уравнение траектории точки y ( x ), 2) закон изменения радиус-вектора и модуля радиус-вектора, 3) закон изменения скорости и модуля скорости точки в зависимости от времени,          4) закон изменения ускорения тела.    [1)y = bx / c; 2) ;  3) ; 4) ; ]

1.5.Закон движения материальной точки имеет вид: х=А+ Bt + Ct ² + Dt ³ ,где А=2 м, В=3 м/ c, C=0,14 м/с², D = 0,01 м/с³. Через сколько времени после начала движения уско­рение тела будет равно 1 м/с²? [12 с]

1.6.Две материальные точки движутся согласно уравнениям: х₁=А₁+ B ₁ t + C ₁ t ² + + D ₁ t ³ и х₂ = А₂+ B ₂ t + C ₂ t ² + D ₂ t ³ , где А ₁=2 м; В ₁=4 м/c; C ₁=4 м/с²; D ₁=-3 м/с³; А ₂=2м; В ₂=2 м/ c; C ₂=-2 м/с²; D ₂=1 м/с³. В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковы? [0,5 с]

1.7.По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: x ₁ = А₁+ B ₁ t + C ₁ t ² и x ₂ = А₂ + B ₂ t + C ₂ t ², где А₁ = 10 м; B ₁=1м/с; C ₁= 2 м/с²; А₂=3 м; В₂=2 м/с; С₂ = 0,2 м/с². В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Найдите ускорения то­чек в момент времени t=3 с.

1.8.Частица движется так, что радиус-вектор зависит от времени по закону: , где с=3 м/с и b=1 м/с²,  и - орты осей x и у. Найдите:        1) уравнение траектории точки; 2) модуль ее скорости; 3) модуль ускорения в момент времени t = 2 с. [1) ; 2) ; 3) 2 м/с²]

1.9. Закон движения материальной точки, движущейся вдоль прямой, имеет вид х= bt – ct ² , где b =40 м/с; с=4 м/с². Найдите время и путь точки до полной остановки. [5 с ]

1.10.Частица движется в плоскости ху из точки x = y =0 со скоростью , где А и В – положительные постоянные. Найдите: 1) зависимость координат точки от времени х( t ) и у( t ), 2) урав­нение траектории частицы. [1)x =А t; y = Bt; 2) у = Bx / A]

1.11.Частица начинает движение из начала координат с ускорением, меняющимся по закону , где b и c -положительные постоянные. Определите уравнение траектории частицы.

1.12.Точка движется, замедляясь по прямой, с ускорением, модуль которого зависит от скорости по закону , где b = 1 . B начальный момент времени скорость точки ₀ = 9 м/с. Сколько времени будет двигаться точка до полной остановки? Чему будет равен пройденный путь?

1.13.Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависи­мость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением = А+ Bt + Ct ³ , где А = 4 рад;      В=2 рад/с; С=1 рад/с³. Для точки, лежащей на ободе колеса, найдите через 3 с после начала движения: 1) угловую скорость; 2) линейную скорость; 3) угловое ускорение; 4) нормальное ускорение; 5) тангенциальное ускорение; 6) полное ускорение. 7) определите угол, который образует вектор полного ускорения с радиусом колеса. [1) 29 рад/ c; 2) 2,9 рад/с; 3) 18 рад/ c ²; 4) 84,1 м/ c ²; 5) 1,8 м/ c ²;  6) 84,12 м/ c ²; 7) 1,22˚]

1.14.Материальная точка вращается вокруг неподвижной оси по закону =А+ + Bt + Ct ³, где А=10 рад, В=20 рад/с; С=-2 рад/с³. Радиус окружности, на котором вращается точка, равен 0,1 м. Определите полное ускорение точки в момент времени t=1 с.

1.15.Точка находится на ободе колеса радиусом 0,5 м, вращающегося согласно уравнению =Bt + Ct ³, где В=2 рад/с, С=0,2 рад/с³. Найдите полное ускорение точки в момент времени t = 3 c.

1.16.Тело вращается вокруг неподвижной оси Z так, что угол его поворота меняется в зависимости от времени по закону =2π( at–bt²/2), где а и b - положительные постоянные. Найдите: 1) мо­мент времени t , в который тело останавливается; 2) число оборотов N тела до остановки.[1) t = a / b ;2) N = a ² /2 b].

1.17.Колесо радиусом 10 см вращается с постоянным угловым ускорением 3,14рад/с². Найдите для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: 1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) тангенциальное ускорение, 4) нормальное ускорение, 5) полное ускорение, 6) угол между направлением полного ускорения и радиусом колеса. [1) 3,14 рад/с; 2)0,314 м/с; 3) 0,314 м/с²; 4) 0,986 м/с²; 5) 1,03 м/с²; 6)17˚46'].                                          

1.18.Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом 4 м, задается уравнением а _n=А+Bt+Ct ² (А=1 м/с², В=6 м/с², С=9 м/с²). Определите:   1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за 5 с после начала движения; 3) полное ускорение через 1 с после начала наблюдения.     

1.19.Точка вращается с угловой скоростью , где А= 0,5 рад/с²; В=0,06 рад/с³. Найдите модули угловой скорости и углового ускорения в момент времени t=10 c.

1.20.Точка начинает вращаться вокруг неподвижной оси с угло­вым ускорением = kt , где  k = 4 рад/с³. Определите угловую скорость точки в момент времени        t = 2 с.

1.21. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиусом 12,5 см с постоянным тангенциальным ускорением 0,5 см/с². Определите: 1) момент времени, при котором вектор полного ускорения образует с вектором скорости угол 45˚; 2)путь, пройденный за это время движущейся точкой. [1)5 с;2)6,25с м]

1.22.Точка движется по окружности длиной 1,57 м с линейной скоростью        10 см/с. Полное ускорение точки 0,05 м/с². Чему равно ее тангенциальное ускорение? Найдите угол между векторами полного и тангенциального ускорений. [0,03 м/с²; 53°].

1.23.Точка движется по плоскости так, что ее тангенциальное ускорение не изменяется и равно a_τ= 4 м/с², а нормальное ускорение зави­сит от времени по закону a_n=bt ⁴, где b=2 м/с⁶. Найдите радиус кривизны траектории в момент времени t=2 с, если в момент начала наблюдения точка покоилась.

1.24.Точка движется по окружности радиусом 4 м так, что в каждый момент времени ее нормальное и тангенциальное ускорений равны по модулю. В начальный момент времени t=0 скорость точки равна 0,2 м/с. Найдите скорость точки в момент времени t=10 с.

1.25. Закон движения точки, лежащей на ободе колеса, катящего­ся равномерно по горизонтальному пути (оси ОX ), имеет вид: x =А(ω t – sinωt ); y =(1- cos ωt ), где A=5 м. Найдите путь, пройденный точкой за время .

1.26.Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии 0,5 м друг от друга, вращается с частотой 1600 об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; при этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол 12°. Найдите скорость пули. [400 м/с]

1.27.Найдите радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линей­ной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса. [8,33 см]

1.28.Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой ско­рости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса. [3,2 рад/с²]

1.29.Колесо, вращаясь равноускоренно, через 1 мин после нача­ла вращения, приобретает частоту 720 об/мин. Найдите угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за эту минуту. [1,26 рад/с²; 360 об]

1.30.Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою частоту за 1 мин с 300 об/мин до 180 об/мин. Найдите угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это вре­мя. [0,21 рад/с²; 240 об]

РАЗДЕЛ 2. ДИНАМИКА

Основные формулы

Динамика материальной точки и поступательного движения твердых тел	Динамика вращательного движения твердых тел
Сила	Момент силы ;
Импульс	Момент импульса ;
Масса m	Момент инерции ;
	;

Силы природы

всемирного тяготения	тяжести	упругости	трения (скольжения)
F = Gm 1 m 2/r2		Fx = -kx	F тр = m N

Центр масс: